圆的周长3
“圆的周长”教学设计
教学内容:人教版实验教材六年级上册第四单元
教学目标:1. 深刻理解圆周率的意义,能根据实际情况运用圆周率计算圆的周长。
2. 经历操作、探究、猜想等学习活动,提升思维水平,感受数学文化。 教学重点:经历操作、探究、猜想等学习活动,深刻理解圆周率的意义。 教学难点:能根据实际情况运用圆周率计算圆的周长
教学过程:
一、创设情境 导入新课。
1. 导入。
师:前面我们学习了圆,你对圆有了那些了解?
师:关于圆,古人对它的研究也很深。2400多年前,有一个著名的思想家叫墨子,他写了一本书,书上有一句话──小圆之圆与大圆之圆同。(课件呈现语句及大小两个圆)“之”就是“的”,“同”就是“相同”。
师:你能理解这句话吗?
你觉得小圆和大圆有哪些相同的地方?
生1:它们都有圆心、半径和直径。
生2:不管大圆还是小圆,都是曲线围成的封闭图形。
生3:大圆和小圆,圆周率相同。
(学情预设:如果学生找不出此相同,教师引出:我们看,大圆与小圆虽然都是由曲线围成的封闭图形,但围成圆的曲线的长度是不同的,而围成圆的曲线的长度叫圆的周长——(板书课题)拿出自己准备的圆,用手指一下并说一说哪是圆的周长?也就是说,大圆与小圆虽然都有周长,但周长的长短却不相同;再看,大圆和小圆虽然都有直径,但直径的长短却是不同的,半径也是这样。在相同之处又有这么多不同,可是聪明的古人还是发现大小不同的圆有一个完全相同的地方——那就是圆周率(板书),通过预习,你知道什么是圆周率吗?(板书)
(学情预测:如果学生找出此相同,比较一下哪些是不完全相同的,哪些是完全相同的:)
(根据学生的回答,教师板书“圆周率”及“圆的周长和直径的比值”)
师:你们的意思就是说:在这两个圆里,圆的周长和直径间的比值,也就是他们之间的倍数关系即圆周率,是相同的。那么,这个倍数是几呢?(根据学生的回答,教师板书3.1415926…)
师:你是怎么知道这个结果的?(学生都说书上看到的)
2. 质疑。
师:我也在书上看到过一句话。我国古代有一本著名的数学著作叫《周髀算经》,它在表示圆的周长和直径间的倍数时,用了“周三径一”这句话(课件呈现)。你猜猜,什么叫“周三径一”?
生:周长是直径的3倍。(板书:3)
师:那么,圆周率是3.1415926…,圆周率是3,到底哪个说法对呢?
【设计意图:面对学生对圆周率的“已知”,教师精心“搅局”:《墨子》说“大圆之圆与小圆之圆同”;你们知道圆周率都是3.1415926…;《周髀算经》说“周三径一”。都是书上的记载,为何情况不同?谁对谁错?问题出在哪里?当学生的“已知”被教师搞混,产生强烈认知冲突时,对“未知”的探求就成了学生非常迫切的愿望。在这样的情形下,精心地测量周长、直径,认真地进行计算,学生积极主动的探索行为自然产生。】
二、层层设疑 深入探究。
1. 确定方法,自主探究。
(1) 明确方法。
师:到底哪个说法对,你有什么办法来证明?
学生说思路:拿杯子盖等圆形材料,测量其周长和直径,再算一算,就知道哪个对了。(事实上,周长量出来了,直径也量出来了,然后用周长÷直径看得多少就行)
师:好方法,验证一个结果是否正确,我们经常使用动手实践的方法,亲自量一量、算一算。
教师引导学生进一步明确测量周长和直径的方法,初步体验“化曲为直”的思想。
师:刚才他们都说周长怎么办?为什么周长用线来量呢?(学生说明原因) 教师:所以我们借助一条线把圆围起来,然后再把线展开,量出现的长度,
这种方法叫做“化曲为直”
师:直径怎么办?你怎么知道那是直径呢?——把圆对折,让两面重合,中间这条折痕就是直径。
(2) 动手实践。
学生小组合作,动手操作,测量有关数据,用计算器计算圆周率。
师:下面就同位两人合作完成手中的表格,一边量一边填,注意填写一定要细心,一定要真实。
(3) 学情反馈。
请学生汇报测得的数据和计算结果,教师在黑板上记录3.2、3.1555、
3.142857、3.16153、3.1666等五花八门的答案。
2. 初步感知,加深疑问。
师:有没有得到3.1415926…的,有没有得到3的?(学生都说没有得到) 师:现在你觉得“倍数是3.1415926…”、“倍数是3”这两种说法对不对呢?(学生都说前者对,后者不对)
(1) 第一层次。
师:为什么说“倍数是3”不对?(学生用刚才的数据说理──每个数据都大于3,)(教师给予肯定,并以课件演示古人用绳子围圆的方法发现圆具有这样的特点) 师:其实古人也非常聪明,他们就是用这样的方法发现的:(看屏幕)
师:既然古人早已发现这个规律,为什么用“周三径一”来表示周长和直径之间的关系呢?
生:这是一个近似值,是一个大致的倍数。
(2) 第二层次。
师:你们得到的结果都不是3.1415926…,那你们为什么还说它是对的呢? 生:这是因为我们量得不精确。
师:如果量得很精确的话,就能得到这个结果吗?那现在老师再演示一遍: (学生都认为只要测量得再精确些,就能得到这个结果。教师顺应情形,拿出一个圆盖,现场进行精细的测量——用尺子量直径,用透明胶围一圈,再用尺子量长度。指出:“我们量的够准确了,看来用周长除以直径就应该得到这个数值了,告诉我,得多少?——并用计算器演示计算,得到3.[1**********]85…)
师:我们测量的够准了,却还得不到这个结果。不光我们没得到,2000多年前,我国有一位数学家叫刘歆,他通过像我们这样的测量和计算,也曾得到3.1547、
3.1992、3.2031等不同答案。(边课件呈现边做以说明)也没有固定的值。
教师指出:我要告诉你:其实哪怕你量的再准确,用两个数相除也无法得到这个答案,因为它是个无限不循环小数。那你说书上的结果是怎么得出来的?
我们继续看,就这样又过了1000多年,一直到刘徽,他使这个问题有了神奇的进展
3. 深入感悟,理性认识。
(1) 课件介绍。 重点介绍割圆术:(边演示边说明)
他画了一个圆(课件演示)
在圆里画了一个几边形——正六边形(演示)
看,是正六边形的周长长还是圆的周长长? 为什么呢?(正六边形的边是直的,圆外面是曲线)
如果画一条直径,你能看出正六边形的周长是直径的几倍吗?
看不出来,再加几条线,是几倍?怎么知道的?
(如果看不出来,继续问,这回我们把正六边形平均分成六个什么形?这是多少度?(60度,因为把周角平均分成了几份——6份,360÷6=60度)
再看这两条边,是圆的什么?(半径)这是什么三角形?(等边三角形)为什么是等边三角形?(教师可自己边指边说)
假设正六边形的边长是1,正六边形的周长是几?(6)
正六边形的周长是6,直径是几?(2)
那么正六边形的周长是直径的几倍?(3倍)。
我们再看:因为圆的周长比里面正六边形的周长长,所以圆的周长肯定比它直径的三倍多一些,对不对?
多多少呢?咱们继续证下去:这是正几边形?(12边形)
正12边形的周长比正六边形怎么样?怎么知道的?
它比圆呢?(短)
这种方法叫做割圆术。
如果我们再继续割下去,割成正24边形、48边形、96边形……你想象一下,
是不是越来越接近圆了。
就是这样的思想、这样的方法,他就得到了这样的结果(演示)
后来,(边演示边说明:祖冲之算到……
刘徽的割圆术(介绍得较详细)──祖冲之算到3.1415926至3.1415927之间──阿拉伯数学家算到17位小数──1706年英国数学家算到100位小数──1949年美国科学家用计算机算出2000多位小数──1989年美国科学家用计算机算出
4.8亿位小数──2002年日本科学家用计算机算出12411亿位小数。
师:人们发现,圆的周长和它直径之间的倍数,是一个无限不循环小数,但同时也是一个固定的数。这个数是3.[**************]2…。我们把这个倍数叫做圆周率。用字母π来表示
(2) 介绍π及其写法、读法。
【设计意图:学生在探究后得出了3.2、3.1555、3.142857等答案,教师并不就此顺势得出圆的周长是直径的3倍多一点,一般取3.14。相反,教师添加了一些“繁琐”的步骤,如先亲自“精确”地测量一个圆的周长和直径并计算倍数,再呈现数学家刘歆的测量计算结果。这样做的目的,就是为了让学生认识到,“用测量的方法,是永远无法得到这个答案的”。基于这样的愤悱情绪,教学再深入一步,介绍古今中外对圆周率的探究历程,尤其是奇妙的“割圆术”。至此,一个活生生的、充满了数学魅力的圆周率,就被深深地刻在了学生的头脑中。】
三、练习巩固。
1. 基础练习。
师:数学家千方百计地算出了这个圆周率,那么这个圆周率到底可以派什么用场呢?
生:只要测量直径,可以用直径乘圆周率来计算周长。(得出文字公式)
师:用字母怎么表示呢?C=πd
如果已知半径r,圆周长的字母公式又该怎么表示呢?(C=2πr) 指出:在计算时,圆周率π一般取3.14
(1) 课件呈现直径为4厘米的圆,学生计算周长。(板书)
(2) 课件呈现半径为5厘米的圆,学生计算周长。(板书)
四、课堂小结:通过这节课的学习,你有什么收获?
机动练习:
我们今天所学的内容在日常生活中有广泛的应用:(课件呈现图片和文字)
(1) 一个近似于圆形的湖泊,湖中央的一条堤坝(直径)长约2000米,沿湖有一条环湖路。环湖路长约多少米?
学生自己解决,汇报
师:还有别的取法吗?为什么这么取?(计算好算,数也容易记,而且它只是个近似的圆,我们没有必要那么精确。所以古人用周三径一可不可以?
(2) 神舟七号飞船绕着一个圆形轨道飞行,这个圆形轨道的直径是13441.9千米。飞船飞行一圈是多少千米?
学生自己解决,汇报
师:有没有不同的取法?
如果你是航天组的成员,你会取那个数值?
比较一下不同取值后的答案
指出:通过刚才解决问题,我们知道针对不同的问题,不同的需要,在求圆的周长时,我们可以取不同的数值。
(第(1)题,圆周率取3也无妨;第(2)题,圆周率应尽量取得精确些。)
【设计意图:做了基本的练习之后,呈现两个具有较强现实性的问题情境,引发了学生对圆周率应用的思考。一个并非标准圆形的湖,计算其周长,直径乘3,简洁快速,“周三径一”的价值更是不讲自明。神七轨道,取3.14或取3.142,周长相差近27千米,毫厘之差,影响重大,圆周率精确度的作用凸显无遗。现实的情境,鲜明的对比,使学生清晰地感受到了数学应用的特性以及价值。这样的过程,是应用的过程,也是学生提升解决问题能力和发展创新精神的过程】
五、布置作业:
六、板书设计
七、课后反思