常用分布函数
第五讲 数理统计
考试要求
1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念. 其中样本
2
方差定义为S =
∑n -1
i =1
1
n
(X i -X ) .
2
2. 了解χ2分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算. 3. 了解正态总体的常用抽样分布.
4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数. 5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.
6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.
7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.
8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.
9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的 两类错误.
10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
一、样本与抽样分布
1. 总体、个体与简单随机样本: 2. 常用统计量:
1° 样本均值 X =
1n
n
∑
i =1
X i
n
2° 样本方差 S =
2
∑n -1
i =1
1
(X i -X )
2
3° 样本标准差
: S =
n
4° 样本k 阶原点矩 A k =
1
∑n
i =1
X i , k =1, 2,
k
5° 样本k 阶中心矩 B k = 3．分位数
1
n
k
(X i -X ) , k =1, 2,
∑n
i =1
4. 重要抽样分布
（1）χ2分布
（2） t 分布
（3） F 分布
2
5. 正态总体的常用抽样分布:设X 1, X 2, , X n 为来自正态总体N (μ, σ) 的样本,
X =
1
n
∑n
i =1
X i , S =
2
∑n -1
i =1
1
n
(X i -X ) , 则
2
⎛σ2
（1）
X ~N μn ⎝
⎫或⎪
⎭n
2
~N (0, 1) .
（2）
(n -1) S
2
σ
1
n 2
2
=
1
σ
2
∑
i =12
(X i -X ) ~χ(n -1).
2
2
（3）
σ
∑
i =1
(X i -μ) ~χ(n ).
（4）
2
~t (n -1).
2
2
（5） X 与S 相互独立, 且 E (X ) =μ, E (S ) =σ, D (X ) =
σ
2
n
.
【例1】 设总体X ~N (μ, σ
n
i , 2S n
n
2
) 设, X 1, X 2, , X n 是来自总体X 的一个样本, 且
X =
1
∑X
n
i =1
=
∑(X
i =1
i
-X ) ，求 E (X S 2) .
1n
2
【例2】 设总体X ~N (μ, σ2) , 设X 1, X 2, , X n 是取自总体X 的一个样本, 且
1
n
i ,
X =
∑X n
i =1
S
2
=
∑(X n -1
i =1
1
n
i
-X ) ，则 D (S 2) =_________.
2
【例3】设随机变量X ~t (n )(n >1), , 则 Y =
1X
2
~________
【例4】 设总体X 服从正态分布N (0, 22) , 而X 1, X 2, , X 15是来自总体X 的简单随机样本, 求随机变量
Y =的分布.
X 1+ +X 102(X
2112
2215
+ +X )
2
【例5】 设总体X ~N (μ, σ), 设X 1, X 2, , X n , X n +1是来自总体X 的一个样本, 且
X =
1
n
∑n
i =1
X i , (S ) =
*2
1
n
∑n
i =1
2
(X i -X ) ，试求统计量
的分布.
二、参数估计
1. 矩估计 2. 最大似然估计 3. 区间估计
4. 估计量的评选标准
【例6】设总体X ~U (θ1, θ2) ，X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的样本，试求θ1, θ2的矩估计和最大似然估计.
【例7】设总体X 的概率密度为
⎧θ, ⎪
f (x , θ) =⎨1-θ,
⎪0, ⎩
0
其中θ是未知参数(0
【例8】设总体X 的概率密度为
⎧6x
(θ-x ) , ⎪
f (x ) =⎨θ3
⎪0, ⎩
0
,
X 1, X 2, , X n 为来自X 的简单随机样本，
（1） 求θ的矩估计量θˆ； （2） 判断θ的无偏性; （3） 判断θ的一致性.
三、假设检验
1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受.
2. 单个正态总体均值和方差的假设检验.
3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设H 0为真，但拒绝了H 0.
第二类错误；原假设H 0为假，但接受到了H 0.