幂指函数的求导法则

第５卷第ｌ期２００６年３月

无锡职业技术学院学报

Ｊｏｕｍａ［ｏｆＷｕｘｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

Ｖ０１．５Ｎｏ

１

Ｍａｒ２００６

幂指函数的求导法则

王志兵

（江苏省南通商贸高等职业学校江苏南通２２６００７）

摘要：对于幂指函数求导数一般采用取对数求导法，在幂指函数求导数中，可把指数看作常数的复合函数的导数与把底数看作常数的复合函数的导数之和进行求解。

关键词：幂指函数；导数；法则

中图分类号：０１７２．１

Ｔｈｅ

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７１－７８８０（２００６）＿０６－７４＇ｏｌ

Ｔｈｅｏｒｅｍ

ｏｆＦｉｎｄｉｎｇｔｈｅＤｅｒｉｖａｔｉｖｅｂｙ

Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ

ｏｆＰｏｗｅｒａｎｄＥｘｐｏｎｅｎｔＦｕｎｃｔｉｏｎ

ＷＡＮＧ

　

Ｚｈｉｂｉｎｇ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｆｉｎｄｉｎｇｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｂｙｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｐｏｗｅｒａｎｄ

ｌｉｅｓｉｎｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｏｇａｒｉｔｈｍ．Ｉｎｔｈｉｓｐｒｏｃｅｓｓ，ｗｅ

ｎｅｎｔ

ａｓ

ｃａｎ

ｅｘｐｏｎｅｎｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｎｏｒｍａｌｌｙ

ｆｉｎｄｔｈｅａｎｓｗｅｒｅｉｔｈｅｒｂｙｒｅｇａｒｄｉｎｇｔｈｅｅｘｐｏ・

ｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｏｆｔｈｅｃｏｎｓｔａｎｔ’Ｓ

ｃｏｍｐｏｕｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｏｒ

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ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

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Ｋｅｙ

Ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｂｉｎａｆｉｏｎ

在对幂指函数求导数中，一般都采用取对数求导法，能否得出幂指函数的求导法则呢？笔者对幂指函数导数进行了一些探讨，推出幂指函数求导数的一般法则，仅供读者参考。

同理把ｙ＝ｘ４中底数ｚ暂时看作常数，则函数看作指数函数，对＊求导数，记为：Ｙ’：＝＊５ｌｎｘ

若：Ｙ’１＋Ｙ’２＝＊５＋＃’ｌｎｘ＝＊’（ｚ＋ｌｎｘ）则可发现Ｙ’＝Ｙ’１＋Ｙ’２。

一、问题的导出

例：求Ｙ＝ｚ’（Ⅳ＞０）的导数解：两边取自然对数ｌｎｙ＝ｌｎｘ４

ｌｎｙ。ｘｌｎｘ

１

二、假设

对于一般的幂指函数Ｙ＝ｎ９（其中ｕ＝ｕ（＊），口＝口（ｚ），且ｕ＞０）是否也满足以上求导

数方法呢？

两边对ｚ求导数土・ｙ’＝ｚｗ＋１

Ｙ

假设结论成立，即：幂指函数Ｙ＝ｕ７对＊的导数等于把ｖ看作为常数的复合函数导数与把ｕ看作为常数的复合函数导数之和。

Ｙ’＝（扩）’＝口・Ⅱ¨・ｕ’＋Ｕ９・ｌｎｕ・口’

＝¨¨（Ｈ’・口＋Ⅱ・口’ｌｎｕ）

整理得：

Ｙ’＝Ｙ（１＋ｚＭ）

．‘．Ｙ’＝矿ｆ１＋ｌｎｘ）

假设把Ｙ＝ｘ。中指数ｘ暂时看作常数，则函数看作幂函数，对ｚ求导数，记为：Ｙ’。＝ｘ・＊”１＝

矿

三、对假设的证明

（下转第９６页）

收稿日期：２００５－０８－０９作者简介：王志兵（１９６７一

），男，江苏南通人，江苏省南通商贸高等职业学校高级讲师。

万方数据・７４・

第５卷无锡职业技术学院学报

高校图书馆是高等教育的三大支柱（师资、实验、图书馆），但在实际中地位较低，往往只停留在服务的简单层面，忽视了其自身的科研功用。营造图书馆的学术氛围，通过相关的学术活动，激发图书馆员的学习热情，积极钻研业务，在学习与研究中促进自身的进步。这样就能相应地提高图书馆员的素质，加深对人文精神的理解，更好地营造图书馆的人文环境，从而推动图书馆事业的发

展。

到了一种如鱼得水、宾至如归。对馆员来说，图书馆文化对图书馆成员具有强大的凝聚力和感召

力。

可以预见的是，高职院校图书馆在软环境建设上，坚持以人为本的思想，图书馆工作将达到更为高效更为和谐的境界。

参考文献：

［１］秦剑．图书馆人性化服务的理念和实践［Ｊ］．图书馆论坛，

２００４。（５）：４６—４８．

［２］邵婷芝．剖建现代图书馆人本管理的运行机制［Ｊ］常州工学

当图书馆通过其人本化的管理理念和服务精神的确立，形成了自己特有的文化特质之后，是极具魁力的。对读者来说，图书馆成为令其愉悦的通往知识彼岸的代名词，从踏人的那一刻就感受

院学报，２００１，（３）：９４—９６

［３］曾静．圈书馆文化与图书馆管理［Ｊ］．图书馆研究与工作，

２００３，（１）：８—１０．

（责任编辑冷宇）

（上接第７４页）对ｙ＝ｎ’，用取对数求导法

两边取自然对数ｌｎｙ＝ｖｌｎｕ

两边对＃求导数：１／ｙ・ｙ’＝口饥“＋ｍ・Ⅱ’

Ｙ’。Ｙ・Ⅱ’・口＋Ⅱ・ｖ＇ｌｎｕ，／ｕ

．‘．

在（１）式中若ｕ＝ｚ，”＝“（ａ为常数）

可得：（矿）’＝ｇ川（ｘ’・ａ＋＊・ｄ＿职）＝“・ｘＰｌ

　

例１求，＝（２ｘ一３）‘（＊＞３／２）的导数解：Ｙ’＝（２Ⅳ～３）“１．［（２ｘ一３）’・＊２＋（２ｘ一３）・（ｚ２）’・ｆｎ（２ｘ一３）］

＝２ｘ（２ｘ一３）。一‘・［２ｘ２＋（４２２—６』）－

ｌｎ（２ｘ一３）］

＝２ｘ（２ｘ一３）４—１［＃＋（２＊一３）ｌｎ（２ｘ一

Ｙ’＝扩。１（ｕ’・口＋ｕ・＂’ｌｎｕ）

可见与假设的结论完全一致

四、结论

事实上，上结论可表示为：

Ｙ’＝（ｕ’）７

２

３）］

例２求Ｙ＝ｓｉｎｓ（＊＞０）的导数

解：Ｙ’＝＊～～・［ｘ’・ｓ讯ｚ＋ｇ・（ｓｆ船）’・ｋｚ］

２

ｕ卜１（ｕ’・口＋ｕ・”’ｌｎｕ）

＝Ⅱ・矿～．Ⅱ’＋“’．Ｉｎｕ・矿

：丑．韭。业．生

ｘ一１（ｓ￡Ｍ＋ｘｅｏｓｘｌｒ“）

ａ“如’ａ口ｄ＊

例３求Ｙ＝（３ｘ）一。（ｘ＞０）的导数

故有法则：设幂指函数Ｙ＝ｕ７（其中“＝ｕ（ｚ），＂＝口（￥），且ｕ（ｘ）＞Ｏ），Ｈ＝“（ｘ），口＝”（＊）在点ｘ处都可导，Ｙ对“、”的偏导数存在，则幂指函数Ｙ＝扩对＊的导数等于Ｙ对ｕ的偏导数乘以ｕ对＊的导数与Ｙ对州由偏导数乘以。对ｘ的导数之和。

此法则可写为：

解：Ｙ’＝（３ｘ）’”～・［（３ｘ）’・５ｉ彬＋３ｘ・

（５ｆ“‘）’・ｌｎ３ｘ］

＝３・（３ｘ）““１・［５；“‘＋３ｘ・ｊｏａｘ‘・

（矿）’・ｚ帕＃］

＝３・（３ｚ）一。１・［ｓｉｒ“’＋３ｘ・ｃｏｓｘｓ・

矿４（ｚ＋缸ｗ）・ｌｎ３ｘ］

＝３（３，０“”“［ｓ￡ｗ３＋３ｘ“ｃｏｓｘ５Ｉｎ３ｘ（１

＋ｚＭ）］

同样，根据微分的概念。得幂指函数的微分法

，，：盟．坐＋业．宴

’

ａｕ也’却ｄｚ

最ｐ：（ｕ’）’＝Ⅱ。一１（ｕ’・口＋Ⅱ・口’ｌｎｕ）特别地：

在（１）式中若ｕ＝ｎ（ｎ为常数），。＝＊

（１）

则：

（Ｍ４）＝（口・“”１・ｄｕ＋Ⅱ’・Ｉｎｕ・幽）（２）

可得：（口。）’＝ｄ卜１（ａ’・ｉｆ，＋口・＊’Ｉｎａ）＝口‘ｌｎａ

・９６・万方数据

（责任编辑胡小勇）

幂指函数的求导法则

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

王志兵， WANG Zhibing

江苏省南通商贸高等职业学校,江苏,南通,226007无锡职业技术学院学报

JOURNAL OF WUXI INSTITUTE OF TECHNOLOGY2006，5(1)0次

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