空间解析几何(上篇)

空解精要（简单部分）

序

空间解析几何，是数学专业基础课中最容易的一个板块。无需像高代一样必须参透一切，也不需像数分一样必须无限刷题。一般说来，只需要上课听讲，完成作业，然后稍微复习一下，便可以得到90分以上的成绩。那接下来就来了解一下空解的精要部分。

一. 向量的三积

（注：在这里联系一下高代里面的“线性相关性”部分） 1.内积

定义：内积也成为向量的数量积，任取向量a , b , 内积的值为

a b cos ∠a , b ，它是一个数量。用符号∙表示。

()

若a=(a 1, a 2, a 3),b=(b 1, b 2, b 3), 则a ∙b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3

2.射影和射影向量

射影向量：一个向量在另一个向量上的正投影向量叫做射影向 量。

射影：射影向量的模就叫做射影。记为：Pr j b a =a cos ∠(a , b )。表

示a 在b 上的射影。

命题：1. prj

b

(a 1+a 2)

=prj +prj

b

b

a 1 a 2

2.prj b λa =λprj b a

a ∙b

3.prj b a =

b

2

例题1：已知向量a 与b 的夹角为π，a =3, b =4，计算

3

2 2

（1）a +b ； （2）3a +2b .

()

()

2. 外积

定义：向量的外积也叫叉积或者向量积，它的积是一个向量。

a 与b 的外积记为a ⨯b ，它的模是：

a ⨯b =a sin ∠a , b ，它的方向与a 和b 都垂直，并且按

()

a ，b ，a ⨯b 这一顺序成右手系。

外积不符合交换律。

由定义可知：两个向量共线的充要条件是外积为零向量。

如果a 和b 不共线，则a ⨯b 的模表示以a ，b 为邻边的平行四

边形的面积。

若a=(a 1, a 2, a 3),b=(b 1, b 2, b 3)，则

i j

a ⨯b =a 1a 2

k

a 3，其中i . j , k 是单位向量。 b 1b 2

b 3

外积的运算律：

1.反交换律：a ⨯b

=-b ⨯a

2.数乘结合律：λa ⨯b =

λ(a ⨯b ) =a ⨯(λb ) 3.左右分配律：(a +b )

⨯c =a ⨯c +b ⨯c

；

a ⨯(b +c )

=a ⨯b +a ⨯c

.

于是，与a 和b 都垂直的向量可设为λa ⨯b

；

与a 和b 都垂直的单位向量可设为±a ⨯b

a ⨯b

.

二重外积公式：(a ⨯b )

⨯c =(a ∙c ) b -(b ∙c ) a

例题2：在直角坐标系中，已知a

=(2, -3, 1), b

=(1, -2, 3)，求与 b都垂直，且满足下列条件之一的向量c ： （1）c 为单位向量；

（2）c ∙d

=10，其中d =(2, 1, -7) .

a ，

3.混合积

定义：两个向量的外积向量再与第三个向量的内积，叫做三 个向量的混合积。

若a=(a 1, a 2, a 3),b=(b 1, b 2, b 3)，c=(c 1, c 2, c 3)，则a ⨯b ∙c 的值为

()

a 1c 1

a 2c 2

a 3c 3

b 1b 2b 3

命题1：三个向量共面的充要条件是混合积为0.

命题2：若a ，b ，c 不共面，那么a ，b ，c 的混合积表示以 a ，b ，c 为邻棱的平行六面体的体积。

命题3：轮换混合积的3个因子，不改变它的值，而对调任 何2个因子，都要改变符号。

如：(a,b,c )=(b,c,a )=(c,b,a )=-(b,a,c )=-(c,b,a ) =-(a,c,b )

例题3：证明：如果a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a ，那么a ，b ，c 共面。

二. 平面和直线的渊源

注意：在这之后的平面与直线方程都是在直角坐标系中表 示的，不考虑仿射标架中的。 （一）. 平面的方程 1.点位式方程

我们知道，由于直线和直线外一点可以确定一个平 面，设一条直线的方向向量为v=（X ，Y ，Z ），直线 上一点为M 0(x 0, y 0, z 0)，直线外一点为M 1(x 1, y 1, z 1)，于 是可以用一组混合积来表示平面：

(v , M 0M 1, MM 0)=0 ，其中M (x , y , z ) 用行列式表示为：

x -x 0X

y -y 0Y

z -z 0Z

x 1-x 0y -y 0z -z 0=0

由于结果是0，所以根据行列式的性质，里面的行列 顺序可以随便写。

2. 一般式方程

我们明显可以发现，把点位式的方程行列式按照未 知量所在的行展开可以得到一个关于x,y,z 的三元一 次方程，记为Ax+By+Cz+D=0。这样的方程叫做平面的 一般方程，也是解题所需要的最终结果形式。 在这个方程里面，注意到A ，B ，C ，而向量 （A ，B ，C ）就是这个平面的法向量。

3.截距式方程

相信大家都明白截距是什么意思，它指的是平面与 坐标轴相交的对应的坐标，如果题目给出平面在三个坐 标轴上的截距a,b,c ，联想到中学的直线的截距式方程， 可想而知，方程可写为 ++=1

x

a

y b

z c

4.点法式方程

如果已知平面的法向量为（A ，B ，C ），平面上一点 为(x 0, y 0, z 0)，那么方程可写为 A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0

其中的原理是垂直于同一直线的直线刚好构成一 个平面，如果n =(A , B , C )，M 0(x 0, y 0, z 0)，M 1(x 1, y 1, z 1)，则 n ∙M 0M 1=0

5.一般方程的法式化

如果已知方程的一般方程为Ax +By +Cz +D =0，作为 法式方程，必须将 n =(A , B , C )单位化，于是，只有在方 程左边乘以法式化因子λ即可，其中 λ=±=±

1

n

1A +B +C

2

2

2

正负号的选取与D 有关，如果D 为负，那么取正号， 如果D 为正，取负号。

化完之后的平面如果记为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0，此时 的法向量很明显是个单位向量，而这个单位向量 n =(A 1, B 1, C 1)的几何意义是： 从原点指向平面的单位法向量。 这里的 D 1的几何意义是： 原点到平面的距离

定理：平面的充要条件是关于x,y,z 的方程是一个三元 一次的方程。

（二）直线的方程 1.标准方程

我们知道，空间中的两点可以确定一条直线。如果我 们知道直线上确定的两点M 0=(x 0, y 0, z 0)，M 1(x 1, y 1, z 1)，那 么，直线的方程可以写为：

x -x 0y -y 0z -z 0

==

x 1-x 0y 1-y 0z 1-z 0

这样的方程称为两点式方程。

很明显，分母组就是该直线的方向向量，于是，如果 给出直线的方向向量(X,Y,Z)，那么就可以写成： x -x 0=y -y 0=z -z 0

X

Y

Z

这就是直线的标准方程。

2.射影式方程

在标准方程中，我们可以看到有两个等号，表示的是两 个等式，如果将两个等式联立起来，用一个未知数表示另外 两个未知数，就可以把标准方程化为一下形式： ⎨

⎧x =az +b

⎩y =bz +d

这个方程称为直线的射影式方程。

3.一般方程

我们知道，两个相交的平面，它们的交线就是一条直线， 于是，就可以把两个平面用花括号联立，就变成了一般方程。 一般方程的形式为：

⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0 ⎨

A x +B y +C z +D =0222⎩2

需要注意的是：标准方程和一般方程都不唯一，射影式方程 是一般方程的特殊结构。

4.标准形式和一般形式的互化 ①标准→一般

直接化成射影式即可 ②一般→标准

首先令其中一个未知量为一个确定值，再解出另外两 个未知数，这样便确定了直线上的一点。 一般方程的方向向量就是

⎛B 1⎝B 2

C 1A 1

, -C 2A 2

C 1A 1

C 2A 2

B 1⎫⎪ B 2⎪⎭

然后写成标准形式即可

例4. 求过点（3，-5,1）和点（4,1,2），垂直于平面x-8y+3z-1=0

的平面方程。

例5. 将下列平面化成法式方程 （1）x-2y+5z-3=0 （2）x-y+1=0

三. 线性图形的位置和度量关系

（一）平面与平面的位置关系

在仿射坐标系下，设两个平面为

⎨⎧π1：A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0

⎩π2：A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0

1.相交⇔A 1:B 1:C 1≠A 2:B 2:C 2

2.平行⇔

3.重合⇔

（二）平面与直线的位置关系

直线l 和平面π的方程分别为

l :x -x 0=y -y 0=z -z 0 X Y Z A 1B 1C 1D 1 ==≠A 2B 2C 2D 2A 1B 1C 1D 1 ===A 2B 2C 2D 2

Ax +By +Cz +D =0 π：

于是，

1.相交⇔AX +BY +CZ ≠0

2.平行⇔AX +BY +CZ =0且Ax 0+By 0+Cz 0+D ≠0

3.直线在平面上⇔AX +BY +CZ =0且

Ax 0+By 0+Cz 0+D =0

（三）两条直线的位置关系

设两条直线的方向向量分别为v 1, v 2，两条直线上分别

有两点M 1, M 2。

1.异面⇔(M 1M 2, v 1, v 2)≠0

2.相交⇔(M 1M 2, v 1, v 2)=0且v 1, v 2不共线

3.平行⇔v 1, v 2共线但和M 1M 2不共线

4.重合⇔v 1, v 2，M 1M 2为共线向量。

（四）距离公式

1.点到直线

直线上一点为M 0，直线外一点为M ，直线的方向向

量为v ，于是，M 到直线的距离公式为 M 0M ⨯v d = v

意义是：平行四边形的面积除以底边长，即为高。

2.点到平面

设平面方程为Ax +By +Cz +D =0，平面外一点为 M (x 0, y 0, z 0)，于是联想到中学的点到直线的距离公式可

得： d =

3.直线与直线的距离

设两条异面直线分别过M 1, M 2，方向向量分别为v 1, v 2， Ax 0+By 0+Cz 0+D A +B +C 222

则两条直线的距离为：

d = (M 1M 2, v 1, v 2)v 1⨯v 2

几何意义为：体积除以底面积，即为高

注意：其他类型的距离都可以通过以上三种变换而来， 比如平行平面的距离，可以转换为点到平面的距离来求 解。

例6：求二平面

π1:2x -2y +z -3=0

π2:4x -4y +2z +5=0

之间的距离。

四. 平面束

定义：我们把空间中所有通过同一条直线的平面的集合称 为共轴平面束，这条直线叫做轴；把所有平行于同 一条直线的平面的集合称为平行平面束。

1.共轴平面束

设两个平面

⎨⎧π1：A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0

⎩π2：A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0

交于一条直线l ，则以l 为轴的共轴平面束方程为 λ(A 1x +B 1y +C 1z +D 1)+μ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2)=0

其中，λ2+μ2≠0

2.平行平面束

与Ax +By +Cz +D =0平行的平面束方程可设为

Ax +By +Cz +λ=0，其中λ为任意实数。

例题7：求经过直线l 1:⎨⎧x +y -z +2=0⎧z =-x +1，且与直线l 2:⎨ 4x -3y +z +2=0y =3⎩⎩ 平行的平面的方程。