几何画板的运用应追求简易.变易和不易--读[用几何画板进行数学探究]有感 (1)
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中学数学月刊
２０１１年第６期
几何画板的运用应追求简易、变易和不易
——读《用几何画板进行数学探究》有感
张海强顾艳（江苏省宜兴中学２１４２００）
读罢袁志兴老师的《用几何画板进行数学探究》一文（以下简称文［１］），感慨颇多．笔者感叹该文作者对高考题研究的深入，感叹他对新课程理念的践行，更感叹他将信息技术融人数学教学的意识．可以想象学生在这样的课堂中的学习状
态——积极、独立、探索、兴趣．．
毋庸讳言，文［１］介绍的几何画板的作图过程过于繁琐，对几何画板的最新进展尚不够了解，探究设计不够精致，几何画板的精华彰显不足．笔者以为，几何画板的运用应追求简易、变易和不易．所谓简易，就是大道至简，一个重要的衡量指标就是是否可以在课堂上即时操作，而无须做太多的课前准备．变易是几何画板的固有特色，几何画板是研究动态几何的工具，但如何控制运动则
大有讲究．不易就是探究变易过程中不变的规律，
这是几何画板最震撼人的地方．本文即以文Ｅ１］
为载体，提出几个“优化”的要点，不当之处，敬请
指正．
１
关注软件的新进展。使简易落到实处
求圆锥曲线（或函数）与直线的交点曾经是
几何画板的一大软肋，很多画板爱好者花费大量时间，想出各种近似作法，但这些作法仅在一些高
手中流传．袁老师在确定点Ｍ，Ｎ时就是利用几
何画板强大的计算功能实现的，但过程较为复杂．
令人欣喜的是几何画板５．０的推出彻底改变了这一现象，它使求直线与曲线的交点变得简单易行，真正体现了简易的特征．
文［１］中第⑤步作
Ｍ，Ｎ点可以简化为：作
爿历
５
～蚴直线ＴＡ，ＴＢ分别与椭圆
。～—Ａ么梨８
相交于Ｍ，Ｎ点，连结｛
．瑶ｍ毽
ＭＮ，直线ＭＮ交ｚ轴于
图１
点Ｋ．度量点Ｋ的横坐标和点Ｔ的坐标，从而发
现规律（图１）．
值得一提的是，验证本题的逆命题时可以更显示出求交点功能的优越性，即“过ｚ轴上一定点
万方数据
Ｋ作直线交椭圆于Ｍ，Ｎ两点，直线ＭＡ与直线
ＮＢ相交于点丁，则点Ｔ的横坐标为一定值”．而这恰恰是几何画板４．０难以办到的，由此也显出作者的无奈。
具体作法如下：（１）作可变椭圆（稍后介绍）；（２）在ｚ轴上任取一点Ｋ，过Ｋ作直线交椭圆于Ｍ，Ｎ两’丽＼．４∥筠锣也
髻Ｂ
点；（３）连结ＭＡ，ＮＢ，直线
ＭＡ与直线ＮＢ相交于点
图２
Ｔ（图２～图４）．
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惑．
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、
．—少
火．
／
≯Ｂ
｛
图３
图４
２
选择多样化的作图方案，使变易更具操控性
文Ｅｌｉ中椭圆的作法是利用垂直平分线的性
质和椭圆的定义来实现的，其优点是可以将椭圆与双曲线统一起来，将椭圆推广至双曲线，这是很
值得称道的．但椭圆形状的控制不能随心所欲，究
其原因是这一作法由长轴长（２口）和焦距（２ｃ）控制椭圆的形状，在拖动焦点时整个椭圆随之而动．而结论只与口２有关，与短轴长２６无关，这就给探究带来了障碍．因此，建议采用多样化的作图方案，以满足不同的需求．如单独讨论椭圆问题时可
以采取椭圆的参数方程来作图，即｛ｚ一？ｃ－ｏｓ？’（口ｌｙ—ｂｓｌｎⅣ
＞ｂ＞０，口为参数）．
具体作法如下：
（１）以原点为圆心，分别以口，６为半径画圆，同时将大圆的控制点Ｂ放在ｚ轴的正半轴上，将小圆的控制点Ｃ放在３，轴的正半轴上（注：两圆的大小可以拖动点Ｂ，Ｃ来控制）；
（２）在大圆上任取一点Ｐ，连结ＯＰ交小圆于点Ｑ；
２０１１年第６期中学数学月刊
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（３）过Ｐ作ｚ轴的垂线ｚ，过Ｑ作１的垂线ｍ，直线ｚ与直线ｍ相交于点Ｍ；
’
（４）依次选中
１
Ｍ，Ｐ，在“构造”菜单
／气中选择“轨迹”选项，ｆ／乒．—＼．
Ｐ
ｂ９＜ｔ
用
。．∥．．，．．
－／、．肘、．．．．．
即可画出椭圆．隐藏卜上二厶１‘
点、线和圆，留下椭圆
＼
尹
＼心。—／
（图５）．
这样作出的椭圆图５
可以由点Ｂ，Ｃ控制形
状，为以下的探究提供方便．
３
设计探究过程。充分演绎变易与不易关系
文Ｅｌｉ的探究偏重于定性的探究，这对于计
算功能强大的几何画板而言无疑是最大的资源浪费，从定性走向定量，几何画板可以做得更精彩．
文Ｅ１３探究的另一个不足是对变量的“分项”探究
没有到位，如在拖动点Ｆ。时，整个椭圆都在运动，在这个过程中到底是哪个因素在起作用，学生一时难以捉摸．以下是笔者设计的探究序列：
（１）高考试题的验证
一２
．．２
①拖动点Ｂ，ｃ，画出椭圆等＋｝一１的图形
了
ｄ
（图６）；
②在直线是：ｚ一９上任取一点Ｔ（９，优）；
③连结ＡＴ，ＢＴ分别交椭圆于Ｍ，Ｎ两点，连
结ＭＮ交ｚ轴于Ｋ；
④度量点Ｋ的横坐标ｚＫ，可知ｚＫ＝１；
⑤在直线是上拖动点Ｔ，发现点Ｋ始终保持
不动，说明点Ｋ与点Ｔ的纵坐标无关．
高考试题的结论得到验证，而且找出了定点的坐标，即Ｋ（１，ｏ）．
搿６：
／
ｌ士，‘
ｍ口：＝３４．．０５
６：
＝２．２
４
％ｂ＝：２１．２．５，１４；
＿１Ａ．０９
７ｂ
垆∥５
黝
Ｉｌｃ蛔２
＼
匕Ｎ／
Ｉ
／弋
。诊
戳
图６
图７
（２）点Ｋ横坐标ｚＫ的相关性探究（定性探
究）
①拖动直线愚，改变点Ｔ的横坐标ｔ，发现点Ｋ随着直线是的变化而变化，而且可以发现ｚＫ随ｔ的减小而增大（图７）；
万方数据
②拖动点Ｃ，调整椭圆的短轴长（２６），发现点
Ｋ不随６的变化而变化，即点Ｋ的横坐标与ｂ无关
（图略）；
③拖动点Ｂ，调整椭圆的长轴长（２ａ），发现
点Ｋ随着ａ的变化而变化，而且可以发现ｘＫ随ａ的增大而增大（图略）．
通过以上的探究可知：点Ｋ的横坐标ｚＫ与点Ｔ的横坐标ｔ和椭圆的长半轴长ａ有关．
（３）点Ｋ横坐标ｚＫ数值的精确探究（定量探
究）
①特殊人手，调整两组数据（分别固定ａ和固定ｔ）：
ｔ一９
１
ｔ＝６
１
ｉ’口一３ｊ辛ｚＫ—ｈｎ一３｝净ｚＫ—Ｌ
５；
ｔ一４．５１
￡一１８１
口：３｝凯Ｋ－－－－－２；以一３｝却萨ｍ
５；
ｔ一９
１
．ｔ三９
１
ｎ’口一３ｊ乱Ｋ—ｈ口一６ｊ乱Ｋ一４；
ｔ一９
１
ａ
ｏ，．｝ｊｚＫ＝０．２５（图略）．１．３Ｊ
②猜测：ＸＫ一譬（以此培养学生的数据处理
能力）；
，－
③验证：计算譬的值，并改变ｆ和口，观察ｚＫ和譬数值的变化（图８）．
结论：已知椭圆≮＋
而三夏４．’
Ｉ
Ｉ
暑渤６：
ｘ￡＝２．３
４・
荸一１的左、右顶点为Ａ，
’～
Ｂ，设过点Ｔ（ｔ，，，１）的直
４．［，■
笋２缈Ｊ—
翮
彬
线ＴＡ，ＴＢ与椭圆分别扩Ｌ髫５；Ｉ
交于点Ｍ（ｘ１，Ｙ１），
图８
Ｎ（ｚ：，ｙ。），则直线ＭＮ必过点Ｋ（譬，ｏ）．
（４）进一步推广
①验证上述结论逆命题的正确性（略），
②推广至双曲线（略）．
参考文献
Ｅ１３
袁志兴．用几何画板进行数学探究ＥＪ３．中学数学月刊，２０１０（１２）．
Ｅ２３彭翕成．谈谈我学习动态几何的体会ＥＪ３．数学通报，
２０１０（１１）．