第一章2连续介质力学

1.3.1 矢量的坐标变换式

x 3

′x 3

′x 2

′x 3

x 3

′x x 3

′x 2

′x 1

′x 1

1

平移

2

′x 1

2

x 1

旋转

1

2

′x 3反射

′⎤⎡e 1⎡e 1⎤⎢e ′⎥=M ⎢e ⎥⎢2⎥⎢2⎥⎢⎢′⎥⎣e 3⎦⎣e 3⎥⎦

′⋅e 1⎡e 1⎢M =⎢e ′2⋅e 1⎢′⋅e 1⎣e 3

′⋅e 2e 1e ′2⋅e 2′⋅e 2e 3

′(e 1e ′2′) =(e 1e 3

e 2e 3) M

T

′⋅e 3⎤⎡cos(e 1′，e 1) cos(e 1′，e 2) cos(e 1′，e 3) ⎤e 1

⎥⎢⎥′′′′e 2⋅e 3⎥=⎢cos(e 2，e 1) cos(e 2，e 2) cos(e 2，e 3) ⎥′⋅e 3⎥′，e 1) cos(e 3′，e 2) cos(e 3′，e 3) ⎥e 3⎦⎢⎣cos(e 3⎦

′b =(e 1e ′2′) b ′=(e 1e 3

e 2

T

e 3) b

′b =(e 1e ′2′) b ′=(e 1e 3

e 2

e 3) M b ′=(e 1

e 2e 3) b

b =M b ′

T

b i =M ji b ′j

b ′=Mb

b i ′=M ij b j

定义：基矢量e i 和e j 可作，而形成e i e j

∇v =2x 1e 1e 1+x 2e 1e 2+4x 2e 2e 1+(x 1+2x 2) e 2e 2

∇v =(e 1

⎡2x 1e 2) ⎢⎣4x 2x 2⎤⎡e 1⎤

⎥⎢⎥x 1+2x 2⎦⎣e 2⎦

在三维空间中，二阶单位并矢量有九个。一般地，九个二阶

单位并矢量的线性组合A 可记为：

⎡A 11A 12A 13⎤⎡e 1⎤

⎥⎢e ⎥A A A A =A ij e i e j =(e 1e 2e 3) ⎢2223⎥⎢2⎥⎢21

⎢⎣A 31A 32A 33⎥⎦⎢⎣e 3⎥⎦

=(e 1e 2

e 3) A (e 1e 2

e 3)

T

′e i ′e ′j =(e 1′e 2′A =A ij

′⎡A 11

′) ⎢A 21′e 3

⎢⎢′⎣A 31

′A 12

′A 22′A 32

′⎤⎡e 1′⎤A 13

⎥′⎥⎢e ′A 23

⎥⎢2⎥′⎥′⎥A 33⎦⎢⎣e 3⎦

T

′e ′=(e 12′) A ′(e 1′e ′e 32

T

′) e 3

A =(e 1e 2

T

e 3) M A ′M(e 1

e 2e 3)

T

A =M A ′M

A ′=MAM

T

′A ij =M mi M nj A mn

′=M im M jn A mn A ij

′x 2′x 3′和x 1x 2x 3中具有不变的形式，即如果一个量A 在坐标系x 1

′e i ′e ′j A =A ij e i e j =A ij

且在坐标变换（1.61）中满足如下的关系：

′=M im M jn A mn A ij

则称A 为二阶张量。

I =δij e i e j =(e 1e 2定

义：

为二阶单位张量

⎡100⎤⎡e 1⎤⎢⎥⎢⎥e 3)⎢010⎥⎢e 2⎥⎢⎣001⎥⎦⎢⎣e 3⎥⎦

矢量的基

e i 称为一阶单位并矢量

e i e j 称为二阶单位并矢量

两个一阶单位并矢量作并积的结果

以此类推，e i e j e k 称为三阶单位并矢量

′x 2′x 3′中具有不变的形三阶张量为：如果一个量Π在坐标系x 1x 2x 3和x 1

式，即

′e i ′e ′j e ′Π=Πijk e i e j e k =Πijk k

且其分量在坐标变换（1.61）中满足

′=M mi M nj M lk Πijk Πmnl

则称Π为三阶张量。

ε=εijk e i e j e k

零张量: 所有分量都为0的张量零阶张量：标量

置换张量

1.3.3 张量的代数运算

数乘：αA =α(A ij e i e j ) =(αA ij ) e i e j

A +B =A ij e i e j +B ij e i e j =(A ij +B ij ) e i e j 加法：

乘法：e i ⋅e j =δij

e i ×e j =εijk e k

e i e j =e i e j

e i ⋅(e j e k ) =(e i ⋅e j ) e k =δij e k

(e i e j ) ⋅(e m e n ) =e i (e j ⋅e m ) e n =δjm e i e n (e i e j )(e m e n e l ) =e i e j e m e n e l

e k ×(e i e j ) =(e k ×e i ) e j =εkim e m e j (e i e j ) ×e k =e i (e j ×e k ) =εjkm e i e m (e i e j ) ⋅e k =e i (e j ⋅e k ) =δjk e i

(e i e j ) ×(e m e n ) =e i (e j ×e m ) e n =εjmk e i e k e n

两个张量间可以进行数积、矢积、并积的运算，只要两者的单位并矢量之间允许进行这样的乘法即可。运算时两个单位并矢量间进行相应的积运算，而分量间则对应地进行简单的数量乘积运算。

点积：A ⋅b =(A ij e i e j ) ⋅(b k e k ) =A ij b k (e i e j ⋅e k ) =A ij b k δjk e i =A ij b j e i

=(e 1e 2⎡A 11e 3)⎢⎢A 21

⎢⎣A 31A 12A 22A 32A 13⎤⎡b 1⎤⎢b ⎥A 23⎥⎥⎢2⎥A 33⎥⎦⎣b 3⎥⎦⎢

b ⋅A =(b k e k ) ⋅(A ij e i e j ) =A ij b k (e k ⋅e i e j ) =A ij b k δki e j =A ij b i e j

=(b 1b 2⎡A 11⎢b 3)⎢A 21

⎢⎣A 31A 12A 22A 32A 13⎤⎡e 1⎤⎥⎢⎥A 23⎥⎢e 2⎥=(e 1A 33⎥⎦⎢⎣e 3⎥⎦e 2⎡A 11e 3)⎢A ⎢12⎢⎣A 13A 21A 22A 23A 31⎤⎡b 1⎤⎢b ⎥A 32⎥⎥⎢2⎥A 33⎥⎦⎣b 3⎥⎦⎢

ε⋅a =(εijk e i e j e k ) ⋅(a m e m ) =εijk δkm a m e i e j =εijm a m e i e j

A ⋅B =(A ij e i e j ) ⋅(B mn e m e n ) =A ij B mn δjm e i e n =A ij B jn e i e n

=(e 1e 2⎡A 11⎢e 3)⎢A 21

⎢⎣A 31A 12A 22A 32

2A 13⎤⎡B 11⎥⎢A 23⎥⎢B 21A 33⎥⎦⎢⎣B 31B 12B 22B 32k B 13⎤⎡e 1⎤⎥⎢⎥B 23⎥⎢e 2⎥B 33⎥⎦⎢⎣e 3⎥⎦幂运算A ⋅A =A A k +1=A ⋅A

矢积：A ×b =(A ij e i e j ) ×(b k e k ) =A ij b k εjkm e i e m

A ×B =(A ij e i e j ) ×(B mn e m e n ) =A ij B mn εjmk e i e k e n

(a ⋅A ) ⋅(b ⋅B ) =a ⋅A ⋅B ⋅b

证明:(a ⋅A ) ⋅(b ⋅B ) =(a k e k ⋅A ij e i e j ) ⋅(b l e l ⋅B mn e m e n )

=(a k A ij e k ⋅e i e j ) ⋅(B mn b l e l ⋅e m e n ) =(A ij a k δki e j ) ⋅(B mn b l δlm e n ) =(A ij a i e j ) ⋅(B mn b m e n ) =A ij a i B mn b m e j ⋅e n =A ij B mn a i b m δjn =A ij B mj a i b m a ⋅A ⋅B ⋅b =(a k e k ⋅A ij e i e j ) ⋅B ⋅b =(a k A ij e k ⋅e i e j ) ⋅B ⋅b T T T T =(A ij a k δki e j ) ⋅B ⋅b =(A ij a i e j ) ⋅(B mn e n e m ) ⋅b =(A ij a i B mn e j ⋅e n e m ) ⋅b =(A ij a i B mn δjn e m ) ⋅b =(A ij B mj a i e m ) ⋅(b k e k ) =(A ij B mj a i b k e m ⋅e k ) T =(A ij B mj a i b k δmk ) =A ij B mj a i b m

例1.30证明，反对称张量Ω与任意矢量b 的数积等于其对偶矢量ω与b 的矢积。Ω⋅b =ω×b

解：Ω⋅b =

Ωij b j e i =−εijk ωk b j e i =−b ×ω

这个例子说明，反对称张量Ω数性地作用于b ，相当于其对偶矢量ω矢性地作用于b 。

当A 是对称张量时

¾主值均为实数

¾对应于不同主值的主方向相互正交。¾存在着三个两两正交的主方向。

¾将三个两两正交的主方向单位列向量排为方

阵，构成坐标变换矩阵

M =n (1)

T

[

n (2) n (3)

]

M AM =diag (λ1, λ2, λ3)

正定矩阵：

若对于任意的非零向量b ，恒有b T Ab>0，则称A为正定矩阵正定张量：

若对于任意的非零矢量b ，恒有b . A . b>0，则称A 为正定张量。对称张量A 为正定张量的充要条件是

>0) 阶张量场H 上时，构成n 阶张量场当∇矢性地作用于n (n

∇×a =e i ×(a j e j ), i =a j , i εijk e k

a ×∇=(a j e j ), i ×e i =a j , i εjik e k =−(∇×a )

∇×A =e i ×(A mn e m e n ), i =A mn , i εimp e p e n

A ×∇=(A mn e m e n ), i ×e i =A mn , i εnip e m e p

∇×H 和H ×∇分别称为张量场H 的左旋度和右旋度