水污染净化问题论文

水污染物颗粒净化问题

【摘要】

通过建立污染物扩散模型，求解水中某污染物颗粒粒径与时间函数关系，并

与实际函数进行比较分析，再通过对所求解的函数关系进行拟合优化，进而建立

新型模型对这类污染进行测定与处理。

问题一，分析附件一中所给的离散数据选择指数函数和多项式函数模拟反应

所给数据的变化趋势，通过最小二乘法，利用matlab对给定的离散数据进行曲

线拟合并求解拟合函数，再求拟合函数y=r（t）在t时刻的解与附件一中t时

刻所对应的数值均方误差，并取均方误差最小者为所求曲线，且通过模型的建立，

理论上阐述了拟合曲线更接近指数函数曲线，故在问题一中进行指数函数拟合；

再通过引入扩散系数，求出粒径与时间的函数关系式，并作误差分析比较。若对

样品中某单一污染物微粒进行粒径测量，测量结果更精确，有较强的理论科学依

据，此方法更接近理论的实验数据结果。

问题二，通过路径与速率、时间的函数关系模型，求解粒径与时间的近似函

数关系，利用matlab分析粒径随时间变化的曲线特征，以此得到粒径误差与时

间的曲线关系，此运动模型可以求解污染物中任何粒子因相互碰撞引起的粒径随

时间变化的函数关系，具有计算对象的普遍性。

问题三，通过对参数的讨论，建立相关性模型，求出在单一变量下，某一变

量对颗粒粒径大小变化的影响程度，此外，通过现代科学理论，借鉴相关性科学

研究，建立理论模型，更好的对水污染物颗粒净化，确定粒径取最大值时，即除

污效果最好时所对应变量的取值；

关键词：粒径 时间 扩散速率 相关性 最小二乘法

1. 问题重述

众所周知，水是世界上所有生命赖以生存的基础。没有水，一切生命创造的

精彩都不复存在。因此，要实现人类的可持续发展，首先要解决水污染问题。由

有害物质造成的水的使用价值降低或丧失称之为水污染。水的污染有两类：一类

是自然污染；另一类是人为污染。而后者是主要的。水污染可根据污染杂质的不

同而主要分化学性污染，物理性污染和生物性污染三大类。水中杂质按尺寸分，

可分为溶解物，胶体颗粒和悬浮物三种。有些杂质可以用基于高浓度﹑外加计量

反应试剂为基础的传统的物化方法以及生化技术等进行处理。而对于天然水体和

饮用中低浓度、高毒性、难降解污染物则很难用前述的传统方法进行处理，迫切

需要提出新型的高效选择性检测和消除的原理和方法。

（1） 就给定的数据一拟合出粒径随时间变化的曲线和分布。

（2） 就给定的数据评价该测量方法的优缺点。

（3） 试建立模型说明如何对这类的污染物进行处理，达到净化污水的目

的。

2. 模型假设

假设待测水样本中该污染物浓度一定。

假设待测样本污染物在扩散过程中接触的同类颗粒会发生聚集现象。

假设该污染物颗粒为质量均匀分布、形状规则的球体。

（具体相关的假设条件见各问题中的模型假设）

3. 符号说明

4．问题一的模型建立与分布

4.1模型的假设

（1）水污染样本中只存在某种单一粒子α，且粒子数目足够多，即忽略浓度对

粒径测量的影响；

（2）粒子α近似看成是质量均匀，规则的球形几何体；

（3）各粒子相互碰撞的概率均等；

4.2 模型的建立

4.2.1问题的分析

分析附件一中所给的离散数据选择指数函数和多项式函数模拟反应所给数

据的变化趋势，通过最小二乘法，利用matlab对给定的离散数据进行曲线拟合

并求解拟合函数，再求拟合函数y=r（t）在t时刻的解与附件一中t时刻所测

量的数值均方误差，并取均方误差最小者为所求曲线。引入扩散系数，求出粒径

与时间的函数关系式，并作误差分析比较，通过建立微分方程模型，确定粒径与

时间的理论的函数表达式，并通过其函数关系式大体确定拟合后的曲线形状和函

数关系式。

4.2.2公式推导

由于水污染样本中粒子α数目足够多，继而忽略实验过程中粒子浓度对粒径测量

的影响，则由 物质的量守恒定律得：

体积的增加=周围粒子与α粒子所接触聚集的粒子体积+

在一定的时间dt内通过面积S的体积

即 V(t+∆t)-V(t)=λU(t)dt （4.1.1） 又由 U(t)=

当∆t→0时

得微分方程 V(t)ρ （4.1.2）

dVλ=-V(t) （4.1.3） dtρ

解得

-t V=Ce （4.1.4）

粒子体积公式

4V =πr3 （4.1.5） 3

将式（4.2.5）代入（4.2.4）解得

λλρ-t3C1

3 （4.1.6） r=()e3ρ（C为常数）4π

其中C可由r(0)=H来确定；

4.2.3模型分析求解：

将附件一中的数据导入到matlab数学软件中，所有离散点拟合后的曲线如

图一所示，根据曲线的形状，分别对曲线进行指数函数拟合和八次多项式函数拟

合，拟合后的粒径与时间的函数关系图分别为下图中图一，图二所示（编程见附

件二）；

由于两拟合曲线根据计算机编程后得出的方差结果较接近，但由上述模型的

理论推导，粒径与时间的函数更接近指数函数，而且，从实际来考虑，水污染物

的颗粒粒径（r）不能随时间无限的增大，即有

limr(t)=c （c为常数） t→∞

若两边同时对t的偏微分，则

lim

∂r=0 t→∞∂t

对数据进行指数拟合如图一：

图一 指数拟合图

拟合函数为

f(x)= 359.7e1.7⨯10-282.7e5.6⨯10

图二是对其进行八次项拟合

-5-4

图二 八次多项式拟合图

拟合函数为

f(x)=

-1.955⨯10-26X8+5.133⨯10-22X7-5.6⨯10-18X6+3.299⨯10-14X5-1.14⨯10-10X4+2.357⨯10-7X3-2.

955⨯10-4X2+0.2898X+60.97

根据图一、二拟合曲线比较及上述理论依据所述，我们将其进行指数拟合；

有附件一中数据，作如下图的粒径概率分布图：

图三 颗粒粒径概率分布直方图

注：横轴表示水污染物颗粒粒径

纵轴表示在一定粒径范围内实际测量的污染物颗粒占总测量颗粒数的比例

综上所述：由附件一中给定的数据拟合出粒径随时间变化的曲线取上图一的

指数拟合图。粒径的分布图如图三：颗粒粒径概率分布直方图所示

4.3模型评价

优点：（1）若对样本中某单一污染物微粒，此方法具有精确，有较好的理论性基

础，更接近理论的实验数据结果；

（2）模型结构简单，易于理解

缺点：测量易受实验环境的影响，且测量数据较难，不易控制变量

4.4模型推广

此总量守恒模型适用于样本溶液中某单一粒子的粒径测量，且测量结果更精

确，有较强的理论科学依据，适用于多数一定范围粒径的粒子的测量；

5．问题二的模型建立与分析

5.1模型的假设

(１)在一定时间范围内，可以用近似理论公式（5.2.4）代替理论公式（4.2.6）

对实际问题进行研究；

(２)将某污染物粒子近似看成是近似球形的规则几何体； (３)在研究粒径与时间的函数关系时，由于污水中各种污染物颗粒均做无规则的

布朗运动，那么将污染物中许多粒子取平均，即将研究对象基于某一平均后的粒

子α，并研究其在Ｘ轴上的位移与时间的变化近似为粒径与时间的变化的函数关

系；

(４)样品中每个粒子相互碰撞的概率是均等的；

5.2模型的建立

5.2.1问题分析

根据附件一中给定的数据评价利用光反射仪器测水中某污染物粒径随时间

的变化，通过观察实际测量的粒径与时间的函数关系曲线易得其优点，但必然要

利用建模求解粒径与时间的理论方程，并求解任意时刻所产生的误差，做出误差

与时间的函数关系曲线，进而找出其测量方法的优点和缺点；

5.2.2公式推导

设任意一个水污染颗粒连续两次碰撞的时间间隔为∆t ,共经过N次碰撞后

是粒径达到最大值，每次某粒子被碰撞后粒径增加∆ri，可以近似看作是该粒子

延x轴方向移动的距离为∆ri（i表示第i次碰撞）这些∆ri的值可正可负：

随机分布，则经历t=n∆t时间后，该粒子在X轴坐标每次碰撞后总位移改变量的

平方平均值,如下求得：

x2=（∆i1+∆i2+……+∆in）^2=∑∆i^2+2∑∆i∆j （5.2.1） i>j

令∆i^2代表∆i^2的平均值，则

∑∆i^2=n∆i^2 （5.2.2）

由于粒子a被碰撞后的位移延X轴移动方向不定,故粒子的粒径变化∆ri可

正可负，且机会均等，所以对各时间段∆ri 求平均值

（5.2.3） ∆ri∆rj=0

将式（5.2.3）带入式 （5.2.1）得

x^2=N∆^2 （5.2.4）

由于t=N∆t 代入式 （5.2.4）得

x^2=∆^2t （5.2.5） ∆t

可见颗粒在X轴移动的距离的平方平均值与时间t成正比，即粒径在时间t内的总变化量的平方平均值与时间成正比。

其中两次连续碰撞的时间间隔∆t为一常数

∆=(rmax-rmin) ti-t0其中 n= ∆t

由题中附件一所给数据

rmax=430.7nm rmin=50.72

∆t=21s ti=6300s t0=0

由于利用了实际所测量的数据，所以可近似求得理论水中某污染物颗粒粒径随时间的函数关系

）∙t （5.2.6）由式（5.2.6）某颗粒粒径的平方与时间的函数关系，作图如下所示：

Matlab拟图：

2r2=（1.2

图四 某颗粒粒径的平方与时间的函数关系

注：横轴x表示时间t（s）

纵轴y表示某颗粒粒径的平方（r^2）

而由实际测量的数据拟合图如图一所示，且由误差公式：

（rt）-（rt'） （5.2.6） ε=

'表示t时刻粒子α的（rt）其中，ε表示实验误差，rt表示t时刻粒子α的实际测量的粒径，

理论粒径。

所以，由式（5.2.6）可求出粒子α在任意时刻的粒径误差，并由所有求得的离散数据作出误差与时间的函数关系曲线，如图五所示：

Matlab拟图

图五 误差与时间的函数关系

注：横轴x表示时间t

纵轴S表示误差ε

由Matlab拟出误差与时间函数关系图易知，利用动态光反射仪器测量水中某污染粒径随时间的变化值的方法的优缺点，如下所述：

优点：

（1）样品制备简单，不需要特殊处理，测量过程不干扰样品本身的性质，所以能够反应样品分子的真实状况；

（2）准确，快速，可重复性好；

（3）能够实时检测样品的动态变化；

（4）测量过程迅速，而且样品易回收利用；

（5）可以清楚的观察到在某段时间内污染物颗粒的粒径变化情况；

缺点：

（1）由粒径分布图（图中折线部分）观察得，等时间间隔，其数据增长变化异常，且在误差分析图中，误差变化在某一范围内变化较大，因此得此测量方法测量水污染物粒径过程易受实验环境的影响，如光强，室温，液体的ph等；

（2）由测量的数据可以看出，对于粒径r

（3）随时间的延长，粒径误差值逐渐增大，即粒径真实值偏离理论值更严重；

模型评价

优点：（1）模型简单清晰，易懂；

（2）此运动模型可以求解适合污染物中的任何粒子相互碰撞引起的粒径随

时间的变化，具有计算的普遍性

（3）在一定时间范围内，近似理论公式可以代替理论公式对相关问题进行求解，如粒子碰撞粒径随时间的变化问题等；

缺点：对于公式中的不变平均量（∆t、）的求解具有近似性，降低了公式的理论性；

6．问题三的模型建立及其曲线分析

6.1模型的假设：

（1）假设将水中污染颗粒看成是质量均匀、形状规则的球形几何体

（2）温度随时间均匀变化，即△T=k△t（ｋ为常数）

（3）假设水中某污染颗粒的粘滞系数是一定值，即粘滞系数只与污染物本身性质有关

（4）假设温度控制在２０～７０度

（5）样本中污染物颗粒的总量不随其他因素变化而改变，即体积守恒

6.3模型的建立

问题分析：通过建立模型找到在最适合的环境条件（温度、光强、pH等），找出粒径随这些影响条件变化的规律，并最短时间及最佳条件下是粒子粒径达到最大值，最终达到净化污水的目的。

公式推导

由物质的量守恒式，浓度保持不变，则有

体积的增加=颗粒所聚集的粒子体积和

在一定的时间dt 通过面积S的体积满足

V(t+∆t)-V(t)=λU(t)dt （6.3.1）

U(t)=-V(t)

ρ

当∆t→0时 得到微分方程

dVλ=-V(t) dtρ

对其求解，结果为

V=Ce

3V=πr3 4

综上

λ-tλρ-t4C1

（6.3.2） r=()3e3ρ 3π

其中C由r(0)=H来确定

将公式T=bt（b为常数）带入公式（6.1.1）解得 -4C1

3 r=()e3ρb （6.3.3） 3πλq

由上式推理得：在其他因素不变的情况下，某单一影响因素（q） 与粒径（r）的函数关系式均可表示为 -4C1

3 r=()e3ρb 3πλq

6.4模型评价

优点：（1）适合大量样本中某污染物颗粒的测量（忽略浓度的影响）。

（2）适合多个单因素变量对粒径的测量，具有普遍性。

缺点：实际操作复杂，不容易控制。

由上所述，通过改变影响粒径的单一变量的值，从而使水中某污染物的粒径值达到最大，此方法通过完善传统的检测和处理方法使水中某污染物今年最大可能的聚沉。

新方法检测: 纳米材料与纳米技术用于低浓度、高毒性、难降解污染物的检测和消除

纳米材料与技术能够提供或在线构造特殊微环境的界面，通过污染物分子和纳米材料的界面相互作用来调控和引发该纳米材料界面上独特的化学反应，活化绿色廉价的氧化剂或还原剂 (如分子氧、过氧化氢等)，安全、高效、选择性地清除这类污染物。从根本上解决长期以来传统处理方法在一般有机无机物大量共存条件下无法选择性解决水中低浓度(ppm-ppb级)、高毒性、难降解污染物的难题。本项目将以水中低(超低)浓度、高毒性、难降解污染物 (如多溴联苯醚、全氟辛酸(磺酸)、抗生素、(类)雌激素及消毒副产物等) 的选择性消除为目标，开展相应的纳米材料和纳米组装技术的基础性研究。重点研究常温常压下水中低浓度目标污染物与纳米材料或纳米组装结构的特殊作用原理以及该相互作用诱导产生的高效选择性消除或转化污染物的新途径。 拟解决的关键科学问题： (1) 构造特别结构的纳米材料或组装体，使其在一般

有机/无机物共存时对水中低浓度、高毒性、难降解污染物具有特殊的俘获和识别效应，发展规模化制备和组装特殊结构纳米材料 及组装体的新原理和新方法；( 2 ) 纳米材料界面及组装结构的物理化学性能改性和调控原理，污染 物在纳米材料界面的相互作用及微观机理； (3) 利用纳米材料和纳米组装单 元在常温常压下进行环境友好、 无二次污染和高效高选择性地消除目标污染物的新方法和新原理，发展具有自主知识产权的技术单元和示范装置，并进行安全性评价。 项目研究目标：针对水中低浓度、高毒性、难降解污染物的选择性消除，发展若干种纳米材料与纳米组装的制备技术， 揭示纳米材料和组装结构与污染物分子的相互作用和界面反应机理，设计构造相关的基于纳米材料与技术的反应单元和示范装置，为高效选择性去除水中低浓度、高毒性、难降解污染物提供科学技术支撑。 本项目拟设置4个课题：(1) 高效选择性去除水中目标污染物的纳米材料可控制备、表面修饰及组装； (2) 目标污染物分子在纳米材料表界面相互作用及微观机理；(3) 基于纳米材料与技术高效选择性消除目标污染物的新原理和新方法；(4) 目标污染物/纳米材料和组装界面的表征方法及污染物去除过程中的安全性评价。

6.5模型评价

缺点：新型检测方法由于要求精度高，制造工艺复杂，现未获取得到相关实验数据，故只能从理论方面解答此题。

优点：测量精度高，实验数据更精确，更接近理论的数值，能够检测和处理水污染物中低浓度，高毒性、难降解污染物，更适于高科技的发展。

7.参考文献

【1】姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8 【2】顾卓明、顾彩香、陈志刚，纳米粒子粒径的测量研究，理化实验-物理分册，第41卷：24~35页，2005

【3】杜嬛、徐升华、孙祉伟、阿燕，流体力学半径对估算胶体微球聚

集速率常数的影响

【4】徐涛，数值分析 ，长春：吉林大学出版社，2005

附件

附件一

Time (s)

Aggregation Size (nm纳米)聚集物尺寸 0 50.72 21 67.96 42 73.13 63 82.6 84 83.6 105 89.09 126 93.16 147 101.1 168 106.3 189 104.6 210 108.6 231 115.1 252 112 273 122.1 294 132 315 132.9 336 131.9 357 128.7 378 142.8 399 142.6 420 152.7 441 152.6 462 147.8 483 149.5 504 156.2 525 170.1 546 159.4 567 167.3 588 171.5 609 165.1 630 178.6 651 174.5 672 169.8 693 174.4 714 179 735 176.1 756

165.6

777 166 798 181.4 819 190.2 840 185.2 861 188.4 882 187.4 903 197.9 924 193.7 945 210.6 966 212.5 987 196.5 1008 195.3 1029 215.3 1050 208.2 1071 217.5 1092 206.7 1113 232.3 1134 215 1155 212.2 1176 210.4 1197 227.6 1218 221.3 1239 225.8 1260 240.5 1281 224.3 1302 215.7 1323 241.6 1344 220.6 1365 230 1386 254.6 1407 252 1428 242.3 1449 244.9 1470 254.9 1491 250.6 1512 265.2 1533 254.6 1554 253.7 1575 239.2 1596 245.1 1617 237.1 1638 255.4 1659 227 1680

243.4

1701 262.8 1722 263.1 1743 275.7 1764 259 1785 274.6 1806 271.7 1827 256.9 1848 256.1 1869 275.6 1890 260.6 1911 267 1932 259.8 1953 258.1 1974 250.5 1995 279.2 2016 277.8 2037 273.9 2058 285 2079 280.7 2100 307 2121 263.6 2142 285.2 2163 277.3 2184 291.5 2205 278.6 2226 298.7 2247 287.7 2268 279.7 2289 272.8 2310 288.6 2331 277.8 2352 307.6 2373 301.4 2394 317.8 2415 296.1 2436 312 2457 306.6 2478 293.7 2499 318.3 2520 332.6 2541 299.1 2562 332.9 2583 328.8 2604

296.1

2625 342.7 2646 327.6 2667 321.3 2688 381.7 2709 348.9 2730 314.3 2751 353.8 2772 326.5 2793 357.3 2814 347.9 2835 319.1 2856 308.1 2877 319.3 2898 311.1 2919 331.8 2940 332 2961 298.1 2982 324.5 3003 306.4 3024 318.7 3045 312.3 3066 307.9 3087 349.5 3108 291.3 3129 320.7 3150 298.8 3171 306.7 3192 304.5 3213 323.9 3234 325.1 3255 287.8 3276 318.4 3297 318.3 3318 316 3339 319.4 3360 322.2 3381 325.3 3402 356.7 3423 313.4 3444 328.4 3465 321.7 3486 330.9 3507 337.5 3528

350.4

3570 337.3 3591 351.3 3612 343.1 3633 338.6 3654 354.8 3675 360.7 3696 339.1 3717 368.6 3738 356.9 3759 382.5 3780 348.1 3801 398.8 3822 357.8 3843 400.7 3864 346.3 3885 389 3906 338.3 3927 378.3 3948 424.4 3969 472.2 3990 377.2 4011 381.2 4032 379.3 4053 353.2 4074 350.5 4095 349.2 4116 325.7 4137 343.3 4158 359 4179 361.6 4200 371.9 4221 391.3 4242 365.3 4263 376 4284 340.3 4305 345.5 4326 363.6 4347 387.6 4368 367.1 4389 321.8 4410 365.5 4431 324.8 4452

339.1

4494 369 4515 358.3 4536 367.7 4557 364.7 4578 352.8 4599 368.5 4620 386.2 4641 380.1 4662 345.3 4683 376.4 4704 397.8 4725 342.2 4746 323.7 4767 329.9 4788 346 4809 329.5 4830 387.4 4851 351.7 4872 342.7 4893 375.2 4914 351.1 4935 396.4 4956 343.2 4977 385.4 4998 350.5 5019 374 5040 374.1 5061 360 5082 391.5 5103 410.9 5124 429.9 5145 403.1 5166 403.7 5187 378.3 5208 389.7 5229 374.2 5250 424.6 5271 405.6 5292 356.1 5313 367.5 5334 359.4 5355 367.5 5376

387.9

5397 407.3 5418 349.9 5439 393 5460 362.3 5481 353.8 5502 373.6 5523 359.6 5544 362.5 5565 398.8 5586 365.7 5607 354.2 5628 363.9 5649 371 5670 368.7 5691 409.3 5712 345.7 5733 408.8 5754 385.3 5775 385.7 5796 378.4 5817 424.6 5838 420.7 5859 447.3 5880 394.5 5901 411.8 5922 417.6 5943 453.3 5964 389.3 5985 342.9 6006 366.5 6027 348.5 6048 375.4 6069 349.7 6090 407.7 6111 373.6 6132 381.5 6153 373.5 6174 364.4 6195 414.2 6216 400.8 6237 366 6258 398.7 6279 425.3 6300

430.7

附件二

曲线分布结果分析图 表一：指数函数拟合曲线

注：1.SSE表示误差平方和

2.R-square：复相关系数或复测定系数

3.Adjusted R-square：调整自由度复相关系数 4.RMSE：均方根误差

表二：多项式函数拟合（8次多项式）

颗粒粒径概率分布直方图 matlab程序

A=xlsread('C:\Documents and Settings\hp\桌面\F数据.xls'); x=A(:,1); y=A(:,2); ymin=0; ymax=500;

x=linspace(ymin,ymax,20); %将最大最小区间分成20个等分点(19等分),然后分别计算各个区间的个数

yy=hist(y,x); %计算各个区间的个数 yy=yy/length(y); %计算各个区间的个数 bar(x,yy) %画出概率密度分布图