函数的三要素
第一章 函数
第一讲 函数的概念
【知识归纳】
(1) 映射
映射的定义:设A ,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有惟一确定的元素y 与之对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f) 叫做集合A 到集合B 的映射,记作f:A→B. 其中与A 中的元素a 对应的B
中的元素b 叫做a 的象,a 叫做b 的原象.
辨析:
①任意性:映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等; ②有序性:映射是有方向的,A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射; ③存在性:映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象; ④唯一性:映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的;
⑤封闭性:映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素,不要求B 中的每一个元素都
有原象,即A 中元素的象集是B 的子集.
映射三要素:集合A 、B 以及对应法则f ,缺一不可;
(2) 映射观点下的函数概念
如果A ,B 都是非空的数集,那么A 到B 的映射f :A →B 就叫做A 到B 的函数,记作y=f(x),其中x ∈A ,y ∈B. 原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C (C B )叫做函数y=f(x)
的值域. 函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”,有时简记作函数f(x).
(3)函数概念:
设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在
集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 记作:y = f (x ) ,x ∈A . 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然,值域是集合B 的子集.
(4)函数的表示方法
1.解析式:把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来,得到的式子叫做解析式. 2.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3.图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系.
【经典例题】
例1 以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射?
(1)集合A = {P | P 是数轴上的点},集合B = R ,对应关系f :数轴上的点与它所代表的实数对应;
(2)集合A = {P | P 是平面直角坐标系中的点,集合B = {(x | y ) | x ∈R ,y ∈R },对应关系f :平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;
(3)集合A = {x | x 是三角形},集合B = {x | x 是圆},对应关系f :每一个三角形都对应它的内切圆;
(4)集合A = {x | x 是新华中学的班级},集合B = {x | x 是新华中学的学生},对应关系f :每一个班级都对应班里的学生.
练1 已知下列集合A 到B 的对应,请判断哪些是A 到B 的映射?并说明理由: (1)A=N,B=Z,对应法则:“取相反数”;
(2)A={-1,0,2},B={-1,0,1/2},对应法则:“取倒数”; (3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”;
(4)A={α|00≤α≤900},B={x|0≤x ≤1},对应法则:“取正弦”.
例2
1. 函数y = f (x ) 表示( )
A .y 等于f 与x 的乘积 B .f (x ) 一定是解析式
C .y 是x 的函数 D .对于不同的x ,y 值也不同
2.下列各图中,可表示函数y =f (x ) 的图象的只可能是 ( )
A B C D
3. 下列四种说法中,不正确的是( )
A .函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B .函数的定义域和值域一定是无限集合
C .定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了
D .若函数的定义域只含有一个元素,则值域也只含有一个元素
2
4. 已知f (x ) = x + 4x + 5,则f (2) = __ ,f (–1) = __ .
2
5. 已知f (x ) = x (x ∈R ) ,表明的“对应关系”是______,它是____→_____的函数.
第二讲 函数的定义域
【知识归纳】
1. 函数的定义域:
函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x 的取值。(注:专指x 的取值范围。) 2. 函数定义域的求法:
(1)由函数的解析式确定函数的定义域;
(2)由实际问题确定的函数的定义域;
(3)不给出函数的解析式,而由f (x ) 的定义域确定函数f [g (x )]的定义域。 注:1、具体函数的定义域
(1)若f (x ) 是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;
(2)若f (x ) 是偶次根式,则函数的定义域是使(被开方数)根号内的式子大于或等于0的实数集合;
(3)若f (x ) 是对数函数,则函数的真数要大于0; (4)若f (x ) =x ,则x 不等于0 。
(5)指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. (6)正切函数的角的终边不能在y 轴上. (7)分段函数:
①分段函数是一个函数. ②分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. (8)复合函数定义域的求法:
①已知y =f (x ) 的定义域是A ,求y =f [ϕ(x )]的定义域的方法为解不等式:ϕ(x ) ∈A ,求出x 的取值范围.
②已知y =f [ϕ(x )]的定义域为A ,求y =f (x ) 的定义域的方法:x ∈A ,求ϕ(x ) 的取值范围即可.
(9)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
(10)若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 2、抽象函数的定义域求解:
不管括号内是什么,定义域是指x 的范围;无论括号内是什么,括号的整体范围不变。
3、区间表示法:设a ,b ∈R ,且a
满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合,叫做闭区间,记作[a , b ]. 满足a
满足a
(a , b ]或[a , b ). a 与b 叫做区间的端点,在数轴上表示时,包括端点时,用实心的点,不包括时用空
心点表示.
【经典例题】
例1. 函数y =-x +
x 的定义域为( )
A . {x x ≤1} B . {x x ≥0} C.x x ≥1或x ≤0 D.{x 0≤x ≤1}
(x +1)例2. 函数f (x )=的定义域是( )
{}
x -x
A . (0, +∞) B . (-∞, 0)
C. (-∞, -1) (-1,0) D. (-∞, -1) (-1,0) (0, +∞)
例3. 若函数y =f (x +1)的定义域是[-2, 3], 则y =f (2x -1)的定义域是( )
⎡5⎤
B . [-1, 4] C . [-5, 5] D . [-3, 7] A . ⎢0, ⎥
2⎣⎦
例4. 已知函数f (x )=
1
, 则函数f [f (x )]的定义域是( ) x +1
A . {x x ≠-1}B . {x x ≠-2}C . {x x ≠-1且x ≠-2}D . {x x ≠-1或x ≠-2}
例5. 已知f
3x ⎫
-2x )求函数f ⎛ ⎪的定义域是?
1-2x
⎝
⎭
例6. 若函数
y 的定义域是R ,求实数k 的取值范围.
例7. 已知函数f (x ) =lg
1+x f (x +1) x
,求函数F (x ) =+f () 的定义域. 1-x 2x +12
例8. 已知函数f (x ) =a ⋅2x +b ⋅3x ,其中常数a , b 满足ab ≠0. (1)若ab >0,判断函数f (x ) 的单调性;
(2)若ab f (x ) 时x 的取值范围.
【巩固练习】
1. 函数y =
x x -1+x 的定义域为( )
A . {x x ≥0}
2. f (x )=
B . {x x ≥1}
C . {x x ≥1} {0}
D . {x 0≤x ≤1}
11+
1+x
的定义域为3. 已知函数f (x )的定义域为[-2, 2]. ①求函数f (2x )的定义域; ②求函数f
⎛1⎫
x -1⎪的定义域. ⎝4⎭
4. 已知函数f
x 2-4的定义域x ∈[3, 5],则函数f (x )的定义域是?
)
5. 如果函数f (x )=(x +1)1-x 的图像在x 轴上方,则f (x )的定义域为( ).
()
A . x x
{
} B . {x x >1} C . {x x -1且x ≠1}
1
1-log a y
+
6. (1)已知a , x , y , z ∈R , a ≠1,设x =a
, y =a
11-log a z
, 用a , x 表示z .
2
(2)设∆ABC 的三边分别为a , b , c ,且方程x -2x +lg(c -b ) -2lg a +1=0有等根,判断
22
∆ABC 的形状.
第三讲 函数的值域
【知识归纳】
1. 函数的值域:
函数的值域是指在定义域的范围内函数的取值范围。(是指y 的取值范围。) 2. 函数值域的求法:见经典例题中分类。
【经典例题】
一.观察法:对于一些比较简单的函数,如正比例, 反比例, 一次函数, 指数函数, 对数函数, 等等, 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
y =x -2x +5, x ∈R 的值域。 例3.求函数
四.判别式法:适用于二次方程的分式函数或无理函数, 可用判别式法求函数的值域。 使用判别式求函数值域的条件是自变量x ∈R 。
22
例4.求函数y=(2x-2x+3)/(x-x+1)的值域。
点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。特别注意转化后的二次方程的二次项系数为0的情况。
222
常适应于形如y=(ax+bx+c)/(dx+ex+f)及y=ax+b±√(cx+dx+e)的函数。 五、均值不等式法:适用于二次型的分式函数。
,使用均值不等式的条件是
“一正,二定,三相等”。x+a/x≥2√x ·a/x=2√a(x>0);x+a/x≤-2√a (x
六、函数有界性法:直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
e x -1
y =x
e +1的值域。 6. 求函数
例
十、分离常数法:
1-x
例10.求函数 y=2x +5的值域
【巩固练习】
1. 函数y =
1
x
(x >1) 的值域是---------------------------------------[ ] A .(-∞, 0) (0, +∞) B.R C.(0,1) D.(1,+∞) 走
2. 下列函数中,值域是(0,+∞) 的是-------------------------------- [ ] A .
y = x 2-3x +1 B.y =2x +1(x >0) C.y =x 2+x +1 D.y =1x
2
3. 已知函数f (x )的值域是[-2, 2], 则函数y =f (x +1)的值域是--------[ ] A. [-1,3] B.[-3,1] C.[-2, 2] D.[-1,1]
4. f (x ) =x 2
-x , x ∈{±1, ±2, ±3},则f (x ) 的值域是: . 5.
函数y =x -2的值域为: . 6. 函数y =
1
x 2-2x +2
的值域为: .
7. 求下列函数的值域 (1
)y =1 (2)y =-2x 2-x -1 (3)y =x 2(-2≤x ≤3)
(4)y =x 2-11+2x
x 2+1 (5
)y =2x (6)y =1-3x
8. 当x ∈[1,3]时,求函数f (x ) =2x 2
-6x +c 的值域
.
. 第四讲 函数的解析式
【知识归纳】
求函数解析式的方法: 1、整体代换(配凑法)
2、换元法( 注意新元的取值范围)
3、待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等)
4、构造方程组(如自变量互为倒数、已知f (x )为奇函数且g (x )为偶函数等) 5、赋值法
【经典例题】
类型一 具体函数的解析式求法
题型一、代入法求解析式
例1 已知f (x ) =3x 2
+5x +7, 求f (2x +1) 的解析式.
练 已知f (x ) =2x +1,g (x ) =⎧⎨x 2, x ≥0
,求f [g (x )]和⎩
-1, x
题型二、换元法
例2、已知f (1-x 1-2
1+x ) =x 1+x 2
, , 求f (x ) 的解析式
练 已知f (1-sin x ) =sin x -cos 2
x , 求f(x)的解析式
题型三、配方法求函数解析式
例3
、已知f 1) =x +求f(x)及f(x+1)的解析式。
练 已知f (x +1) =x 3
+
1
x
x 3
, 求f(x)的解析式
题型四、待定系数法
例4、已知f (x ) =3x -1, g (x ) 为一次函数,f [g (x )]=2x +3, 求g (x ) 的解析式
练 2、已知二次函数g (x ) 满足g (1)=1,g (-1) =5,图像过原点,求g (x ) ;
题型五、赋值法
2f (x ) -f (1
) =x +1例5、已知x (x ≠0)
,求f (x ) ;
类型二 抽象函数的解析式求法
例1、若函数f (x ) 满足2f (x ) +f (1x
) =3x , 求f (x ) 的解析式。
.
学大教育科技(北京)有限公司
XueDa Education Technology(Beijing )Ltd
长沙分公司德政园校区
. 【巩固练习】
1、已知f (x ) =9x +1, g (x ) =x , 求满足f [g (x )]=g [f (x )]的x 的值。
2、已知二次函数F (x ) ,其图像的顶点是(-1,2) ,且经过原点,求F (x ) 。
3、已知f (x ) 为二次函数, 若f (0)=0且f (x +1) =f (x ) +x +1, 求函数f (x ) 的解析式。
4、设二次函数f (x ) 满足f (x -2) =f (-2-x ) , 且图象在y 轴上的截距为1, 被x
轴截得的线段长为2求函数的解析式。
5.若f (x +1) =2x +1,求f (x ) 。
6.若一次函数f (x ) 满足f [f (x )]=1+2x ,求f (x ) 。
27. 已知f (x ) = x + 1,则f (3x + 2) = ;
已知:f(x +1) =x +x ,求f(x)的解析式;
28. 已知f(x)=a x +bx +c ,若f(0)=0,且f(x+1) =f(x)+x +1,求f(x).
29. 已知f(2x+1) =x +1,求f(x)的解析式.
10. 已知f(x+1) =3x +2,则f(x-1) =( )。
2
关注成长每一天
11