2016年上海市春季高考数学试卷(解析版)

2016年上海市春季高考数学试卷

一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）

1．复数3+4i（i 为虚数单位）的实部是 ．

2．若log 2（x+1）=3，则x= ．

3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为

4．函数的定义域为．

5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为

6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=．

7．在△ABC 中，若A=30°，B=45°，，则AC=

8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）． 9．无穷等比数列{an }的首项为2，公比为，则{an }的各项的和为． 10．若2+i（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+5=0的一个虚根，则a=

11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m ]上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是 ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆x 2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足

，则的最小值为 ．

二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）

13．若sin α＞0，且tan α＜0，则角α的终边位于（ ）

A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．半径为1的球的表面积为（ ）

A ．π B ． C ．2π D ．4π

15．在（1+x）6的二项展开式中，x 2项的系数为（ ）

A ．2 B ．6 C ．15 D ．20

16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（ ）

A ． B ． C ．

D ．

17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ） A ．1 B ．2 C ．（1，0） D ．（0，2）

18．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ）

A ．直线l 平行于直线m B ．直线l 与直线m 异面

C ．直线l 与直线m 没有公共点 D．直线l 与直线m 不垂直

19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n ∈N *）的第（ii ）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（ ）

A ．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）

B ．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）

C ．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）

D ．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）

20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A ．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同

C ．焦距不相等，渐近线相同 D ．焦距不相等，渐近线不相同

21．设函数y=f（x ）的定义域为R ，则“f （0）=0”是“函数f （x ）为奇函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

22．下列关于实数a ，b 的不等式中，不恒成立的是（ ）

A ．a 2+b2≥2ab B ．a 2+b2≥﹣2ab C ．

23．设单位向量与 D ．、 既不平行也不垂直，对非零向量

有结论：

①若x 1y 2﹣x 2y 1=0，则

②若x 1x 2+y1y 2=0，则； ．

关于以上两个结论，正确的判断是（ ）

A ．①成立，②不成立 B ．①不成立，②成立

C ．①成立，②成立 D ．①不成立，②不成立

24．对于椭圆y 0）．若点（x 0，满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）

A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部

C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部

三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）

25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．

26．已知函数，求f （x ）的最小正周期及最大值，并指出f （x ）取得最大值时x 的值．

27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．

28．已知数列{an }是公差为2的等差数列．

（1）a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；

（2）设a 1=﹣19，数列{an }的前n 项和为S n ．数列{bn }满足

记（n ∈N *），求数列{cn }的最小项（即， 对任意n ∈N *成立）．29．对于函数f （x ），g （x ），记集合D f ＞g ={x|f（x ）＞g （x ）}．

（1）设f （x ）=2|x|，g （x ）=x+3，求D f ＞g ；

（2）设f 1（x ）=x﹣1，，h （x ）=0，如果．求实数a 的取值范围．

二卷一. 选择题：

30．若函数f （x ）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（ ）

A ．0 B ． C ．π D ．2π

31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z 的所对应的轨迹是（ ）

A ．两个点 B ．一条线段 C．两条直线 D．一个圆

32．已知函数y=f（x ）的图象是折线ABCDE ，如图，其中A （1，2），B （2，1），C （3，2），D （4，1），E （5，2），若直线y=kx+b与y=f（x ）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）

A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．

二. 填空题：

33．椭圆 C ．（0，1] D ． 的长半轴的长为．

34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ． 35．小明用数列{an }记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k =1，当第k 天没下过雨时，记a k =﹣1（1≤k ≤31），他用数列{bn }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b n =1，当预报第k 天没有雨时，记b n =﹣1记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a2b 2+a3b 3+…+a31b 31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为 ．

三. 解答题：

36．对于数列{an }与{bn }，若对数列{cn }的每一项c n ，均有c k =ak 或c k =bk ，则称数列{cn }是{an }与{bn }的一个“并数列”．

（1）设数列{an }与{bn }的前三项分别为a 1=1，a 2=3，a 3=5，b 1=1，b 2=2，b 3=3，若{cn }是{an }与{bn }一个“并数列”求所有可能的有序数组（c 1，c 2，c 3）；

（2）已知数列{an }，{cn }均为等差数列，{an }的公差为1，首项为正整数t ；{cn }的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{bn }，使得{cn }是{an }与{bn }的一个“并数列”，求t 的值所构成的集合．

2016年上海市春季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）

1．复数3+4i（i 为虚数单位）的实部是3．

【考点】复数的基本概念．

【分析】根据复数的定义判断即可．

【解答】解：复数3+4i（i 为虚数单位）的实部是3，

故答案为：3．

2．若log 2（x+1）=3，则x= 7 ．

【考点】对数的运算性质；函数的零点．

【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．

【解答】解：log 2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．

故答案为：7．

3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为

．

【考点】

两直线的夹角与到角问题．

【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．

【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为

又∵直线y=2的倾斜角为0，

故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为

故答案为：

4．函数的定义域为[2+． ． ， ，

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．

【解答】解：由x ﹣2≥0得，x ≥2．

∴原函数的定义域为[2，+∞）．

故答案为[2，+∞）．

5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．

【考点】高阶矩阵．

【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j，求出其表达式的值即可．

【解答】解：元素5的代数余子式为：（﹣1）1+3|

∴元素5的代数余子式的值为8．

故答案为：8．

6．函数

【考点】反函数．

【分析】由于函数

经过点（1，2），即可得出．

【解答】解：∵函数

∴函数的反函数的图象经过点（2，1）， 的反函数的图象经过点（2，1），可得函数的图象的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1． |=（4×2+1×0）=8． 的图象经过点（1，2），

∴2=+a，解得a=1．

故答案为：1．

7．在△ABC 中，若A=30°，B=45°，

【考点】

余弦定理；正弦定理．

【分析】

利用正弦定理即可计算求解．

【解答】解：∵A=30°，B=45°，， ，则AC=

．

∴由正弦定理，可得：AC===2．

故答案为：2．

8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）．

【考点】计数原理的应用．

【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．

【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A 44=24种，

故答案为：24．

9．无穷等比数列{an }的首项为2，公比为，则{an }的各项的和为3．

【考点】等比数列的前n 项和．

【分析】{an }的各项的和=，即可得出．

【解答】解：{an }的各项的和为： ==3．

故答案为：3．

10．若2+i（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+5=0的一个虚根，则a=﹣4 ．

【考点】复数代数形式的混合运算．

【分析】2+i（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+5=0的一个虚根，则2﹣i （i 为虚数单位）也是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．

【解答】解：∵2+i（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+5=0的一个虚根，

∴2﹣i （i 为虚数单位）也是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+5=0的一个虚根， ∴2+i+（2﹣i ）=﹣a ，

解得a=﹣4．

则a=﹣4．

故答案为：﹣4．

11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m ]上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是

．

【考点】二次函数在闭区间上的最值．

【分析】根据二次函数的性质得出

【解答】解：∵f （x ）=x2﹣2x+1=（x ﹣1）2，

∴对称轴x=1，

∴f （1）=0，

f （2）=1，f （0）=1，

∵f （x ）=x2﹣2x+2在区间[0，m ]上的最大值为1，最小值为0，

∴， ，求解即可．

∴1≤m ≤2，

故答案为：1≤m ≤2．

12．在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆x 2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足

，则的最小值为 4 ．

【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．

【分析】本题可利用AB 中点M 去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根

据AB=2，得到M 点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．

【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点M （x ′，y ′）．

∵x ′=，y ′=，

∴=（x 1+x2，y 1+y2）=2，

∵圆C ：x 2+y2﹣6x+5=0，

∴（x ﹣3）2+y2=4，圆心C （3，0），半径CA=2．

∵点A ，B 在圆C 上，AB=2，

∴CA 2﹣CM 2=（AB ）2，

即CM=1．

点M 在以C 为圆心，半径r=1的圆上．

∴OM ≥OC ﹣r=3﹣1=2．

≥4， ∴||≥2，∴

∴的最小值为4．

故答案为：4．

二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）

13．若sin α＞0，且tan α＜0，则角α的终边位于（ ）

A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】象限角、轴线角．

【分析】由sin α＞0，则角α的终边位于一二象限，由tan α＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．

【解答】解：∵sin α＞0，则角α的终边位于一二象限，

∵由tan α＜0，

∴角α的终边位于二四象限，

∴角α的终边位于第二象限．

故选择B ．

14．半径为1的球的表面积为（ ）

A ．π B ． C ．2π D ．4π

【考点】球的体积和表面积．

【分析】利用球的表面积公式S=4πR 2解答即可求得答案．

【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，

故选：D ．

15．在（1+x）6的二项展开式中，x 2项的系数为（ ）

A ．2 B ．6 C ．15 D ．20

【考点】二项式系数的性质．

【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．

【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：

T r+1=•16﹣r •x r ，

令r=2，得展开式中x 2的系数为：

=15．

故选：C ．

16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（ ）

A ． B ． C ．

D ．

【考点】函数的图象．

【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．

【解答】解：幂函数y=x﹣2=

可排除A ，B ；

值域为（0，+∞）可排除D ，

故选：C ．

17．已知向量

A ．1 B ．2 ，，则向量在向量方向上的投影为（ ） ，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， C ．（1，0） D ．（0，2）

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】求出，代入向量的投影公式计算．

=1， =1，||=， 【解答】解：

∴向量在向量方向上的投影=1．

故选：A ．

18．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ）

A ．直线l 平行于直线m B ．直线l 与直线m 异面

C ．直线l 与直线m 没有公共点 D．直线l 与直线m 不垂直

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】由已知中直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，可得直线l 与直线m 异面或平行，进而得到答案．

【解答】解：∵直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，

∴直线l 与直线m 异面或平行，

即直线l 与直线m 没有公共点，

故选：C ．

19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n ∈N *）的第（ii ）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（ ）

A ．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）

B ．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）

C ．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）

D ．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）

【考点】数学归纳法．

【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．

【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，

当n=1左边所得的项是1+2；

假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，

则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），

∴从“k →k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），

∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．

故选：D ．

20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A ．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同

C ．焦距不相等，渐近线相同 D ．焦距不相等，渐近线不相同

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．

【解答】解：双曲线

可得焦点为（±的焦点在x 轴上， ，0），即为（±2，0），

渐近线方程为y=±x ；

的焦点在y 轴上，

可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±2x ．

可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．

故选：B ．

21．设函数y=f（x ）的定义域为R ，则“f （0）=0”是“函数f （x ）为奇函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】函数y=f（x ）的定义域为R ，若函数f （x ）为奇函数，则f （0）=0，反之不成立，例如f （x ）=x2．即可判断出结论．

【解答】解：函数y=f（x ）的定义域为R ，若函数f （x ）为奇函数，则f （0）=0，反之不成立，例如f （x ）=x2．

∴“f （0）=0”是“函数f （x ）为奇函数”的必要不充分条件． 故选：B ．

22．下列关于实数a ，b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A ．a 2+b2≥2ab B ．a 2+b2≥﹣2ab C ．

【考点】不等式的基本性质．

【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．

【解答】解：对于A ：a 2+b2﹣2ab=（a ﹣b ）2≥0，故A 恒成立； 对于B ：a 2+b2+2ab=（a+b）2≥0，故B 恒成立； 对于C ：故选：D ．

23．设单位向量

与

既不平行也不垂直，对非零向量

、

﹣ab=

≥0，故C 恒成立；D 不恒成立；

D ．

有结论：

①若x 1y 2﹣x 2y 1=0，则②若x 1x 2+y1y 2=0，则

； ．

关于以上两个结论，正确的判断是（ ）

A ．①成立，②不成立 B ．①不成立，②成立 C ．①成立，②成立 D ．①不成立，②不成立 【考点】向量的线性运算性质及几何意义． ①假设存在实数λ使得=【分析】与

，则

=λ

，由于向量

既不平行也不垂直，可得x 1=λx 2，y 1=λy 2，即可判断出结论．

=（

，无法得到

）•=0，因此，则

=x1x 2+y1y 2+（x 2y 1+x1y 2）不一定正确． =λ

，∵向量

②若x 1x 2+y1y 2=0，则

=（x 2y 1+x1y 2）

【解答】解：①假设存在实数λ使得=与

既不平行也不垂直，∴x 1=λx 2，y 1=λy 2，

．

满足x 1y 2﹣x 2y 1=0，因此

②若x 1x 2+y1y 2=0，

则=（，无法得到

）•=0，因此

=x1x 2+y1y 2+（x 2y 1+x1y 2）不一定正确．

=（x 2y 1+x1y 2）

故选：A ．

24．对于椭圆

y 0）．若点（x 0，满足

．则

称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．

y 0）1）【分析】点A （x 0，在过点P （2，的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，可得=1，

+

≤1．由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣

1），都在任意椭圆上，即可得出．

【解答】解：设点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上， 则

=1，

+

≤1．

∴+≤=1，

由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，

可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 故选：B ．

三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分） 25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．

【考点】异面直线及其所成的角．

【分析】由正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积求出高，由A 1C 1与AC 平行，得∠BC 1A 1是异面直线BC 1与AC 所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．

【解答】解：∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3， ∴

，解得h=4，

∵A 1C 1与AC 平行，∴∠BC 1A 1是异面直线BC 1与AC 所成的角， 在△A 1BC 1中，A 1C 1=3，BC 1=BA1=5， ∴cos ∠BC 1A 1=∴∠BC 1A 1=arccos

．

．

=

．

∴异面直线BC 1与AC 所成的角的大小为arccos

26．已知函数

最大值时x 的值．

，求f （x ）的最小正周期及最大值，并指出f （x ）取得

【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．

【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f （x ）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论． 【解答】解：∵

函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+

，∴函数的周期为T=2π， =2kπ+

，即x=2kπ+

，k ∈Z ．

27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】先设出抛物线的标准方程y 2=2px（p ＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p ，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．

【解答】解：建立平面直角坐标系，以O 为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，如图所示：

则：设抛物线方程为y 2=2px（p ＞0），点（10，12）在抛物线y 2=2px上，

∴144=2p×10． ∴=3.6．

∴灯泡与反射镜的顶点O 的距离3.6cm ．

28．已知数列{an }是公差为2的等差数列． （1）a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；

（2）设a 1=﹣19，数列{an }的前n 项和为S n ．数列{bn }满足记

（n ∈N *），求数列{cn }的最小项

（即

，

对任意n ∈N *成立）．

【考点】等差数列的前n 项和；等比数列的通项公式．

【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a 1的值．

（2）由已知利用累加法能求出b n =2﹣（）n ﹣1．从而能求出c n ﹣c n ﹣1=2n﹣19+2n ，由此能求出数列{cn }的最小项． 【解答】解：（1）∵数列{an }是公差为2的等差数列．a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴

．

解得d=2，a 1=﹣8

（2）b n =b1+（b 2﹣b 1）+（b 3﹣b 2）+…+（b n ﹣b n ﹣1） =1+

=

=2﹣（）n ﹣1．

，

，

=2n﹣19+2n

由题意n ≥9，上式大于零，即c 9＜c 10＜…＜c n ， 进一步，2n+2n 是关于n 的增函数， ∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，

∴c 1＞c 2＞c 3＞c 4＜c 5＜…＜c 9＜c 10＜…＜c n ， ∴

．

29．对于函数f （x ），g （x ），记集合D f ＞g ={x|f（x ）＞g （x ）}． （1）设f （x ）=2|x|，g （x ）=x+3，求D f ＞g ； （2）设f 1（x ）=x﹣1，

实数a 的取值范围．

【考点】其他不等式的解法；集合的表示法． 【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可， （2）方法一：由题意可得则

在R 上恒成立，分类讨论，即可求出a 的，h （x ）=0，如果

．求

取值范围，

方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a 的取值范围． 【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f ＞g ={x|x＜﹣1或x ＞3}； （2）方法一：由则令

∴a ≥0时成立．

以下只讨论a ＜0的情况 对于

，

=t＞0，t 2+t+a＞0，解得t ＜

或t ＞

，（a ＜0）

在R 上恒成立， ，a ＞﹣t 2﹣t ，

，

，

， ，

又t ＞0，所以，

∴=

综上所述：方法二（2）由

，

，

a ≥0．显然

恒成立，

即x ∈Ra ＜0时，令所以综上所述：

，．

，在x ≤1上恒成立 ，

，

二卷一. 选择题：

30．若函数f （x ）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（ ） A ．0

B ．

C ．π

D ．2π

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得． 【解答】解：∵函数f （x ）=sin（x+φ）是偶函数， ∴f （﹣x ）=f（x ），即sin （﹣x+φ）=sin（x+φ）， ∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k ∈Z ，

当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣k π，不满足函数定义； 当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+

，k ∈Z ，

结合选项可得B 为正确答案． 故选：B ．

31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z 的所对应的轨迹是（ ） A ．两个点 B ．一条线段 C．两条直线 D．一个圆 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|=【解答】解：设z=x+yi， 则|x+yi﹣1|=∴（x ﹣1）2+y2=16，

=4，从而求出其运动轨迹．

=4，

∴运动轨迹是圆， 故选：D ．

32．已知函数y=f（x ）的图象是折线ABCDE ，如图，其中A （1，2），B （2，1），C （3，2），D （4，1），E （5，2），若直线y=kx+b与y=f（x ）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）

A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ． C ．（0，1] D ．

【考点】函数的图象．

【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．

【解答】解；当k=0，1＜b ＜2时，显然直线y=b与f （x ）图象交于四点，故k 可以取0，排除A ，C ； 作直线BE ，则k BE =

，直线BE 与f （x ）图象交于三点，

平行移动直线BD 可发现直线与f （x ）图象最多交于三点， 即直线y=故选B ．

与f （x ）图象最多交于三点，∴k ≠．排除D ．

二. 填空题： 33．椭圆

的长半轴的长为5

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】利用椭圆性质求解． 【解答】解：椭圆

中，

a=5，

∴椭圆的长半轴长a=5． 故答案为：5．

34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π． 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算． 【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°， ∴圆锥的底面半径为5，

∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π． 故答案为：50π．

35．小明用数列{an }记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k =1，当第k 天没下过雨时，记a k =﹣1（1≤k ≤31），他用数列{bn }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b n =1，当预报第k 天没有雨时，记b n =﹣1记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a2b 2+a3b 3+…+a31b 31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为 28 ． 【考点】数列的应用．

【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k =1，不准确时a k b k =﹣1，根据a 1b 1+a2b 2+a3b 3+…+a31b 31=25=28﹣3，即可得出结论．

【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k =1，不准确时a k b k =﹣1， ∵a 1b 1+a2b 2+a3b 3+…+a31b 31=25=28﹣3， ∴该月气象台预报准确的总天数为28． 故答案为：28．

三. 解答题：

36．对于数列{an }与{bn }，若对数列{cn }的每一项c n ，均有c k =ak 或c k =bk ，则称数列{cn }是{an }与{bn }的一个“并数列”．

（1）设数列{an }与{bn }的前三项分别为a 1=1，a 2=3，a 3=5，b 1=1，b 2=2，b 3=3，若{cn }是{an }与{bn }一个“并数列”求所有可能的有序数组（c 1，c 2，c 3）；

（2）已知数列{an }，{cn }均为等差数列，{an }的公差为1，首项为正整数t ；{cn }的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{bn }，使得{cn }是{an }与{bn }的一个“并数列”，求t 的值所构成的集合． 【考点】数列的求和；数列的应用． 【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出．

（2）利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式可得a n ，公差d ，c n ，通过分类讨论即可得出．

【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）； （2）a n =t+n﹣1，

设{cn }的前10项和为T n ，T 10=﹣30，T 20=﹣260，得d=﹣2，c 1=6，所以c n =8﹣2n ；c k =ak 或c k =bk ．

∴k=1，t=6；或k=2，t=3， 所以k ≥3．k ∈N *时，c k =bk ，

∵数列{bn }唯一，所以只要b 1，b 2唯一确定即可． 显然，t=6，或t=3时，b 1，b 2不唯一，

．

，

2016年7月25日