一维周期场电子运动的近自由电子近似
一维周期场电子运动的近自由电子近似
摘要：
布洛赫定理，是从周期场所具有的平移对称性出发，得出了在周期势场中运动的电子波函数的普遍形式，但不能给出某一晶体电子波函数的具体形式，也不能获得电子能谱——能带结构的表达形式。要获得这些知识，必须求解公式。这是一个比较困难的问题，为此，我们先讨论能带理论中的一个简单模型——近自由电子近似。这个模型适用于周期场较弱的情况，故也叫弱周期场近似。由于周期场的周期性起伏很弱，它可以看成自由电子情况稳定势场的微扰，此时晶体中的价电子行为就很接近自由电子，故也叫自由电子近似。这个模型虽然简单，但是却能给出周期场中运动电子本征态的一些最基本特点。
关键词：能带理论；周期场；微扰；近自由电子近似 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
这是一个一维的模型，通过这个模型的讨论，可以进一步了解在周期场中运动的电子本征态一些最基本的特点。
图1中画出了一维周期场的示意图。所谓近自由电子近似是假定周期场的起伏比较小，作为零级近似，可以用势场的平均值代替V(x)。把周期起伏
[V(X)- 〕做为微扰来处理。
图1一维周期场
零级近似的波动方程为
它的解便是恒定场中自由粒子的解
（1）
（2）
上式在归一化因子中引入晶格长度L=Na，为原胞的数目，a是晶格常数(原子间距)。引入周期性边界条件可以得到k只能取下列值
很容易验证波函数满足正交归一化条件。
（3）
（4）
由于零级近似下的解为自由电子，所以称为近自由电子近似。按照一般微扰理论的结果，本征值的一级和二级修正为
（5）
波函数的一级修正为
（6）
其中微扰项
具体写出
为
（7）
其中前一项，按定义就等于平均势场，因此能量的一级修正为0。
和
都需要计算矩阵元
，由于k和k两态之间的正交关系
，
现在我们证明，由于V(x)的周期性，上述矩阵元服从严格的选择定则。将
按原胞划分写成
对不同的原胞n，引入积分变数
并考虑到V(x)的周期性
就可以把前式（7）写成
（8）
现在区分两种情况: （1）
，即k和k相差
式内各项均为1， 因此
，
，在这种情况下，显然，(8)式中的加
（2）
成
（9）
，在这种情况下，(13)式中的加式可用几何级数的结果写
K和k又可写成{见(4)式
}
因此，上式中的分子
同时，分母由于 ，所以不为零，在这种情况下，矩阵元（8）恒为零。
综合以上，我们得到，如果 ，则
，
否则
（10）
很容易看到，上式中以Vn表示的积分实际上正是周期场V(x)的第n个傅立叶系数。
根据这个结果，波函数考虑了一级修正(8)式后可以写成
:
（11）
连加式的指数函数，在x改变a的整数倍时，是不变的，这说明括号内为一周期函数。这类似于布洛赫函数的形式:可以写成一个自由粒子波函数乘上具有晶格周期性的函数。
根据(10)，二级微扰能量可以写成
值得特别注意的是，当
也就是
时，趋向
趋于
(12)
（13）
（14）
整数倍时，E (2) k
, n表任意一个整数，也就是说，当k
为
。很显然，该结果是没有意义的。它只说明，以上的微扰论方法，对于
在(14)式附近的k是发散的，因此不适用。
总结：
在零级近似中，电子作为自由电子，其能量本征值
Ek
k=±
nπa
Ek
与k的关系曲线是抛
2n
物线，在周期势场的微扰下，曲线在处断开，能量突变值为。
在诸能带断开的间隔内不存在允许的电子能级，称为禁带，禁带的位置及宽度取决于晶体的结构和势场的函数形式。
另一方面，对于波矢
k=
lN⋅2πa
而言，N很大，故k很密集，可以认为
En(k)
是k的准连续函数，这些准连续的能级被禁带隔开而形成一系列能带1，2，3…。不难算出，每个能带所对应的k的取值范围都是2π/a，即一个倒格子原胞长度，而所包含的量子态数目是N，等于晶体中原胞的数目。
En(k)
总体称为能带结构（n为能带编号），相邻两个能带
En(k)
与
En+1(k)
之
间可以相接，重叠或是分开，对于一维周期性势场来说属于分开情况，则出现带隙——禁带。
参考文献：
[1].固体物理学[M]，上海科学技术出版社，方俊鑫，路栋，1981.
[2].固体能带理论[M]，复旦大学出版社，谢希德，1998. [3].固体物理学[M]，上海科学技术，蒋平，2003.
[4].材料科学导论[M]，化学工业出版社，冯瑞，2002.