巧求周长与面积答案版

第1讲

巧求周长和面积

编写说明

几何是研究现实世界的空间形式与数量关系

的一门科学，是日常生活和进一步学习必不可

少的基础和工具．几何问题非常直观、有趣，

但是仍然有的同学对解几何问题的基本方法

掌握不好．之前已经学习了长方形和正方形的

周长和面积公式，利用公式可以解决一些简单

的标准图形的周长和面积问题，对于一些复杂

的不规则图形的周长和面积问题，我们可以采

用平移、转化、分割、添补、合并等方法，将

问题转化为我们熟悉的、简单的图形问题，从

而顺利的解决．

知识要点

周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个

图形的周长．

面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫

做它们的面积．

长方形的周长2(长宽)．面积长宽．

正方形的周长4边长．

正方形的面积边长边长．

【例1】 下图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是

多少厘米

?

【分析】 每个正方形的面积为4001625(平方厘米)，所以每个正方形的边长是5厘米。观察上图，这个

图形的周长从上下方向来看是由7214条正方形的边组成，从左右方向来看是由

423420条正方形的边组成，所以其周长为514520170厘米。

【前铺】 学而思学员中有两只小牛：海海、宝宝，他们是两兄弟，放学后两人一起回家，海海走第一条路，

宝宝走第二条路，他们的速度一样，那么谁会先到家呢？

【分析】因为海海和宝宝速度相同，所以只要知道谁走的路程少，那么答案也就出来了。首先可以让大家

讨论一下，认为海海先到家的举手，然后认为宝宝先到家的举手。并请大家说明自己的理由。

【温馨提示】通过这题来引出我们本节课的主题，最后可以点出巧求周长常用的方法是平移，当然还有转

化，分割，添补，合并等。然后第一题例题的拓展就可以用这种方法来解决。

【拓展】 图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且图⑴的周长是22厘米，那么图⑵的周长是多少

厘米？

【分析】 图⑴的周长是小正方形边长的12倍，图⑵的周长是小正方形边长的18倍，因此，图⑵的周长为

22121833厘米。

【例2】 计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积为300平方米，那么

修建这个花坛需要占地多少平方米？

(1)(2)

(1)(2)

【分析】 （法1）：要求正方形花坛的面积，就要先求正方形花坛的边长。将环形小路进行分割，得到四个

300475面积相同的小长方形（如图1）。由于小路的面积已知，那么每一块小长方形的面积为：

（平方米）。由题意知，小长方形的宽为3米，于是长方形的长为：75325（米）。那么正方

形花坛的边长为：25322（米）。所以正方形花坛的面积为：2222484（平方米）。

（法2）：若我们将环形小路用另外一种方法分割（如图2)，阴影部分是四个面积相等且边长为3

的小正方形，它们的面积和为：33436（平方米）。从环形小路的面积中减掉这四块阴影部

分的面积后剩下的又是四块相等的长方形，每块长方形的面积为：(30036)466（平方米）。

66322（米）2222484长方形的长为：，即为正方形花坛的边长，所以正方形花坛的面积为：

（平方米）。

【拓展】 一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加

9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？

【分析】 小正方形的面积为：3030900平方米。用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个

长方形的面积和，为：99009009000平方米。而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一

个长方形的面积为900024500平方米。长方形的宽为30米，那么长为：450030150米，

这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为15015022500（平方米）。

【例3】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合（如左下图），

已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是12，绿色面积是8，那么正方形盒的底面

积是多少？

黄红绿黄红绿

【分析】 黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分面积不同，由于三块纸片的大小一样，把黄色纸 片向左

移动，在这个移动过程中，黄色纸片露出部分减少的面积等于绿色纸片纸片露出部分增加的面积，它们露出部分的面积和不变，为81220。当黄色纸片移动到正方形盒的最左边时，如右上图

所示，可知此时黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分的面积相等，所以黄色纸片露出部分面积

为20210，绿色纸片露出面积也为10。

右上图中，由于红色部分面积是绿色部分面积的20102倍，

所以黄色部分面积是空白部分面积的2倍。所以空白部分的面积

为1025，正方形盒的底面积为201010545。解答此

题的关键是让黄色纸片移动，使复杂的图形变为基本图形。

【前铺】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如左下图所

示。如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？

【分析】 我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过旋转、平移两次动态的处理，移到两

条边上（如右上图）。在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖

组成一个正方形。黑色瓷砖共101块，所以大正方形的边长为(1011)251，白色瓷砖组成的

正方形的边长为51150，50502500，所以白色瓷砖共用了2500块。

法二、可以通过旋转，将两条对角线旋转到中间，然后再计算就可以了。所以白色共用了

[(1011)21]21012500块。

【拓展】若黑色瓷砖为100块，那么白色共用多少块？

【分析】 所以白色共用了：(1002)210025001002400块。

【温馨提示】这里老师可以让同学们任意说出几个黑色瓷砖的块数，然后老师快速计算出白色瓷砖的块数，

学生一定觉得很神奇。接下来老师让学生们尝试总结。

若黑色瓷砖为2n块，那么白色共有多少块？n22n。

若黑色瓷砖为2n+1块，那么白色共有多少块？(n1)2(2n1)n212n2n1n2

【例4】 （希望杯培训题）小军用编号为1，2，3，4，5的大小不同的正方形拼出一个长方形，如下图

所示，则中间阴影部分正方形的周长是多少厘米？

厘米

【分析】 因为正方形1的边长正方形2的边长正方形3的边长30厘米， 正方形1的边长正方形2的

边长22厘米，所以 正方形3的边长30228(厘米)，正方形5的边长2正方形3的边长22厘米，所以正方形5的边长22826厘米，周长为6424厘米。

【拓展】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。下面一个长方形是由

9个小正方形组成的完美长方形。图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？

DEF

CAA

G H

【分析】 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)。

设最小的正方形边长为x厘米，又因为小正方形A的边长为7厘米，小正方形B的边长为4厘米，所以小正方形C的边长可以表示为7x（厘米），小正方形D的边长可以表示为7xx72x（厘米），小正方形E的边长可以表示为7x411x（厘米），小正方形F的边长可以表示为11x415x（厘米），小正方形G的边长可以表示为15x419x（厘米），小正方形H的边长可以表示为7x714x（厘米），观察大长方形可知：小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，可以列方程为：(72x)(7x)(14x)(15x)(19x)，解得x1。从而可得小正方形C、D、E、F、G、H的边长分别为8厘米、9厘米、10厘米、

，宽为：141832（厘米），14厘米、18厘米、15厘米。大长方形的长为：181533（厘米）

大长方形的面积为：33321056（平方厘米）。

【例5】 如左下图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各条边的中点，正方形ABCD的面积是5，求

中间阴影部分的面积

.

【分析】 将原图剪拼如右图，则原正方形可以分成5个小正方形，所以阴影部分正方形面积为1。

【拓展】 如图，正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积。

C

【分析】 如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是

5555，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。

F

【例6】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形。再将

这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如下图所示的图形。如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积。

大

中

图a图b

【分析】 题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图a)，由已知，图中最小的小正三角形的面积

是1平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正三角形为单位，对图a进行分割，得到图b。从图b可以看出，一个大正三角形中包含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形。由此可以求出，一个大正三角形中包含9981个小正三角形，在图a中，除了一个大三角形之外，还有3个中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为：993912120个，而每个小正三角形的面积为1平方厘米，所以图a中图形的面积为120平方厘米。

【练习1】 在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽2米的路（如下图），这条路的面积是120平方米，

那么水池的面积是多少平方米？

【分析】 水池的边长为(120224)4213米，所以水池的面积为

1313169平方米。

水池

【练习2】 （“迎春杯”初赛）如下图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH，中间阴影为

正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形ABCD的面积是20平

方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。

BFCD

【分析】 甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、丙、丁四

个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的2倍。大正方形的面积等于四边形ABCD的面积

加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即2032236平方厘米，所以大正方形边长为6厘米，

所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为64248厘米。

【练习3】 计算下面图形的周长(单位：厘米)。

【分析】 要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件。但是，我们仔细观察这个图形，发现它的

每一个角都是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线

处(见右下图)，这样正好移补成一个长方形。求长方形的周长就易如反掌了。所以图形的周长

是：(1015)250(厘米)。

【练习4】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试

验田的面积是多少平方米？ 15

图

a图b

【分析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图（如图a），将大正方形

在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图b）。由于两个正方形的周

长相差40米，从而它们的每边相差40410米，即图b中的长方形的宽是10米。又因为长方

形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长为：2201022（米）。

由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形

的边长之差，从而小正方形的边长为：(2210)26（米）。所以小正方形的面积为：6636

（平方米）。

【练习5】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），

问大矩形的面积是多少平方厘米？

G

36

AC

F2030D

【分析】 通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的

宽相等，即BC相等，不妨假设BC2厘米，可以算得：AC8厘米，CD10厘米。于是可

以算得：GC3684.5厘米，BE30103厘米，EF1281.5厘米。于是大长方形的

长为10818厘米，宽为4.5231.511厘米，因此大长方形的面积为1811198平方厘

米。

【练习6】 下图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。

【分析】 如右图所示，可知阴影部分面积与空白部分面积之差即为小长方形OPMN的面积，为326平

方厘米，所以阴影部分面积为(1006)253平方厘米。

中国馆

中国馆建筑外观以“ 东方之冠”的构思主题，表达中国文化的精神与气质。国家馆居中升起、层叠出挑，成为凝聚中国元素、象征中国精神的雕塑感造型主体——东方之冠；地区馆水平展开，以舒展的平台基座的形态映衬国家馆，成为开放、柔性、亲民、层次丰富的城市广场；二者互为对仗、互相补充，共同组成表达盛世大国主题的统一整体。国家馆、地区馆功能上下分区、造型主从配合，空间以南北向主轴统领，形成壮观的城市空间序列，形成独一无二的标志性建筑群体。

你就是第一

理查·派克是运动史上赢得奖金最多的赛车选手。他第一次赛车回来时，兴奋地对母亲说：“有35辆车参赛，我跑了第2。” “你输了”母亲毫不客气地回答。

“可是，”理查派克瞪大了眼睛，“这是我第一次参加比赛，而且赛车还那么多。”

“儿子，”母亲深情地说，“记住，你用不着跑在任何人的后面！”接下来地20年中，理查·派克称霸赛车界。他的许多记录至今都没有人打破。问他的成功原因，他说，他从未忘记母亲的教诲，是母亲在他为第二名沾沾自喜之时，帮他发现了他还可能是第一的希望！

刁钻的奖励

詹姆斯在一家珠宝公司工作，他工作非常努力。到了年底，公司奖励给他一条金链，由7个环组成。但是公司的奖励还附加了一个十分刁钻的条件：公司规定，他只能每周领取一个金环，而且切割费用她自己来付。

这个刁钻的条件让詹姆斯大伤脑筋，因为每切割一个金环，就要付昂贵的费用，而且再焊接起来，还需要一笔费用，真是不划算。詹姆斯想了很久，才想出一个好办法，他不需要把金链切割成7个金环，只需要取出其中一个金环就可以了。你能想出他是怎么做的吗？（答案在下期揭晓）

同学们，思维是玩出来了，冲破自己的思维局限，体验各种有趣的数学题，享受思考的乐趣。一次挑战成功，就是一次激荡脑力、出发创意的思维过程。迎接挑战，你准备好了吗？

“十进制”系统怎样工作

如果我们要写小于10的数，只需要写下一个数字即可，例如3或者8。

如果我们要写大于10的数，我们就需要同时使用1个以上的数字。我们可以写数字“六十五”为65，或者写数字“四百八十二”为482。我们甚至可以很容易地写很大的数字，例如98 746 227 021。(请想象一下用罗马数字怎么写呢?)

我们的数制之所以能工作是因为我们可以将同一组数字进行不同的组合，把它们放在不同的位置，它们就有不同的值。

例如数字531，我们知道1的值是1，3的值就是3×10=30，而5的值是5×10 × 10=500。显然，每一个数位的值都是它右面数位的10倍。

假定你使用了同样一组数字，只要把它们放在不同的位置，那么你将得到完全不同的数值。

例如，如果你把5、3、1重新组合成135，那么现在5的值只有5，3的值仍然是3×10＝30（3的位置和前面一样），而1的值是1×10×10＝100 ！

五年级 数学超常1班 教师版 11