二次函数与几何简单结合试题
二次函数与几何简单结合试题
1、已知二次函数y=a(x-m) 2-a(x-m) (a、m 为常数,且a ≠0) 。 (1) 求证:不论a 与m 为何值,该函数的图像与x 轴总有两个公共点; (2) 设该函数的图像的顶点为C ,与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点D 。 ① 当△ABC的面积等于1时,求a 的值: ② 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m 的值。
2、如图1,已知正方形ABCD 的边长为1,点E 在边BC 上,若∠AEF=90°,且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F .(1)图1中若点E 是边BC 的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);(2)如图2,若点E 在线段BC 上滑动(不与点B ,C 重合).①AE=EF是否总成立?请给出证明;②在如图2的直角
坐标系中,当点E 滑动到某处时,点F 恰好落在抛物线y=﹣x 2+x+1上,求此时点F 的坐标.
3、如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线y=x 2+2x与x 轴相交于O 、B ,顶点为A ,连接OA .(1)求点A 的坐标和∠AOB的度数;(2)若将抛物线y=x 2+2x向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m ,其
顶点为点C .连接OC 和AC ,把△AOC沿OA 翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由;(3)在(2)的情况下,判断点C′是否在抛物线y=x 2+2x上,请说明理由;(4)若点P 为x 轴上的一个动点,试探究在抛物线m 上是否存在点Q ,使以点O 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,且OC 为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
4、如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 、OC 分别在y 轴和x 轴的正半轴上,且长分别为m 、4m (m >0),D 为边AB 的中点,一抛物线l 经过点A 、D 及点M (﹣1,﹣1﹣m ).(1)求抛物线l 的解析式(用含m 的式子表示);(2)把△OAD沿直线OD 折叠后点A 落在点A′处,连接OA′并延长与线段BC 的延长线交于点E ,若抛物线l 与线段CE 相交,求实数m 的取值范围;
(3)在满足(2)的条件下,求出抛物线l 顶点P 到达最高位置时的坐标.
5、如图,在直角坐标系xOy 中,二次函数y=x2+(2k ﹣1)x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ,使△AOB的面积等于6,求点B 的坐标;(3)对于(2)中的点B ,在此抛物线上是否存在点P ,使∠POB=90°?若存在,求出点P 的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.
6、如图,三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形,点A ,C 分别是一次函数
31y =-x +3的图象与y 轴、x 轴的交点,点B 在二次函数y =x 2+bx +c 的图像48
上,且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形.(1)试求b ,c 的值、并写出该二次函数表达式;(2)动点P 从A 到D ,同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动,问:①当P 运动到何处时,有PQ ⊥AC? ②当P 运动到何处时,四边形PDCQ 的面积最小? 此时四边形PDCQ 的面积是多少?
7、已知二次函数y =x 2-2mx +m 2-1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O (0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如题23图,当m=2时,该抛物线与y 轴交于点C ,顶点为D ,求C 、D 两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点P ,使得PC+PD最短?若P 点存在,求出P 点的坐标;若P 点不存在,请说明理由.
(-2,0)8、如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为,点B
的坐标为,1已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 经过三点A 、B 、O(O为原点) .(1)求抛物线
O C 的周长最小.的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C ,使∆B 若
存在,求出点C 的坐标.若不存在,请说明理由;(3)如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点,那么∆PAB 是否有最大面积.若有,求出此时P 点的坐标及
(注意:本题中的结果均保留根号). ∆PAB 的最大面积;若没有,请说明理由.
9、如图,抛物线经过A (-1,0),B (5,0),C (0,-)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点P ,使PA +PC 的值最小,求点P 的坐标;(3)点M 为x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N ,使以A ,C ,M ,N 四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N 的坐标;若不存在,请说明理由.
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10、如图,对称轴为直线x =-1的抛物线y =ax 2+bx +c(a≠0)与x 轴相交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为(-3,0).(1)求点B 的坐标;(2)已知a=1,C 为抛物线与y 轴的交点.①若点P 在抛物线上,且S △POC =4S △BOC ,求点P 的坐标;
②设点Q 是线段AC 上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D ,求线段QD 长度的最大值.