发现隐圆突破解题壁垒
～
６３
数学教
学
０ １２５ 年 第７ 期
现 隐圆
发
突破 解 壁题 垒
２ ２ ５７ ０ 江苏省０化兴市第 中一 学张 俊
有
数些 学 问，题 将圆 藏隐在 已 条 件知 里， 隐地考晦点查 和圆直线和、、圆圆和 的位圆置 系关． 题时解，需要 们我通过分析探 索 ，发现这 些藏隐的圆 （ 称隐 圆）简 ，再利用 圆和有关 一的 些 知 识 进 行求 解 ．１ ．点和 隐 圆
解
： 如图２ 取 Ｍ Ｎ，中 点 ， 连结 Ｏ、Ａ
ＯＮ， 则 ：
＋ Ｐｆ：２ ．
Ｉ
Ⅳ
～
例 ｌ
在 面直平角坐 标 系 Ｏｘｙ中， 知已圆 Ｃ Ｘ ：＋Ｙ ２ ６ ｘ＋５ ：０— ，点Ａ、Ｂ 在 圆 上 ，Ｃ且
、
Ｂ＝２
３ ， √Ｊ 则 ｌＯ ０ Ｂ＋ ｌｌ 的大最是值
．
图２
： 解 Ｃ即圆（ 一 ３ ） ＋ ２ ： ４ ，圆为 心（３ ， ０）， 径 半 为 ．２如 １ ，图 取Ｂ中 点 ，Ｄ连结 ， Ｄ则 结合垂定径 理和勾 定理易得股Ｄ ＝ １ 因．此
设Ａ ｘ（， ） ．因 为 为点 ＭＮ的 点中，所以
ＯＡ￣Ｍ Ｎ ， 则 Ⅳ ＝ ＮＯ。一 ＡＯ １ ６＝一 （Ｘ ２
＋动
点 在Ｄ 以ｃ（ ，３ ） 为０圆， 心１ 为径 的圆半运上 动 ，圆方程 为此 ｚ（一３ ）＋Ｙ ＝ １ Ｊ
ＶＬ
２ ） ．
又因
为
． 南 ０ ，：所以 ＰＡ ：Ⅳ 即，
Ａ
（
一 １ ） ２ （＋ Ｙ 一２ ）２ ＝ ６１ （ 一 ＋ ，）所 （以 一
）
－ ）１ ｚ ：２ ７
～．
Ｄ
故Ａ 在点 以Ｂ点 （ 去，１ ）为 圆心 ， 半 Ｒ＝ 径昙
圆 的上运 动， 然显点 定 Ｐ（ １， ２） 此圆内 ，在
而 因求 ＰＡ 的 小最值 为即求定 点 Ｐ （ １，２ ） 与
圆
＼＼ ＼ 图１
／ 易， 此 最知小 值为 芸 一 Ｂ ＝Ｐ善 一， ／ ５ ， 则 Ｉ ＋ ｌ ：２ ｊ ｌ 因， 值 而要求圆 只 （一３ ） Ｘ Ｙ＋２＝ 上１动一点 Ｄ到 定 ｌ故 Ｉ 的 最 小 为 ３值 一 ￣ ／５ ．
＋ ：２一 ０Ｄ，
一另 方面 ，由于 点 为 ＢＡ 的 中点 所 以，
Ｂ ：
（ 一 ） － １ ） 圭＝ 上 一 点 离距 的 ／ 最 、Ｊ
说 明 ｝ —： ＰＱ ｌ的 最 大值 为 ３＋ ．
２．直线 和 隐圆
点 ０离的距大最 ， 易知此值大最为值（ 二 ＋）１＝
４ 故Ｉ Ｏ＝， ｆ４ ＋矗０ ｛最大的是８值 ．
１ Ｉ
明： ｌ Ｏ说 ＋ （ ） 百二 的最 Ｉ值 是２小（ Ｃ０一 『 Ｉ
ｌ １ ： ４
．
例３ 知已 动点Ｍ 与个两 点 ０定（０ ， ０ ） 、
ｄ （ａ ０ ），的 距 离之 为去比 ，那 直线Ａ么Ｍ 的率 斜的
取值 范 围 —是— ．，
例２在 面直平角 坐标 系ｘ ｙ中，已Ｏ知圆
０ ： Ｘ ２ ＝＋１ ６
Ｐ（ １点， ２ ， ）Ｍ、Ｎ 为 Ｏ上圆的
不
的两同 点 且， Ｐ ＰⅣ．＝ ０ ，若 Ｐ Ｑ＝Ｐ ＋Ｍ
： 先求动 解 点Ｍ 的迹轨方 ． 设程 （ ， ） ， 而 Ｍ由
＝Ｏ
Ｐ ，则 ｌＰ Ｉ 的最 小值 为——
．１
得 蓦 整 １ 理得
２０ １ ５ 年第 ７
圆心期， 为２半径 圆的 运上动 ．
数学 学教
— ３
（ ｚ＋
１ ） ＋ Ｙ＝４ ， 动 点 Ｍ 在即 以Ｂ（ 一ｌ ， ０ ） 为 当
直线 与Ｍ圆 Ｂ相 时，切 设 斜率 为 ，
２—≤ １、／ ０（—０ ）（＋ ａ ２一 一（ ４一１ ） ）
≤＋ １２
，解得０ ≤ 口 ≤ ， 即 日 的 值 范 取围是『 ０ ， ．
］例６ 已知 ｏ：Ｍ（ １ 一 ）＋ （ 一４ ） ４ ＝，若 过 上轴的点一 （ Ｐａ ， １ 可０以一作线与直ｏ
相Ｍ 于交 Ｂ两、点 ，满且 Ｐ足 ：ＢＡ ， 求ａ的 取 范 值围 ．解 法１ ： 如３ 图，过 点Ｂ ｏＭ 作的 径 Ｄ直
，： 连 结 Ｄ、ＪＤＦ ） ， 于 由ＡＡＢＤ＝ ０ ９ ，。Ｐ Ａ＝ＢＡ，
则其方
程为 ＝ （ ３一 ），根 据
＝
２
得 ｋ ＝ － ４ ，直线故ＡＭ 的斜 率的 值取 范围
苊日 ｒｌ 一百 ’ Ｊ １ ’
明：说到 定两点 离距之 ｆ比 不 １ 为 ） 等于 已知 数 的动轨迹 点为圆 ，个这圆 称阿波罗尼斯为
圆 ．
例
在４平 直面角 坐 系ｘ标 ｙ中Ｏ设 ，点
所
以ＤＰ ＝Ｄ ＝４Ｂ， 因而 Ｄ点 在Ｐ以（ ａ ０， ）为 心，圆４ 为径半 的ｏＰ ： —（ ） ＋ｎ ＝１ ６ 上 运
， 动 这 明说点 同时Ｄ ｏ在Ｍ和 ｏ上Ｐ， 因而两 圆必有 交个， 点 以所４ ２— ｖ ≤ ／ （ａ－ １） ￣ （ ＋ －０ ４ ） ：
≤ ４＋ ２ ．
（ Ａ１ ，０） 、 Ｂ（ ３， ０ ） ｃ、 （ｏ， ０ ）、 （ＤＯ ，ａ＋ ）２ 若，存 在
点 ，Ｐ 得使 Ｐ ｘ ＝／ Ｐ￣Ｂ，Ｐ ：ＣＰ Ｄ， 实数则
ａ的取 值 范围 是
解 设Ｐ （ ｘ ：， ）， 则、 ／ ／（ 一 １） ＋Ｙ ２ ＝ 、／ ／２ ・ ／ 、 ／— ）３ ＋ ２Ｙ， 整理得 一 ５ ）Ｙ ＋ ＝８ ，即
点动在 以（Ｐ ， ０５ 为圆）， ２心 、 ／／ ２ 为 半 的径圆上
运 动．
解得ａ 的取值范 围
是 ［１ ２ —， １＋ ２ 铜． Ｊ
Ｖ
另一 面方 ，由 Ｐ Ｃ＝Ｐ 知 Ｄ 点 动Ｐ 在 线 段
Ｃ 的 直垂 平线 分Ｙ＝ ａ＋１ 上 运，动 因而 题问 就 转化为直 线Ｙａ ＝ｌ 与圆 ＋ 一 ５（） ＋ ＝８ 有
（ ＝二 Ｍ ／＼ ｌ
Ｄ、。．
交，点所以 Ｉ ａ ＋ １ ｆ≤ 、 ／２ ２ ，／故 实 数的取ａ值 范 是 ｆ围 ２ －、 ／ １一， ２ 、 ／一 １ ］ ． ３
．圆 和 隐 圆
｜
・
～ ，
｜一
Ｐ
｜
， ｉ
Ｄ
例
５ 在 面平 直角标坐系 ｘ Ｏ Ｙ，中 点Ａ （ Ｏ， ３ ）
， 直 线 Ｚ Ｙ：＝ ２ｘ～４．设 圆 的 半径为 ｌ ， 圆
心３图
Ｚ 上在若 圆． 上 存在点 Ｍ ， 使Ｍ ＝ ２ ｏ，Ｍ
求 圆心Ｃ 横的 坐标 ａ的 值取 围范．
解法
２ ：设 （ Ａ ｘ ，） ， 则 Ｂ（ ２ｘ—ａ ， ２） ． 因 为点Ｂ ＯＭ在＿ ｋ ， 所 以（ ２ ｘ— ａ一 １） （＋２ ｙ
一
解
： 设 （ｃａ ，２ ａ ４一 ， 则 圆方）程 （为Ｘ— ｎ ）＋ （Ｙ２ ａ一 ４ ）＋ ２＝ １ ．又设 （Ｍ ｏ ， ｘ ｙ ｏ ，）因为 ＝２ ＭＯ 所 ， 以
４ ） － － ４， 即
（
一 ） ＋ （ ２ ）一 ： ． １ ………． ．． （木 ） 这
表 点 明Ａ 方在 程 ｆ木 ） 表 示 的圆．上 又 点 Ａ在 三 （ ） 上 因，此这 两 圆个有 公 点共 ， ・
３
＋ （ 一 ） ２３ ＝ ４ ￣Ｘｏ ＋ ４ｙ ｏ２ ，即 Ｘ２ ｏ （＋ ｙ ＋１ｏ ２）＝４ ．
说 明这 Ｍ在 既 圆 （ — ｎ ） ＋（ Ｙ ２ ａ 一４ ＋）
＝ １上 ，又 圆 ２在＋ （＋１ Ｙ）２＝ ４上， 因 而两这个 圆 必有交点 ，两即相交或圆切相， 故
２—１≤
．
１＋
２
．
（ ２ ＋４ ）— ≤ｌ ＋２ ，
解
得ａ的取 范值是围［１ — ２ １ ，－４ － ２铜 ．