下限积分求导公式
变上、下限积分求导公式
d ϕ(x )
f (t ) dt =f (ϕ(x )) ⋅ϕ'(x ) ⎰dx a
d b
f (t ) dt =-f (φ(x )) ⋅φ'(x )
⎰dx φ(x )
d ϕ(x )
f (t ) dt =f (ϕ(x )) ⋅ϕ'(x ) -f (φ(x )) ⋅φ'(x )
⎰φ(x ) dx
一、填空题答案
1、ln(x +1) 2、3、2-
2
1
+C 2
1+sin x
2
π
2
4、-2xf (x ) 5、
1
π
二、计算题（每题2分） 1
、
解：
⎰x
1
2
x 2+3
=⎰
111(-) =-⎰()
x x 2+3x 2+3x
1
令
11
=t , 则x = x t
原式=-⎰
1
d () =-⎰x 2+3x
11
(1/t )
2
+3
dt =-⎰
1
d (1+3t 2)
t
=-⎰+3t 2+3t 2
1d (1+3t 2)
=-⎰
6+3t 2
1
= -⋅2+3t 2+C
2、⎰
e
x
dx
解、令x =t , x =t 2, dx =2tdt 则原式=
⎰e
t
⋅2tdt =2⎰td (e t ) =2(e t ⋅t -⎰e t dt )
=2te t
-2e t
++C =2e x
(x -1) +C
3、⎰
x 2
ln xdx
解：原式=13⎰ln x (dx 3
) =13x 3ln x -13
3⎰x d (lnx )]
=13x 3ln x -1
3⎰x 2dx =13x 3ln x -1
9
x 3+C
π
4、
⎰
2
x cos x dx
π
解：原式=
⎰
20
xd (sinx )
62
= -131+3⎛ 1⎫
⎝x ⎪⎭+C
= -x 2+3
3x
+C
2-=x sin x 0
π
π
⎰
2
sin xdx
=
π
2
+cos x 02
π
=
5、
π-1 2
⎰
ln 2
x 3e x dx
2
1ln 22x 222
x e d (x ) t =x ，令，则
2⎰0
1ln 22x 21ln 2t 2
x e d (x ) =⎰t e dt 原式=⎰2020
解：原式= =
1t ln 21ln 2t
te -⎰e dt
0202
1t ln 2
=ln 2-e = ln 2-1
02
x 2
6、⎰
0(1+x 2) 2
1
解：令x =tan t , dx =sec tdt ，则
π
2
原式=
⎰
40
tan t 1-cos 2t 1⎡1⎤4π12244
sec tdt =sin tdt ==t -sin 2t =- 4⎰⎰⎢⎥00sec t 22⎣2⎦084
2ππ
π
7、
⎰
2π
e 2x cos xdx
2π
2π
2π
解，令原积分为I ，则，利用分部积分法计算积分
2x
⎤I =⎰e cos xdx =⎰e d sin x =⎡e sin x -sin x *2e dx ⎰⎣⎦0000
2π
2x
2x
2x
=2
⎰
2π
e d cos x =2⎡⎣e cos x ⎤⎦0-2⎰0cos x *e dx
4π
2x
{
2x
2π2π
2x
}
=2(e -1) -4I
24π
(e -1) 5
2
2
所以I=
三、抛物线y =x ，y =2x ，与直线y=1所围成的图形（3分）
解：所求面积如右图阴影部分所示：（首先可画出图形，这样方便解题） 两部分关于x 轴对称，则
y 1
A=2⎰(y -) dy =2(1-) y dy
022⎰0
1
222
=2(1-) ⋅y
23
31
=
2
(2-2) 3
四、求曲线y =x 3及y =
x 所围成的图形（3分）
解：所求面积如右图阴影部分所示： 则先求出交点为(1,1) A=
⎰
1
(x -x 3) dx
31
2 =x 2
3
-
1415x =
4012