2015杭州中考数学试卷+解析答案word版
2015年浙江省杭州市中考数学试卷
(本试卷满分120分,考试时间100分钟)
试题卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。)
1. 统计显示,2013年底杭州市各类高中在校学生人数约为11.4万人,将11.4万用科学记数
法表示应为( C ) A. 11.4⨯104 B. 1.14⨯104 C. 1.14⨯105 D. 0.114⨯105
2. 下列计算正确的是( C )
34-1347
A. 2+2=2 B. 2-2=2 C. 2⨯2=2 D. 2÷2=2
3. 下面图形是中心对称图形的是( A )
347347
A. B. C. D.
4. 下列各式的变形中,正确的是 ( A )
11-x
A .(-x -y )(-x +y ) =x 2-y 2 B . -x =
x x
12
+x ) + 1C. x 2-4x +3=(x -2) 2+1 D . x ÷(x
x
5. 圆内接四边形ABCD 中,已知∠A =70°,则∠C =( D ) A.20° B.30° C.70°
6. 若k <90<k +1(k 是整数),则k =( D )
A.6 B.7 C.8 D.9
7. 某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地面积占林地面积的20%.设把x 公顷旱地改为林地,则可列方程( B )
A.54-x =20%×108 B.54-x =20%(108+x ) C.54+x =20%×162 D.108-x =20%(54+x )
8. 如图是某地2月18日到23日PM 2.5浓度和空气质量AQI 的统计图(当AQ 1不大于100时称空气质量为“优良”), 由图可得下列说法:①18日的PM 2.5浓度最低;②这六天中PM 2.5浓度的中位数是112μg /m ; ③这六天中有4天空气质量为“优良”;④空气质量指数AQI 与PM 2.5浓度有关. 其中正确的说法是( C )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④
3
D.110°
D. ②③④
(第18题图1) (第18题图2)
9. 如图,已知点A ,B ,C ,D ,E ,F 是边长为1的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段. 在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为的线段的概率为( B )
A.
1 4
B.
2 5
C.
2 3
D.
5 9
10. 设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2) 的图象与一次函数y 2=dx +c (d ≠0)的图象交于点(x 1,0). 若函数y =y 1+y 2的图象与x 轴仅有一个交点,则( B ) A. a (x 1-x 2)=d B. a (x 2-x 1)=d C. a (x 1-x 2) 2=d D. a (x 1+x 2) 2=d
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分. ) 11. 数据1,2,3,5,5的众数是【答案】5,
16 5
12. 分解因式:m 3n -4mn 【答案】mn (m +2)(m -2)
13. 函数y =x 2+2x +1,当y =0时,x 1<x <2时,y 随x 的增大而写“增大”或“减小”). 【答案】-1,增大
14. 如图,点A ,C ,F ,B 在同一条直线上,CD 平分∠ECB ,FG ∥CD . 若∠ECA 为α度,则∠GFB 为 度(用关于α的代数式表示).
【答案】(90-
α
). 2
2
的图象上,过x k
点P 作直线l 与x 轴平行,点Q 在直线l 上,满足QP =OP . 若反比例函数y =的图象经过点
x
15. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设点P (1,t )在反比例函数y =Q ,则k . 【答案】2+25,2-2.
16ABCD 中,AB =BC ,AD =CD ,∠A =∠C =90°,∠B =150°,将纸片先沿直线BD 对折,再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪,剪开后的图形打开铺平. 若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形,则CD = .
(第16题) 【答案】2+或4+2.
三、全面答一答(本题有7个小题,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17. (本小题满分6分)
杭州市推行垃圾分类已经多年,但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾. 如图是杭州市某一天收到的厨余类垃圾的统计图.
(1)试求出m 的值;
(2)杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨,请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数.
(第17题) 解:
(1)m =100-(22.39+0.9+7.55+0.15)=69.01; (2)其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数约为200×0.9%=1.8(吨).
18. (本小题满分8分) 如图,在△ABC 中,已知AB =AC ,AD 平分∠BAC ,点M ,N 分别在AB ,AC 边上,AM =2MB ,AN =2NC . 求证:DM =DN .
(第18题)
证明:因为AM =2MB ,所以AM =
22
AB ,同理,AN =AC , 33
又因为AB =AC , 所以AM =AN .
因为AD 平分∠BAC ,所以∠MAD =∠NAD . 在△AMD 和△AND 中,
⎧AM =AN ⎪
⎨∠MAD =∠NAD , ⎪AD =AD ⎩
所以△AMD ≌△AND , 所以DM =DN .
19. (本小题满分8分)
如图1,⊙O 的半径为r (r >0) ,若点P /在射线OP 上,满足OP /•OP =r 2,则称点P /是点P 关于⊙O 的“反演点”.
如图2,⊙O 的半径为4,点B 在⊙O 上,∠BOA =60°,OA =8.点A /,B /、分别是点A ,B 关于⊙O 的反演点,求A /B /的长.
O P / P
O
A
(第19题图1) (第19题图2) 解:因为OA /•OA =16,且OA =8,所以OA /=2. 同理可知,OB /=4,即B 点的反演点B /与B 重合. 设OA 交⊙O 于点M ,连接B /M , 因为∠BOA =60°,OM =OB /,所以△OB /M 为等边三角形, 又因为点A /为OM 的中点,所以A /B /⊥OM ,
根据勾股定理,得OB /2=OA /2+A /B /2,即16=4+A /B /2, 解得A /B /=2.
20. (本小题满分10分)
设函数y =(x -1)[(k -1) x +(k -3)](k 是常数).
(1)当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示,请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象;
(2)根据图象,写出你发现的一条结论;
(3)将函数y 2的图象向左平移4个单位,再向下平移2个单位,得到函数y 3的图象,求函数y 3的最小值.
(第20题) 解:
(1)当k =0时,y =-(x -1)(x +3),所画函数图象如图;
(2)
①图象都过点(1,0)和点(-1,4); ②图象总交x 轴于点(1,0);
③k 取0和2时的函数图象关于点(0,2)中心对称;
④函数y =(x -1)[(k -1) x +(x -3)]的图象都经过点(1,0)和(-1,4);等等. (其他正确结论也行)
(3)平移后的函数y 3的表达式为:y 3=(x +3)2-2, 所以当x =-3时,函数y 3的最小值等于-2.
(第20题)
21. (本小题满分10分)
“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a ,b ,c ,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.
(1)用记号(a ,b ,c )(a ≤b ≤c ) 表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形.
(2)用直尺和圆规作出三边满足a <b <c 的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).
1 单位长度 (第21题)
解:(1)共九种: (2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4, ),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4). (2)只有a =2,b =3,c =4的一个三角形, 如图的△ABC 即为满足条件的三角形
.
A
(第21B
22. (本小题满分12分)
如图,在△ABC 中(BC >AC ),∠ACB =90°,点D 在AB 边上,DE ⊥AC 于点E .
(1)若
AD 1
=,AE =2,求EC 的长; DB 3
(2)设点F 在线段EC 上,点G 在射线CB 上,以F , C , G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等,FG 交CD 于点P . 问:线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线?或两者都有可能?请说明理由.
E A
D
B
(第22题) 解:(1)因为∠ACB =Rt ∠,DE ⊥AC ,所以DE ∥BC ,
AD AE
=. DB EC AD 121
=,AE =2,所以=, 因为
DB 3EC 3
所以
解得EC =6.
(2)
①若∠CFG 1=∠ECD . 此时线段CP 1为Rt △CFG 1边上的中线. 证明:因为∠CFG 1=∠ECD ,所以∠CFG 1=∠FCP 1, 又因为∠CFG 1+∠CG 1F =90°,∠FCP 1+∠P 1CG 1=90°, 所以∠CG 1F =∠P 1CG 1,所以CP 1=G 1P 1, 又因为∠CFG 1=∠FCP 1,所以CP 1=FP 1, 所以CP 1=FP 1=G 1P 1,
所以线段CP 1为Rt △CFG 1的FG 1边上的中线.
A
D 1 P 2
G 1
2
B
②若∠CFG 2=∠EDC . 此时线段CP 2为Rt △CFG 2的FG 2边上的高线. 证明:因为∠CFG 2=∠EDC , 因为DE ⊥AC ,所以∠DEC =90°, 所以∠EDC +∠ECD =90°,
所以∠ECD +∠CFG 2=∠ECD +∠EDC =90°, 所以CP 2⊥FG 2,
即CP 2为Rt △CFG 2的FG 2边上的高线.
③当CD 为∠ACB 的平分线时,CP 既是△CFG 的FG 边上的高线又是中线.
23. (本小题满分12分)
方成同学看到一则材料:甲开汽车,乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地. 设乙行驶的时间为t (h ) ,甲乙两人之间的距离为y (km ) ,y 与t 的函数关系如图1所示.
方成思考后发现了图1的部分正确信息:乙先出发1h ;甲出发0.5小时与乙相遇;……. 请你帮助方成同学解决以下问题:
(1)分别求出线段BC ,CD 所在直线的函数表达式; (2)当20<y <30时,求t 的取值范围;
(3)分别求出甲,乙行驶的路程S 甲,S 乙与时间t 的函数表达式,并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象;
(4)丙骑摩托车与乙同时出发,从N 地沿同一条公路匀速前往M 地,若丙经过乙相遇. 问丙出发后多少时间与甲相遇?
4h 与3
(第23题图1) (第23题图2)
解:(1)直线BC 的函数表达式为:y =40t -60; 直线CD 的函数表达式为:y =-20t +80.
(2)OA 的函数表达式为y =20t (0≤t ≤1),所以点A 的纵坐标为20. 当20<y <30时,即20<40t -60<30或20<-20t +80<30,
95
或<t <3. 42
7
(3)S 甲=60t -60(1≤t ≤);
3
解得2<t <S 乙=20t (0≤t ≤4); 所画图象如图. (4)当t =
480时,S 乙=. 丙距M 地的路程S 丙与时间t 的函数表达式为 33
77
,所以丙出发h 与甲相遇. 55
S 丙=-40t +80(0≤t ≤2).
S 丙=-40t +80与S 甲=60t -60的图象交点的横坐标为
(第23题图3) (第23题图4)