[线性代数]习题及答案

《线性代数》作业

一、选择题

a 11

1．如果D=a 21

a 12a 22a 32

a 13a 23a 33

a 11

，则行列式2a 21

2a 124a 226a 32

3a 13

6a 23的值应为： 9a 33

a 313a 31

A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r

A ．A 的解不可逆 B ．A =0

C.A 中所有r 阶子式全不为零 D. A中没有不等于零的r 阶子式 3．设n 阶方阵A 与B 相似，那么：

A ．存在可逆矩阵P ，使P AP =B B．存在对角阵D ，使A 与B 都相似于D C ．A -λE =B -λE D．A ≠B

-1

a 11

4．如果D =a 21

a 12a 22a 32

a 13a 31a 322a 22-3a 32

a 12

a 33

2a 23-3a 33等于

a 13

a 31

a 23=3，则2a 21-3a 31

a 11a 33

A ． 6 B ． -9 C ．-3 D ．-6 5．设矩阵A =(a ij ) m ⨯n ，m

A ．r

⎛E ⎫

C ．A 中r 阶子式不为零 D ．A 的标准型为 0⎪⎪， 其中E 为r 阶单位阵。

⎝⎭*

6．A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵A 的特征根之一是：

A ．λ-1A

n

B ．λA C ．λ

-1

A D ．λA

n

⎧3x +ky +z =0⎪

7．如果⎨4y +z =0有非零解，则k 应为：____________。

⎪kx -5y -z =0⎩

A ． k =0 B ． k =1 C ． k =2 D ． k =-2

*

8．设A 是n 阶方阵，n ≥3且R (A ) =n -2，A 是A 的伴随阵，那么：___________。

*

A ． A *≠0 B ． R (A *) =0 C ． A =A

n -1

D ． R (A *) ≤2

9．设A 为m ⨯n 矩阵，齐次线性方程组AX =0仅有零解的充要条件是：

A ． A 的列向量线性无关 B ． A 的列向量线性相关 C ． A 的行向量线性相关 D ． A 的行向量线性相关

⎛kx +z =0

10．如果 2x +ky +z =0有非零解，则k 应为：________。

kx -2y +z =0⎝

A ．k =0 B ．k =-1 C ．k =2 D ．k =-2 11．下列命题正确的是___________。

A ．(AB ) T =A T B T B ．若A ≠B 则A ≠B C ．设A 、B 为三角形矩阵，则A+B为三角矩阵 D ．A 2-E 2=(A +E )(A -E ) 12．矩阵A 、B 相似的充要条件是____________。

A ．A 与B 有相同的特征值 B ．A 与B 相似于同一矩阵 C ．A 与B 有相同的特征向量 D ．A 形似于B 二、填空题

1．行列式与它的转置行列式的值是__________。 2．矩阵A m ⨯n 的K 阶子式共有___________;

3．n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 有__________________________________; 4．行列式的某行（列）加上另一行（列）的k 倍，行列式的值______________。

k

k

⎛12-2⎫ ⎪

3⎪，B 为三阶非零矩阵，且AB =0，则t=________________。 5．设A = 4t

3-11⎪⎝⎭

6．A 、B 为n 阶方阵，若存在可逆矩P ，使_________则称A 与B 相似。

7．

λ1

=__________________。 0

λn

⎛123⎫ ⎪

8．若矩阵A = 2-1k ⎪的R (A ) =2，则k =____________。

011⎪⎝⎭

⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪

9．若方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0仅有零解，则λ应满足的条件是_______________。

⎪x +x +λx =0

23⎩1

x

10．设多项式f (x ) =1

11

x 则f (x ) 中x 3的系数等于_________，x 2的系数等于_________。

x

2x 12

11．已知α=(1, 2, 3) ，β=(3, 2, 1) ，且α与k α+β正交，则k =____________。

-1

12．设A 是3阶方阵，且|A |=-3，则行列式|3A |=（ ）

⎛100⎫⎡3102 ⎪⎢13．矩阵A = 120⎪, B =1-12-1⎢ 5-13⎪⎢⎝⎭⎣1344⎤

⎥, 则AB 的秩是

（⎥

⎥⎦

）

⎛0

14．设A =

0 4⎝

10000200

0⎫⎪0⎪-1

A （，则=⎪3⎪0⎪⎭

）

⎧x 1+x 2=-a 1

⎪x +x =a ⎪232

15若线性方程组⎨有解，则常量a 1, a 2, a 3, a 4应满足条件___________。

⎪x 3+x 4=-a 3⎪⎩x 4+x 1=a 4

16. 设4阶方阵A =(A 1, A 2, A 3, A 4), B =(A 1, A 2, A 3, B 4) ，其中A 1, A 2, A 3, A 4, B 4都是四元列向量，已知

A =-1, B =2, 则行列式A +2B =( )

⎡1⎤

⎢⎥100

17已知矩阵A=PQ,其中P =2,Q=(2, -1, 2) , 则矩阵A =(⎢⎥

⎢⎣1⎥⎦⎛112⎫⎛1241⎫

⎪ ⎪

18. 设A = 032⎪, B = 2482⎪, 则秩(AB ) =( )

00-1⎪ 3620⎪⎝⎭⎝⎭

)

三、证明题

1．设A 是三阶方阵，A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式为A =

*

1

, 求证：(2A ) -1-A *=A 4

-1

2

．

2．已知A 为n 阶方阵，且A 2-3A -4E =0，试证A 可逆，并求A 。 3．已知A ，B 均为n 阶正交矩阵，且A =-B ，证明：A +B =0。

4向量组η0=γ0, η1=γ0+γ1, η2=γ0+γ2, , ηn -r =γ0+γn -r 是方程组(*)的线性无关解向量。 5η0, η1, η2, , ηn -r 的一切线性组合k 0η0+k 1η1+k 2η2+ k n -r ηn -r ，其中四、计算题

1．已知n 阶方阵A 、B ，其中A =(α1, α2⋯⋯αn ), B =(β1, α2⋯⋯αn ) ，A =1, B =-3, 求A +。

∑k

j =0

n -r

j

=1，是方程组(*)的全部解

⎛12-3⎫ ⎪

2．矩阵A = 32-4⎪求A -1.

2-10⎪⎝⎭

⎡12⎤

⎢⎥的每行元素之和均为3，且AB =0，其中B =01，问 ⎢⎥⎢⎣-20⎥⎦

3．设三阶方阵A =a ij

[]

（1）A 能否与对角矩阵相似？ （2）求A 。

a 0

4．计算n 阶行列式D =

b a 000

0b a 00

00000

000b a

00b

23⎤⎡2

⎢⎥-1

5．矩阵A =1-10，求A 。

⎢⎥⎢⎣-121⎥⎦

a -3⎤⎡1⎢⎥6．已知矩阵A =-14-3的特征多项式有重根，问：参数a 取何值时，A 能与对角矩阵相似？ ⎢⎥⎢⎣1-25⎥⎦

1110

1101

7．计算D =

1011

0111

⎛21-1⎫ ⎪

0⎪求A -1 8．矩阵A = 21

1-11⎪⎝⎭

9．设三阶方阵A 满足A α1=0，A α2=2α1+α2，A α3=-α1+3α2-α3，其中：

T

α1=[1, 1, 0]T ，α2=[0, 1, 1]T ，α3=[1, 0, 1]

（1）证明：A 能与对角矩阵相似。 （2）求出A 及相似对角矩阵∧。

10．设三阶行列式满足3A +2E =0，A -E =0, 4E -2=0，计算A 。

⎛1⎫⎛1⎫⎛2⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

11．求向量组α1= 2⎪，α2= 0⎪，α3= 2⎪，α4= 2⎪的一个最大线性无关组，并将其正交化。

3⎪ -1⎪ 1⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡1-2-1⎤⎢⎥若A 不能与对角矩阵相似，求参数。

a -a 12．设A =-a a ⎢⎥⎢1⎥⎣-12⎦

13计算n 阶行列式

21D n =

113 1 11 n

14 计算题

x 1+x 2-3x 4-x 5=0⎧⎪x 1-x 2+2x 3-x 4=0⎪

求齐次线性方程组⎨

4x -2x +6x +3x -4x =02345⎪1⎪⎩2x 1+4x 2-2x 3+4x 4-7x 5=0

的基础解系及通解。

15、计算n 阶行列式

x 1a 2 a n x 2 a n

a 2 x n

，其中x i ≠a i , 1≤i ≤n

D n =

a 1 a 1

16、计算题

⎡11-1⎢

求矩阵X ，使得X ⎢022

⎢⎣1-10⎤⎡1-11⎤

⎥=⎢110⎥ ⎥⎢⎥⎥⎦⎢⎣211⎥⎦