泊松积分值的计算方法及其应用
泊松积分值的计算方法及其应用
王雯雯
摘要
在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，但由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值, 本文介绍泊松积分的七种证明方法，最后给出泊松积分在数学分析、概率统计及其物理等方面的应用.
关键词：泊松积分；方法；应用
The Computing Methods And Applications 0f Poisson
Integral
Wang Wenwen
Abstract
In generally textbooks of Advanced Mathematics ，the methods of solving Poisson integral was less mentioned. It encountered Poisson integral in practical problem usually，such as heat conduction problem or probability problem. It couldn't solve integral value with New-Leibniz formula,because the primitive function of integrand wasn't elementary function. This paper introduces seven methods of solving Poisson integral,and applications in mathematical analysis,physics and probability statistics.
Key words: Poisson integral;methods;applications
一．引言
泊松积分作为一种重要的积分形式在人们对实际问题的计算中起着重要的作用, 但是在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，但由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值. 本文将从三方面对泊松积分作详细的研究. 首先，判断泊松积分的收敛性，然后，求出泊松积分的值，求解该积分的方法有多种，本文将介绍求解泊松积分的七种不同解法，最后，列举泊松积分在概率论与数理统计、复变函数论及物理等方面的简单应用.
二．判断泊松积分的收敛性
要求反常积分错误！未找到引用源。的值，首先要判断该反常积分的收敛性，这是十分必要的, 下面判断其收敛性.
令I =
⎰e
+∞
-x dx 错误！未找到引用源。 ,则
2
I =
⎰e
1
-x dx +
2
⎰e
110
+∞
-x dx 错误！未找到引用源。 -x dx ，
2
2
令I 1=错误！未找到引用源。 引用源。 对于I 1:
⎰e
I
2
=
⎰e
1
+∞
-x dx 错误！未找到
2
因为错误！未找到引用源。在(0, 1]上连续，所以e -x 错误！未找到引用源。在(0, 1]上可积，即I 1错误！未找到引用源。在(0, 1]上收敛. 对于I 2错误！未找到引用源。：
2
-x ≥0，且
因为在(1, +∞)上恒有e
lim
x →+∞
2
x
2
e -x =0
2
则由Cauchy 判别法知，I 2错误！未找到引用源。在(1, +∞)上收敛. 综上，I 在(1, +∞)上收敛.
即
⎰e
+∞
-x dx 为一确定的值.
2
三. 求解泊松积分值的几种方法
我们已经知道反常积分⎰
+∞0
e
-x dx 错误！未找到引用源。的值是存在的了，
2
那么如何求出它的值呢？下面来介绍求其值的七种方法. （一）．利用欧拉积分求解
因为欧拉积分有良好的性质，所以可用其来求一些相关的积分，往往会起到事半功倍的效果.
记错误！未找到引用源。 ⎰
+∞0
e
-t
⋅t
(x -1)
dt , 则 Γ(1)=1 .
2
由余元公式知，错误！未找到引用源。⎡⎛1⎫⎤
⎢Γ 2⎪⎥⎣⎝⎭⎦
错误！未找到引用源。=
=π
, 则
⎰e
+∞
-t
⋅t
(x -1)
dt 错误！未找到引用源。
令x =t 2
=
所以,
错误！未找到引用源。 =
（二）. 通过构造新的反常积分间接求得
令J =则
I (0)=
对I (t )求导，得
⎰e
+∞
-x dx
2
错误！未找到引用源。 2
⎰e
+∞
-x dx 错误！未找到引用源。, I (t )=错误！未找到引用源。,
2
π
2
, lim I (t )=0
t →∞
I (t )=-⎰0
'
+∞
e
-t ⎛ ⎝
⎪x +1⎫⎭dx
2
则对∀t ≥δ所以，
>0, I ' (t )一致收敛.
I (t ) = -A →lim δ+∞, δ→0⎰
'
A
e
-t ⎛
⎝
⎪x +1⎫⎭dx
2
且
I (t )令y =
'
t x -
⎰e
+∞
⎛-t ⎝
2
1⎪y +1⎫⎭⋅dy
t
= -
则
J t e
t
未找到引用源。 - I (δ)错误！未找到引用源。= -2J I (A )错误！令 错误！未找到引用源。 ，A →+∞ 则有
A
e
-
x dx
2
π
=2J 2 2
则
J =
2
构造法是数学分析中常用的一种方法，当直接求积分不好求时，便可通过构造一种特殊的积分，间接地得出所求积分. 例如求反常积分错误！未找到引用源。时便可通过构造反常积分
⎰e
+∞
-xy
sin y ⋅ 间接求得. y
（三）. 利用多重积分计算间接求得
解：利用极坐标变换x =r cos θ, y =r sin θ 就变换为
D = 错误！未找到引用源。.
因此利用变量替换法得
⎰⎰R e
2
⎛- ⎝
x +y ⎪⎭dxdy 错误！未找到引用源。 =
引用源。
2
2⎫
⎰⎰e
D
-
r ⋅r drd θ错误！未找到
2
= 错误！未找到引用源。
= 2π
⎰
2π
d θ⎰
+∞
r e -r dr
2
= π
⎰
+∞
r e -r dr
2
又由于 R 2= (-∞, +∞)⨯(-∞, +∞)，所以利用化累次积分法得
π=⎰⎰
=
R
2
e
⎛
- ⎝
x +y ⎪⎭dxdy
⎛
- ⎝
⎫
x y ⎪⎭dy
2
2
2⎫
⎰
+∞
-∞
dx ⎰
+∞
-∞
e
+
2
=到引用源。
⎰e -x dx ⎰e
-∞
-∞
+∞
2
+∞
-y dy
2
错误！未找
=⎰+∞-x 2dx
-∞e
则
()
2
⎰-∞e -x dx =
又因为e -x 错误！未找到引用源。为偶函数，则
2
+∞
2
⎰e
+∞
-x dx 错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。
=
2
⎰e
-∞
+∞
-x dx
2
2
该种方法主要利用的是累次积分法和变量替换法，但值得注意的是一个反常二重积分化为累次积分后，其累次积分必须是收敛与绝对收敛的，累次积分法才可以继续利用下去.
(四）. 利用Wallis 公式证明 因为
e -x =lim
所以
2
⎛x n →+∞ 1+n ⎪⎪
⎝⎭
2
2⎫
-n
,
⎰e
+∞
-x dx =
⎛x ⎰lim 1+n ⎪⎪
⎝⎭
+∞0
n →+∞
-(n -1)
2⎫
-n
dx
取 u 1(x )=1+x 2
()，
-1
⎛x ()x =u n 1+n ⎪⎪
⎝⎭
则
2⎫
-n
- 1+
⎛
⎝x ⎫⎪n -1⎪⎭
∞
2
(n =2, 3, )，
e
-x 2
=∑u (x )
n
n =1
不难验证，可变换其和与运算的次序，得
⎰
+∞
-x dx =lim e
2
n →+∞
⎰
+∞
dx
⎛x 2⎫ 1+n ⎪⎪⎝⎭
dt
n
作变换 x =n t , 得
⎰
+∞
dx
⎛x 2⎫
1+n ⎪⎪⎝⎭
n
=n
⎰
+∞
1+t 2q -1
n
，
对于β函数，
B (p , q )= ⎰
+∞
1+z p +q
dz ，
令 q =
12n -12, p =, z =t , 则dz =2tdt 22
⎛2n -11⎫+∞
B , ⎪=
22⎭⎰0⎝
2t
所以，
t 1+t 2dt
n
=2
而
⎰
+∞0
⎰
+∞
1+t 2n
，
1+t 2
dt
n
=
1⎛2n -11⎫B , ⎪
22⎭2⎝
1⎫⎛1⎫⎛
Γ n -⎪⋅Γ ⎪1⎝2⎭⎝2⎭
=
2Γn
(2n -3)! ! ⋅π
=
2n -2! ! 2
所以，
⎰
+∞
dx
⎛x 2⎫ 1+n ⎪⎪⎝⎭
n
=
(2n -3)! ! π
⋅， n
2n -2! ! 2
又由于
n
(2n -3)! !
=
2n -2! !
2n +1
(2n -1)! ! 2n
⋅
2n ! ! 2n -1n
2n -1
2
π1
⋅⎡(2n )! ! ⎤ 又根据Wallis 公式： =lim
2n →∞2n +1⎢⎥
⎣2n -1! ! ⎦
即
lim
n →+∞
n
(2n -3)! ! lim
=
2n -2! ! n →+∞
2
2n +1
1
(2n -1)! ! 2n
⋅
2n ! ! 2n -1n
2n -1
=
π1
⋅
=所以
lim
n →+∞
⎰
+∞
dx
⎛x 2⎫ 1+n ⎪⎪⎝⎭
=n
1
⋅
π
2
=
， 2
故
⎰
+∞
2
-x dx = e 2
（五）. 利用数理方程的解证明
由一个热传导方程引出对泊松积分的求解.
已知一根无限长细杆，其初始温度为u (x , 0)=f (x ), 则细杆上的温度分布
u (x , t )满 足下述热传导方程：
{
1
u (x , t )∂u (x , t )2
=2∂t ∂
u (x , 0)=f (u )
a 2
t
可以证明，此问题的傅立叶解为
u (x , t )=
2a t
⎰
+∞
-∞
f (ξ)e
(x -ξ)-
4
2
2
a t d ξ
假设细杆上的初始温度为u (x , 0)=f (x )=1，则
u (x , t )=
=
取x =0, a =
12a
1
e t ⎰
-∞
+∞0
+∞
(x -ξ)-
4
2
2
2
a t d ξ
a
t ⎰
f (ξ)e
(x -ξ)-
4
2
a t d ξ
1
，t =1，则 2
u (x , t )=
于是，
2
2
⎰
2
+∞
o
-ξ
e d ξ
2
即
⎰
+∞
o
-ξd ξ=1， e
错误！未找到引用源。
⎰
+∞
2
-x dx = e 2
（六）. 用MATLAB 软件求解
MATLAB是常见的通用数学软件之一，它具有多种数据结构和丰富的数学函数，应用领域广泛. 在进行数值计算时方便简洁，下面就用MATLAB 求解泊松积分.
解：>> syms x
>> int(exp(-x.^2),0,inf) ans =
1/2*pi^(1/2) 即
⎰
+∞
2
-x dx = e 2
(七）. 通过数值逼近近似求解
当被积函数的原函数不是初等函数时，往往不能用牛顿-莱布尼兹公式计算其积分值，而随着计算机的日益发展，我们可以利用计算机程序近似求解，精度越高，越与精确值接近.
反常积分⎰计算反常积分⎰
+∞0
e e
-x dx 错误！未找到引用源。还可通过计算机近似求解，即编
2
制一个通用的Gauss-Laguerre(高斯-拉盖尔）求积公式程序，在计算机上实际
+∞0
-x dx 错误！未找到引用源。的近似值.
2
1.主要使用到原理：Gauss-Laguerre 求积公式是Gauss 求积公式的一种建立在无穷区间上的特殊求积公式. 它利用了Laguerre 多项式：即在[0,-∞) 上关于权函数为ρ(x ) =e 的正交多项式
-x
d n (x n e -x )
L n (x ) =e （1） n
dx
x
故在求积分时，我们主要使用的求积公式为：
⎰
∞
e f (x ) dx ≈∑A k f (x k ) （2）
-x
k =1
n
其中, x k （k=1,…,n ）是L n (x ) 的n 个零点，求积系数
(n !) 2
A k =' (k =1, 2, , n ) (3) 2
[L n (x k )]x k
2. 实际求解： 由题可知f (x ) =e
-x 2+x
（4）
首先考虑Laguerre 多项式的n 个零点，由于不好使用函数公式（1）直接求出，所以可以利用图像，找出n 个近似点，并利用其作为初值带入方程（1），分别求得其根的精确解，再带入公式（3）（4）分别求出每个分点的A k 系数的值与
f (x k ) 的函数值，并将其相乘得到n 个数. 最后，将这n 个数相加，就可得出
⎰e f (x )dx 的近似值.
-x 0
+∞
程序求解：
%--------------------计算得出各阶数的Laguerre 多项式的公式 >>syms x %设未知变量
>> n=[2,4,6,8];%n为多项式阶数 >>for i=1:length(n)
L(i,1)=exp(x)*diff(x^(n(i))*exp(-x),n(i));%计算得出各阶数的Laguerre 多项式的公式 end
%各阶数的Laguerre 多项式的公式表达式 >>L=simple(L)%公式化简
%----------------计算得出各阶数的A (x ) f (x ) 多项式的公式 >>for j=1:length(n) s(j)=1; for i=1:n(j) s(j)=s(j)*i;end;end
>>for j=1:length(n)
q(j)=diff(L(j),1);%Laguerre多项式求一阶倒 A(j,1)=s(j)^2/(q(j)^2*x) ; %求得系数函数 >>A=simple(A)%系数函数表达式 >>f=exp(-x^2+x);%f（x ）函数表达式
>>d=simple(A*f)%系数函数与f （x ）函数乘积的表达式 %------------------------利用图像，找出的n 个近似点 >>x=-1:0.1:5; l=2-4*x+x.^2; %2个节点
>>x=-4:0.1:10; l=24-96*x+72*x.^2-16*x.^3+x.^4; %4个节点 >>x=-4:0.1:20;
l=720-4320*x+5400*x.^2-2400*x.^3+450*x.^4-36*x.^5+x.^6;%6个节点 >>x=-1:0.1:23;
l8=40320-322560*x+564480*x.^2-376320*x.^3+117600*x.^4-18816*x.^5+1568*x.^6-64*x.^7+x.^8;%8个节点
%---------------------利用函数fzero （）函数为零时算出各个根的精确解 >>x2=[0.6 3.4]; >>for i=1:2
x2(i)=fzero('2-4*x+x^2',x2(i)); end
>>x4=[0.3 1.7 4.5 9.4]; >>for i=1:4
x4(i)=fzero('24-96*x+72*x^2-16*x^3+x^4',x4(i)); End
>>x6=[0.2 1.2 3 5.8 9.8 16]; >> for i=1:6
x6(i)=fzero('720-4320*x+5400*x^2-2400*x^3+450*x^4-36*x^5+x^6',x6(i)); End
>>x8=[0.1 0.9 2.3 4.3 7 10.8 15.7 22.9]; >>for i=1:8
x8(i)=fzero('40320-322560*x+564480*x^2-376320*x^3+117600*x^4-18816*x^5+1568*x^6-64*x^7+x^8',x8(i)); end x8=x8’;
>>for i=1:2 %--------------------计算A (x ) f (x 在) 各阶各节点的值y2(i)=exp(-x2(i)^2+x2(i))/(-2+x2(i))^2/x2(i); end
>>f2=sum(y2)%2个节点 >>for i=1:4
y4(i)=36*exp(-x4(i)^2+x4(i))/(-24+36*x4(i)-12*x4(i)^2+x4(i)^3)^2/x4(i); end
>>f4=sum(y4)%4个节点 >>for i=1:6
y6(i)=14400*exp(-x6(i)^2+x6(i))/(-720+1800*x6(i)-1200*x6(i)^2+300*x6(i)^3-30*x6(i)^4+x6(i)^5)^2/x6(i); end
>> f6=sum(y6)%6个节点 >>for i=1:8
y8(i)=25401600*exp(-x8(i)^2+x8(i))/(-40320+141120*x8(i)-141120*x8(i)^2+58800*x8(i)^3-11760*x8(i)^4+1176*x8(i)^5-56*x8(i)^6+x8(i)^7)^2/x8(i); end
>>f8=sum(y8)%8个节点
-x
结果：节点数n=2时 ⎰0e f (x ) dx ≈1.0810 ; -x
节点数n=4时 ⎰0e f (x ) dx ≈0.8476; -x
节点数n=6时 ⎰0e f (x ) dx ≈0.8791 ; -x
节点数n=8时 ⎰0e f (x ) dx ≈0.8926.
∞∞∞∞
而精确解为，由此可见节点数越多即n 的值越大，越接近精确值.
2
四．泊松积分错误！未找到引用源。的应用
泊松积分公式是微积分中很重要的公式之一，在概率统计、复变函数论、物理等领域有着重要应用，泊松积分公式可使所需解决的问题简单化，下面通过几个例子来体会一下.
例 1：利用反常积分⎰积分
+∞0
e
-x dx 错误！未找到引用源。的值，计算Frensnel
+∞
2
⎰
+∞
cos x dx 错误！未找到引用源。及⎰sin x dx 的值错误！未找到引用源。
22
解：考察辅助函数
错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。 ,
它是一个正函数，并取如下图的辅助积分路径错误！未找到引用源。，
则 0=⎰
C R e
R
-z dz 错误！未找到引用源。
-x dx 错误！未找到引用源。 +
π4
2
2
= ⎰
e
i
⎰Γe
R
-z dz 错误！未找到引
2
用源。 +
⎰e
R
R
-
x 2
2
2
π
i
dx 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
π4
而
⎰Γ
e -z dz =
⎰e
-
R (cos 2ϕ+sin 2ϕ)iR
2
e
i ϕ
d ϕ
π
错误！未找到引用源。 用源。
⎰e
40
-
R cos 2ϕRd ϕ错误！未找到引
2
2
R π
2-R sin 2θd θ 错误！未找到引用源。 ⎰e 20
22θ
R π
2-R πd θ 错误！未找到引用源。⎰e 02
= -
R π-
⋅
22R 2e
2
π
2
|
π2θ=0θ=
=错误！未找到引用源。 故当R →+∞时
于是当R →+∞时，(*)变成
⎰Γ
R
e -z dz →0
2
1+i +∞22
cos -sin x x d x 2⎰0
=⎰ =
即
+∞0
()
e
-x dx 错误！未找到引用源。
2
错误！未找到引用源。 2
⎰
+∞
(cos x -sin x )d x 错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。(1-i )
2
2
比较两端实部与虚部，即得
⎰
+∞
cos x dx 错误！未找到引用源。 =⎰sin x dx 错误！未找到引用源。
2
+∞
2
= 错误！未找到引用源。
例2：计算广义重积分. I = ⎰⎰e
⎛- ⎝
x -xy +y ⎪⎭dxdy
2
2
2⎫
R
2
解： I = ⎰⎰e 2R
⎡⎢-⎢⎢⎢⎣
⎛y ⎫+32⎥ x -⎪4y ⎥
⎥dxdy ⎝2⎭⎥⎦
⎤
令 u =x -
y v =y ，则此时定义域仍为R 2. ,
22
,
而
∂(u , v )3
=∂x , y 2
则
∂(x , y )2
=3 ∂u , v 3
2
故 I =
3
R
⎰⎰e
2
-⎛ ⎝
⎪u +v ⎫⎭dudv
22
2
22+∞-u du =
⎰-∞e
()
=
2
3 3
通过例1、例2我们可以知道利用泊松积分或者泊松积分的简单变形，就可以使我们在求解一些相对复杂或不易求解的反常积分时变得相对简单。 例 3：设随机变量X 服从标准正态分布错误！未找到引用源。求X 的方差.
解：因为X 服从标准正态分布，则
P (x )=
12π
e
-2
2
, 错误！未找到引用源。
则
E (X )=
12π
⎰x e
-∞
+∞
-2
2
错误！未找到引用源。
注意到上述积分的被积函数为一个奇函数，所以其积分值等于0, 即
E (X )=0.
Var (X ) =E
(X )
2
1=
21 =
2⎰x e
-∞
+∞
2
-2
2
dx 错误！未找到引用源。
2
⎰
+∞
-∞
⎛-x d -e 2
⎝⎫
⎪错误！未找到引用源。 ⎪⎭
2
2
⎫+∞--+∞1⎛ -x e 2|+⎰e 2dx ⎪ = -∞-∞⎪2π ⎝⎭
=
1
2⎰e
-∞
+∞
-2
2
错误！未找到引用源。
1
⋅2π错误！未找2π
=错误！未找到引用源。
到引用源。
= 1
所以，X 的方差为1.
例4:设随机变量X 服从参数为u 和σ2的对数正态分布，求X 的k 阶原点矩. 解：令Y =ln X ,
由对数正态分布的定义知，Y ~N u , σ 且X =e 于是，
E X k =E e =⎰ =
+∞
(
2
)
Y
kY
-∞
e
ky
⋅
1
⋅e 22
(y -u )-
2
2
σ
2⎫
dy
2
1
22
⎰e
-∞
2
+∞
u +k u y -2⎛⎝
2
⎪y +
⎭
u
σ
2
=e 令 t =
ku +
2
1⋅
2μσ
⎰e
-∞
+∞
-
y -u -k 2
2
σ
2
y -u -k 2
σ
，则
E X
由泊松积分得：
k
1 =
2π
e
ku +2
22
⎰e
-∞
2
+∞
-
12
dt
2
E X k =e
ku +2
2
利用本题的结果可以容易地得到参数为u 和σ2的对数正态分布的数学期望和方差. 显然当k =1和k =2时，有EX =e
u +2
2
，E X 2=e 2u +2σ, 从而，
2
DX =E X
2
-
(EX )=e
2
2u +
⎫σ⋅⎛σ e -1⎪. ⎝
⎭
22
除了在正态分布的应用外，还有在二维正态分布 、对数正态分布及求正态分布的特征函数等方面的应用. 由此可见，在解决许多反常积分计算问题时，泊松积分起到了关键作用，尤其是在计算那些涉及正态分布概率密度的问题时，几乎都要用到泊松积分. 因此，熟练掌握并灵活应用泊松积分可以使许多概率问题的计算过程变得简洁而灵活. 例5. 物理方面的应用
经典物理学中，求相空间中某个物理量G (p , q )的平均值，利用公式
G
_
⎰=
+∞
-∞
⎰G (p , q )e
-
ε(p , q )
KT
dpdq
⎰
+∞
-∞
⎰e
-
p , q KT
(1)
这里相空间是由n 维广义坐标q ，q ， ，q 和n 维广义动量p ，p ， ，
1
2
n
1
2
p 组成的2n 维数学空间(p , q )，其中体积元 dpdq 公式采用dpdq =
n
d
p d p d p d q 1d q d q
1
2
n
2
n
，参数ε(p , q )是系统中某个粒子的能量，它是广
义坐标q 和广义能量p 的函数.T 是系统的热力学温度，R 是波尔兹曼常数. 如果已知能量ε(p , q )与p ，就可计算出系统中单个粒子的平均动能ε. q 的依赖关系，把ε(p , q )代入公式中有
_
_
ε
⎰ =
i
+∞
-∞
⎰ε(p , q )e
-
ε(p , q )
KT
dpdq
⎰
+∞
-∞
⎰e
-
εp , q KT
(2)
'
假设与广义动能p 相关联的能量ε
ε
'
i
(p )和其它形式能量ε(p , q )无关，则ε=
i
i
(p )+ε(p , q )，则可求得与动量p 相对应的能量ε(p )的平均值，由(2)式得
i
ε
_
(p ) = i
+∞
-∞
ε
(p )e
i -
-
ε(p , q )
KT
dpdq
⎰
+∞
-∞
⎰e
εp , q KT
dpdq
⎫⎪
i ⎭⎝-
KT
⎰ =
+∞
-∞
⎰ε
(p )e
i
ε⎛
p
e
'
(p , q )
-KT
'
dpdq
⎰
⎰
+∞
+∞
ε⎛
-
-∞
⎰e
ε⎛
⎫⎪⎝p i ⎭KT
e
-
(p , q )
KT
dpdq
=
-∞
ε
(p )e
i
⎫⎪i ⎭⎝-
KT
p
d
p ⎰
+∞
i -∞
-
⎰e
'
(p , q )-KT
'
d
p
i -1
d d
p
i +1
d d
p d q d q
n
1n
1
n
⎰e
-∞
+∞
ε⎛
-
⎫⎪⎝p i ⎭KT
(3)
n
d
p
p ⎰
+∞
i -∞
⎰e
(p , q )
KT
d
p d p
i
i
i -1
p
i +1
p d q d q
因为ε因此
(p )和e
i
⎫⎪i ⎭⎝-
KT
ε⎛
只依赖于动量
p ，其余变量均可积分，结果分子分母相同，
⎰ ε(p ) =
_
i
+∞
-∞
ε
(p )e
i
⎫⎪
i ⎭⎝-
KT
ε⎛
p
d
p
i
i
⎰e
-∞
+∞
ε⎛
-
⎫⎪⎝p i ⎭KT
d
2
p
如果能量可表示为动量p 的平方函数，即ε
i
(p ) = a p i ，式中a 为常数，则利用
i
泊松积分，由(3)式得
2
ε(p
_
i
) = ⎰
+∞
-∞
a
p e
a -
2
a
-
2
KT
p d
p
i
⎰e
-∞
+∞
KT
p d
p
1
= RT
2
i
由式(2)可以看出，p 与q 是对称的. 若有部分能量ε其他变量无关，例如ε
(q )只是坐标q 的函数，而与
i
i
(q )
i
=a q ，那么同理可得
i
2
ε(q
_
i
) = ⎰
+∞
a q
+∞
2
a
-
e
a
-
2
KT
q 2
d q
i
⎰e
KT
q d q
1
= RT
2
i
显然，统计物理中物理量的平均值是典型的泊松公式的应用，能量均分原则则是泊松积分公式的直接推导结果.
五．小结
本文主要讨论求解泊松积分的值的七种不同的计算方法以及该反常积分的相关应用. 虽然该反常积分的值已被人们所熟知，但其求解方法还是值得我们关注的，其中所用到的方法也是在解决实际问题中比较重要的. 另外，该反常积分与复变函数论中的知识进行结合还可用来求一些比较复杂的反常积分. 在概率论与数理以及物理的一些求解中泊松积分也会起到十分重要的作用.
通过对泊松积分值的计算方法及其应用的相关介绍，使人们对泊松积分有一个更深刻的了解，同时了解求解泊松积分过程中所涉及到的相关解法，以便以后在解决相关问题时更好的应用。
参考文献
[1] 陈纪修等. 数学分析，北京：高等教育出版社，2004. [2] 钟玉泉. 复变函数论，北京：高等教育出版社，2004.
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2003.NO.1.
[7] 张德丰等.MATLAB 数值计算方法，北京：机械工业出版社，2010.