一类隐函数求斜渐近线的方法
24高等数学研究Vol.6,No.3 STUDIESINCOLLECEMATHEMATICSSep1,2003
一类隐函数求斜渐近线的方法
李冬红 (中央财经大学数学部 北京 100081)Ξ
摘 要 关键词 隐函数 斜渐近线 中图分类号O172.1
由方程(或方程组)所确定的隐函数(),重要的是它包含了很多有用的非初等函数,。有些微分方程的解不能用显函数表示,。我们可以象研究显函数一样,研究隐函数
(。高等数学的教材中对隐函数求导问题已经论述的非常充分,、极值等问题就迎刃而解了。但是要想描绘出隐函数的图象,,还需要了解隐函数求渐近线的方法。本文给出了形如笛卡儿叶形线这一类隐函数(由二元高次方程所确定)求斜渐近线的方法。
下面介绍求由方程y3+x3-3axy=0所确定的隐函数的斜渐近线的解法。
解法一 将隐函数方程转化为参数方程
令y=tx,则t3x3+x3-3ax・tx=0
x=1+t3
2
y=1+t
3
当t→-1时x→∞1
由斜渐近线计算公式[1]有
斜率
截距
b=lim(y-kx)x→∞k=lim=lim=limt=-13x→∞xt→-11+t1+t3t→-12
2=lim3+t→-11+t1+t3
2=lim=-at→-11+t3
所以斜渐近线为y=-x-a
解法二 直接由斜渐近线计算公式令
Ξ收稿日期:2002-12-23k=limx→∞x
第6卷第3期 李冬红:一类隐函数求斜渐近线的方法25将y3+x3-3axy=0两端同时除以x3并取极限有
0=limx3+1-3a2xx3=k3+1
所以斜率 k=-1
令y=kx+b并代入原方程,整理得
3(a+b)x2-3bx(a+b)+b3=0
两端同时除以x2并取极限有
0=lim23
x2x→∞=3(a+b)
所以截距 b=-a,从而斜渐近线为y=-x-a
由解法二,得以下两点结论
结论一 幂项至少有两项。如上例笛卡儿叶形线,方程y33=0,3的项有两项。
又如由方程x2y+3x4y4-4=0,因为x2y+3x4y3-4=0中最高次幂为7结论二 若b)=x,得关于k与b的k与y=kx+b是曲线的斜渐近线。
解法三[2] 将y=kx+b代入方程,有
(kx+b)3+x3-3ax(kx+b)=0
(1+k3)x3+(3k2b-3ak)x2+(3kb2-3ab)x+b3=0或
令x的最高次幂(x3)与次最高次幂(x2)的系数为0,即
1+k3=0
3k2b-3αk=0
解得k=-1,b=-a,所以斜渐近线为y=-x-a
练习:求由方程y2(x+y)=x2确定的隐函数的斜渐近线。
(提示:若用方法一,既可令y=tx,也可令x+y=tx,斜渐近线为y=-x+1)
类似地,求隐函数的积分也可采用方法一,转化为参数方程来求解。
参考文献
[1]赵树女原1微积分[M]1中国人民大学出版社,1997:173~714
[2]刘玉琏,杨奎元,吕凤1数学分析讲义学习指导书(下)[M]1高等教育出版社,1990:177
书讯大型工具书《数学辞海》出版发行
由大陆、台、港1500余位专家教授历时18年集体编纂而成的大型学术性数学工具书《数学辞海》已出版发行。全书包括一百多个分支学科或专题,约1360万字,共分6卷,内容涵盖5000年来的数学成果,其规模是前苏联同类书的二倍,是日本同类书的四倍。
《数学辞海》已列入国家“十五”出版规划重点图书工程。