湖南工业大学"专升本"数学习题资料

第一部分 函数、极限与连续

练习1.1（函数）

1、设y

u，u2v,vsinx,将y表示成x的函数表达式为 。

2

x等价的函数是（ ） A.x B.

2

2、与f(x)3、函数f(x)

x

2

C.

x

3

D.x

x1x

2

在定义域内为（ ）

A.有上界无下界 B.无上界有下界 C.有界，且

4、函数y

2

12

f(x)

12

D.有界，2f(x)2

的定义域为。

xx6arcsin

2x17

判断对错：5、分段函数都不是初等函数。（ ） 1,当x为有理数6、函数f(x)是周期函数。（ ）

0,当x为无理数

计算：7、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成： (1) yarccosex （2）yln[ln(ln

2

3

x)]

1

，当0t20

8、设g(x)3x,f(t)20 ，求g(f(t))、f(g(x)).

0, 其它

练习1.2（数列的极限）

1、lim

2n15n2

。 2、lim

2

4

2n

nn



2428222。

n

n

n



3、lim[(1x)(1x)(1x)(1x

n

)],其中x1. 4、lim123

n



1n

.

练习1.3（函数的极限）

1、lim

x4x2

2

x2

2、lim

11x

x

3、limcosx

x0

4、limarctanx；5、limlnx

x 

x1

判断对错：6、ytanx,则x

时，y的极限存在。（ ）

2

7、ycosx,则x时，y的极限存在。（ ）



计算：8、求函数f(x)

x4,x12x1,x1

的f(10)及f(10)，并确定limf(x)是否存在？

x1

x3,x1x,x19、设f(x)，g(x)，试讨论f[g(x)]在x1处的极限。

3x,x12x1,x1

10、证明：用求左右极限证明limx0,而lim

x0

xx

不存在。

x0

练习1.4（无穷小与无穷大，极限的运算法则）

判断对错：1、无穷小量与一个非无穷小量的和、差、积为无穷小量。 （ ）

2、两个非无穷小量的和、差、积、商一定不是无穷小量。 （ ） 3、两个无穷小的商一定是无穷小。 （ ） 4、若f(x)为无穷小量，则f(x)一定为无穷大量。 （ ） 5、计算下列极限 （1）lim

x1x5x3

2

3

x2

(2)lim

x1

3

3

1x





 （3）lim

x0

1x

1

xcosx

(4)lim

x3x2xx3

4

2

3

x

（5） lim

xx

2

x0

x1

练习1.5（两个重要极限，无穷小的比较）

判断对错 1、lim

sinxx

1 ( ) 2、lim1x

sinxx

1 ( ) 3、lim

sin

2

x

x1xx0

x

1 ( )

1x

4、limxsin

x0

1 ( ) 5、lim

x

sin(x1)x1

x1

1 ( ) 6、limxsin

x

1 ( )

12

(1x)31cosx1tanxsinx1

计算：7、lim1 8、lim 9、lim 10、lim 3x0x0x0xxcosx1sinxx

练习1.6（函数的连续性和间断点）

sinx

x,x0

1、当时，f(x),x0在其定义域内连续。

1

xsin1,x0

x

2、x1是f(x)

x1x3x2

2

2

的型间断点；补充定义f(1)

则f(x)在x1处连续。

3、判断对错：f(x)2x,0x1,2上连续。（ ）



3x,1x2

在04、求极限：（1） lim

x2

（2）lim

x3

x2

x3

x2

9

5、证明证明方程x34x210在区间（0，1）至少有一个根。

自 测 题 1

一、选择或填空 1、函数y

xarccos

x12

的定义域是( )

A.x1 B.3x1 C.(-3,1) D.xx1x3x1 2、函数f(x)x3,4x0

x21,0x3

的定义域是（ ）

A.4x0 B.0x3 C.（-4，3） D.x4x0x0x3 3、函数yxcosxsinx是（ ）

A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶函数

4、函数f(x)1cosx2

的最小正周期是（ ） A. 2 B.  C. 4 D.1

2

m5、设a0x

am11x

am0、b00，则当（ ）时，有lim

an

n1



a0x

b0xb1x

bn

b

A. mn B. mn C. mn D. m、n任意取 6、设f(x)1,1x0

xx,0x1

，则limf(x)（ ）A. -1 B. 1 C. 0 D.不存在

x0

7、当x0时，与sinx2

等价的无穷小量是（ ）

A.ln(1x) B. tanx C.2(1cosx) D.ex

1

8、已知数列x1(1)n]n

n[，则（ ）

A. limxn0 B. limxn C. lim

xn ，但无界 D. 发散，但有界n

n

n9、若极限limf(x)a（常数），则函数f(x)在点x0（ ）

xx0

A.有定义且f(x0)a B.不能有定义

C.有定义，但f(x0)可以为任意数值 D.可以有定义也可以没有定义 10、函数f(x)

sinax,x1a(x1)1,x1

在x1处连续，则a二、计算：1、lim

2nn1(1n)

2

2

n

2、 lim

x2x3

2

xsin

x

2

2

1x

x3

3、lim(1x)x 4、lim

x0

2x1

三、证明奇次多项式P(x)a0x2n1a1x2na2n1(a00)至少存在一个实根。

第二部分 导数与微分

练习2.1（导数的概念）

1、f(x)

x,则其导函数定义域为（ ） A.x0 B.x0 C.x0 D.x0

2、设函数f(x)在点x0不可导，则( )

A.f(x)在点x0没有切线 B. f(x)在点x0有铅直切线 C. f(x)在点x0有水平切线 D.有无切线不一定

f(x0h)f(x0)

h

3、若f(x)在x0处可导，则lim

h0

=( )

A.f(x0) B. f(x0) C. f(x0) D. f(x0)

4、初等函数在其定义域区间内是（ ） A.单调的 B.有界的 C.连续的 D.可导的 5、设函数f(x)(xa)(x)，其中(x)在a点连续，则必有（ ） A.f(x)(x) B. f(a)(a)

C. f(a)(a) D. f(x)(x)(xa)(x) 计算：6、设f(x)x(x1)(x2)(x99)(x100),求f(0)。 x2,x17、若f(x)在x1处可导，请计算a、b的值。

axb,x1

练习2.2（求导法则）

1、y

xsinx，求y。 2、设f(x)

xsinxcosxxcosxsinx

，求f(



2

)。

3、yarccos

1x

，求y。 4、yxxx，求y。

4

5、yln[ln(lnx)]，求y。 6、y

x23x

x1

5

，求y。

练习2.3（高阶导数）

1、ylnx，求y(n)。 2、yln[f(x)],求y(1)。 3、已知

dxdy

1yx

，求

dxdy

2

2

。 4、验证ycosexsinex满足关系式：

yyye

2x

0。

练习2.4（隐函数及参数方程所确定的函数的导数）

1、

xcostysint

，计算

dydx

。 2、已知xyexy，求y(0)。

22

dyxln(1t)

3、已知xysiny0，求y。 4、设，求22

dxytarctant

t1

。

练习2.5（微分）

1、已知yx3x，计算x02处当x0.1时y，dy。 2、（1）d（ ）=2dx； （2）d（ ）=3xdx；

（3）d（ ）=costdt； （4）d（ ）=sinxdx； （5）d（ ）=

11x

dx； （6）d（ ）=e

2x

dx；

（7）d（ ）=

1x

（8）d（ ）=sec3xdx。 dx；

lnxx

2

2

3、求下列函数的微分（1）y4、求由方程arctan

yxln

2

（2）yxsin2x 所确定的隐函数y的微分和导数。

xy

自 测 题 2

一、选择题

1、若函数yf(x)在点x0的导数f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的法线（ ） A.与x轴相平行 B. 与x轴相垂直

C.与y轴相垂直 D. 与x轴既不平行也不垂直

2、若函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在x0（ ）

A.必不可导 B.必定可导 C.不一定可导 D.比无定义 3、如果f(x)（ ），那么f(x)0。

A.arcsin2xarccosx B.sec

C.sin

2

2

2

xtan

2

x

xcos(1x) D.arctanxarccotx

ax

e,x0

4、如果f(x)处处可导，那么（ ）

2

b(1x),x0

A.a1,b1 B. a2,b1 C. a1,b0 D. a0,b1 5、已知函数f(x)具有任意阶导数，且f(x)[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f

(n)

(x)是（ ）A.n![f(x)]

n1

B.n[f(x)]n1 C.[f(x)]2n D.n![f(x)]2n

6、若函数f(x)为可微函数，则dy（ ）

A.与x无关 B.为x的线性函数

C.当x0时，为x的高阶无穷小 D.与x为等价无穷小

7、设函数yf(x)在点x0处可导，当自变量x由x0增加到x0x时，记y为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，lim二、求下列函数的导数

1、ysinxlnx 2、yln[cos(103x)] 三、设yxlnx，求f

t2

dydyxesint2

2(xy)成立。 四、已知，证明方程xy2t

dxdxyecost

ydyx

x0

等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 

22(n)

(1)。

第三部分 中值定理及导数的应用

练习3.1（中值定理）

1、验证罗尔定理对函数ylnsinx在区间

x

2、证明：当x1时，eex。



5

上的正确性。 

66

,

3、若a3b0，试证方程xaxbxc0只有惟一的实根。

232

练习3.2（洛必达法则）



计算1、lim

sinaxsinbx

x0

(b0) 2、lim

xsinxx

3

x0

3、lim

2

arctanx1x

。

x

4、lim

x

tanxtan3x



2

。 5、验证极限lim

xsinx

x

存在，但不能用洛必达法则得出。

x

练习3.3（函数的单调性与极值）

1、确定下列函数的单调区间：

（1）y2x36x218x7 ； （2）y2x2、求下列函数的极值：（1）y2x33x2； （2）y



2

8x

(x0) ；

13x45x

2

；

3、证明：当0x时，sinxtanx2x。

练习3.4（曲线的凹凸性）

1.曲线y

ee

2

x

x

的凹凸性为（ ）

（a）凸的； （b）在(,0)内凹，在(0.)内凸；（c）凹的；（d）在(,0)内凸，在(0.). 2.曲线yx

5x

3

的拐点是（ ）。（a）x0；（b）（ 0 , 0 ）; (c) 无拐点；（d）都不是。

3.设x(a,b)时，恒有f(x)0，则曲线f(x)在(a,b)内（ ） （a） 凸的； （b）凹的； （c）单调增加；（d）单调减少。 4.若点(x0,f(x0))是曲线yf(x)的拐点，则（ ）

（a）f(x0)0； （b）f(x0)不存在； （c）f(x0)0或f(x0)不存在； （d）f(x0)0且f(x0)0 5.曲线yee是拐点

6.若点（ 0，1）是曲线yxbxc的拐点，则b =___________,c = ________________. 7． 利用曲线的凹凸性，证明不等式：xlnxylny(xy)ln

xy2

(x0,y0,xy）

3

2

x

x

在区间___________内是凸的，在区间_________内是凹的，曲线上______

练习3.5（函数的最值）

判断对错：1、函数的极值点一定也为最值点；（ ）2、函数的最值点一定也为极值点；（ ） 3、函数yf(x),定义域为x[a,b]，则其极值点不能取端点a或b；（ ） 4、函数yf(x),定义域为x[a,b]，则其极值点不能取端点a或b；（ ） 计算：5、函数求yx48x22(1x3)的最大值、最小值：

6、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现在存砖只够砌20米长的墙壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

练习3.6（函数图形的描绘）

1. 曲线y

x3x2x1

x

2

322

4的水平渐近线是_____________;铅垂渐近线是______________.

2．求曲线y

x2x3

的水平渐近线，铅垂渐近线及斜渐近线。

自 测 题 3

一、选择题

1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即( )

A.都给出了点的求法； B.都肯定了点一定存在，且给出了求的方法； C.都先肯定了点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算求； D.都只肯定了的存在，却没有说出的值是什么，也没有给出求的方法。

2、已知f(x)在a,b可导，且方程f(x)0在a,b有两个不同的根与，那么在内（ ）f(x)0。 A.必有 B. 可能有 C. 没有 D.不能确定 3、如果f(x)在连续，在a,b可导，c为介于a、b之间的任一点，那么在a,b（ ）找到两点x2、x1，使f(x2)f(x1)(x2x1)f(c)成立。 A.必有 B. 可能 C. 不能 D.无法确定能

4、若f(x)在a,b连续，在a,b可导，且xa,b时，f(x)0，又f(a)0,则（ ） A.f(x)在a,b上单调增加，且f(b)0； B.f(x)在a,b上单调增加，且f(b)0； C.f(x)在a,b上单调减少，且f(b)0； D.f(x)在a,b上单调增加，但f(b)的正负号无法确定。

5、f(x0)0是可导函数在x0点处有极值的（ ）

A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充要条件 6、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ） A.极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； B.极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；

C.极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值； D.极大值必大于极小值。 二、计算 1、求y

xx100

2

的单调区间。 2、计算函数yxex的极值。

3、求函数y2tanxtan



上的最值。 x在区间0,

4

三、试证方程sinxx只有一个实根。

第四部分 不定积分

练习4.1（不定积分的概念与性质）

判断对错：1、yln(ax)与ylnx是同一个函数的原函数。 （ ） 2、若f(x)dx

g(x)dx，则f(x)g(x)。 （ ）

3、若f(x)是周期函数，则f(x)dx也必是周期函数。 （ ） 4、已知f(x)dxF(x)C，那么f[g(x)]dxF[g(x)]C.（ ） 选择：5、（ ）即f(x)。 A.df(x)dx B.df(x) C. 6、exdx（ ） A.e

x

f(x)dx D.f(x)dx

C D.e

x

C2

x2

B.eC C.e

x

1C

7、若f(x)的导函数是sinx，则有一个原函数是( )

A.1sinx B.1sinx C.1cosx D.1cosx 计算：8、e3cosxdx 9、

x

1xx

2

2

x(1x)

练习4.2（第一类换元积分法即凑微分法）

1、

cos

xx



d

x； 2、xf(2x2)dx



d2x

2

；

3、

arcsinxx

lnsinxsin

2

x

2



arcsinxd4、

arccosx1x

2

dxarccosxd；

5、

x



lnsinxd6、

dx

cos

2

xtanx1



d ；

7、

dxx(4x)



d ；8、

x

2

df(x)1f(x)

2

 。

计算：9、2cos2xdx； 10、xe

13、

lnxx

dx；11、sin

2

xcosxdx； 12、

e

x2x

1e

；

dx； 14、x2xdx； 15、

2

cotxlnsinx

； 16、

149x

2

dx

练习4.3（第二类换元积分法）

1、当被积函数含有xa时，可考虑令（ ）

A.asint B.atant C.asect D.acost

22

2、要通过令2x1t使

n

2x1

x2x1

dx化为有理函数的积分，n应取（ ）

A.4 B.6 C.12 D.24 计算：3、

11

x

dx 4、

x

2

2

4x

5、

1x

x

6、

x2x

2

练习4.4（分部积分法）

1、lnxdx 2、sin3、f(x)的原函数是

sinxx

xdx；

，则xf(x)dx；

4、已知f(x)dxxexexC，则f(x)dx= ； 计算：5、xexdx 6、arccosxdx 7、xlnxdx 8、x2cos2xdx 9、e3xcos2xdx

自 测 题 4

一、选择

1、设F1(x)、F2(x)是区间I内连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)0，则在区间I内必有（ ）A. F1(x)F2(x)C B. F1(x)F2(x)C

C. F1(x)CF2(x) D. F1(x)F2(x)C

2、若F(x)f(x)，则dF(x)（ ）

A.f(x) B.F(x) C.f(x)C D.F(x)C

3、f(x)在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在。 A.有极限存在 B.连续 C.有界 D.有有限个间断点 4、下列结论正确的是（ ）

A.初等函数必存在原函数 B.每个不定积分都可以表示为初等函数 C.初等函数的原函数必定是初等函数 D.A、B、C都不对

5、已知一个函数的导数为y2x，且x1时y2，这个函数是( )

x

2

A.yxC B. yx1 C. y

22

2

C D. yx1

6、且xatb，则f(t)dt（ ） A. F(x)C B. F(t)C f(x)dxF(x)C， C.

1a

F(atb)C D. F(atb)C

sinxx

C。 A.1 B.

xcosxsinx

x

2

7、（ ）dx8、

dx

C. cosx D.

136

1

cosxx

2

4x1

10

（ ） A.

19



1

4x1

136

9

C B. 

4x1

11

9

C

C. 

1

4x1

dx

2

9

C D. 

136



1

4x1

C

二、计算：1、

1x

2

cos

1x

dx 2、

x2x5

3、

dx1

x

2

4、arctanxdx

三、已知曲线上任意点的切线斜率为

bxa

2

2

，并且过点2,1，试求该曲线的方程。

第五部分 定积分

练习5.1（定积分的概念与性质）

1、积分中值定理

b a

f(x)dxf()(ba)，其中（ ）

A.是a,b内任一点 B. 是a,b必定存在的某一点

C. 是a,b内惟一的某一点 D. 是a,b的中点 2、设f(x)在a,b上连续，且f(x)dx0，则（ ）

a b

A.在a,b的某个子区间上，f(x)0； B. 在a,b上，f(x)0；

C. 在a,b内至少有一点c，f(c)0； D. 在a,b不一定有x，使f(x)0。 ddx



2

3、



sinxdx ；



2

2

计算：4、比较xdx与xdx的大小。 5、不计算定积分，估计

1

2

1

3

11sin

2

0 0

x

dx的值。

练习5.2（N-L公式）

1、设f(x)在a,b连续，(x)



x

a

f(t)dt，则（ ）

A.(x)是f(x)在a,b上的一个原函数B. f(x)是(x)在a,b上的一个原函数

C. (x)是f(x)在a,b上唯一的原函数D. f(x)是(x)在a,b上唯一的原函数 2、

2

32

maxx,x,1dx（ ） A. 0 B. 4 C.

 2



163

D.

9712

3、f(x)



x

2

ln(1t)dt，g(x)



x2

arcsin

t2

，则当x0时，f(x)是g(x)的( )

A.同阶无穷小，但不等价 B.等价无穷小 C.低阶无穷小 D.高阶无穷小 d x224、 1ttdt；

dxx



5、设方程组

y



t

0 t

sintdt

确定了y是x的函数，则

costdt

dydx

。



计算：6、



2

 lnx

sinxcosxdx 7、ln(1t)dt  2x

2x, 0x1

8、f(x)，求f(x)dx。

02x,1x2

练习5.3（定积分的换元积分法与分部积分法）

1、下列积分中不为零的是（ ） A.



2

sinx1x

10





212

B.





cosxsinx

2

 

C.

2

2





ln1

2

1x1x

arcsinx

2

dx D.

e

u

4



2

1xcos

2

x





1sin

2

x

2、e

 2

x

dx（ ） A.



2

2

du B.edt C. 2e

2

2

2

2

tx

2

dx D.2e

2

x

2

dx

计算：3、6、



1

1xln

2

e

dx 4、 x

1

x



9

dxx1

4

5、

e

12

x

2

2

x

xcosxdx 7、e

0dx 8、sin(lnx)dx

1

练习5.4（反常积分）

计算：1、



lnxx

e

dx 2、



xe

x

dx 3、



2xx1

2



dx 4、

a

dxax

2

2

5、求曲线yex、直线x1及x轴所围成图形位于x1部分的面积。

练习5.6（平面图形的面积）

计算：1、求y

x,yx(1x4)所围图形面积。

2

2、由yx,y2x和xc所围面积为6，求大于零的c。 3、求y2x与x2y22(x0)半圆所围图形的面积。 4、求阿基米德螺线ra(02)和极轴所围的面积。

练习5.7（体积）

计算：1、求y

2x42x4所围成区域绕x轴旋转所形成的立体体积。

2、求y1x0x1所围成区域绕y轴旋转所形成的立体体积。

3、求yx2,x1,y0所围成区域绕y轴旋转所旋转所产生的旋转体的体积。 4、计算曲线ye与x轴之间位于第二象限的平面图形绕x轴旋转产生的旋转体体积。

自 测 题 5

一、填空或选择

1、设f(x)1sinx，函数在区间0,



x



2

上的平均值= ；

2、

ddx



x

ln(t1)dt= ；

2

2

3、已知f(0)1,f(2)3,f(2)5，则xf(x)dx

4、定积分dx(ab)在几何上表示（ ） A.线段长ab B.线段长ba

a

b

C.矩形面积ab1 D.矩形面积ba1 5、设f(x)在a,a上连续，且为偶函数，(x)



x

f(t)dt，则( )

A.(x)是奇函数 B. (x)是偶函数

C. (x)是非奇非偶函数 D. (x)可能是奇函数，也有可能是偶函数

x

2

x

6、设f(x)为连续函数，a0，F(x)

xa

a

f(t)dt，则limF(x)等于（ ）

xa

A.a2 B.a2f(a) C.0 D.不存在

二、计算： 1、求F(x)



x

3

dtt

4

x

2

的导数。 2、



4

dx1

x

1

3、

5

 2

x2x3dx 4、

2

1xx1

2

dx

三、应用题：1、求曲线xy1及直线yx、y2所围成的平面图形的面积；

2、把抛物线y24ax及直线xx0(x00)所围的图形绕轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。

第六部分 向量代数与空间解析几何

练习6.1（向量及其线性运算，空间直角坐标系）



1、判断对错：设a3,b2，则ab。（ ）

2、点（-1，-2，-3）第 卦限；



3、uab2c,va3bc，则2u3v

4、在z轴上点M1(1,2,3)和M2(2,1,1)的距离相等。 计算：5、求证以为O(0,0,0),A(1,1,0),B(0,1,1)顶点的三角形是等边三角形。 6、用向量法证明三角形的中位线定理。

练习6.2（向量的坐标）



1、已知向量a1,1,1,b2,3,1,c1,0,1，求向量3ab2c的坐标表示式

为 ；



2、设m3i5j3k,n2i4j7k,p5ij4k，则向量a4m3np的分

解式为 ；



3、已知两点M1(0,1,2),M2(1,1,0)，则向量M1M

2

= ，



2M1M

2

。



4、平行于向量a6,7,6的单位向量为 。



计算：5、已知M(2,2,2),N(1,3,0)，求向量MN的模、方向余弦、方向角和单位向量。

练习6.3（向量的数量积、向量积）

1、判断下列各组向量是否平行或垂直：



（1）2ij3k,4i2j6k； ；（2）2,0,3,3,1,2； ；

2计算：2、已知向量a、b之间的夹角，且

3



3、已知向量ab，且a3,b4,试计算a2b3a



a3b4，求ab. 

b。



4、已知OA1,0,3,OB0,1,3，求OAB的面积。







5、已知三点M1(1,0,3),M2(3,3,1),M3(3,1,3)，求与M1M2、 M2M3同时垂直的单位向量。6、设质量为100千克的物体从点M1(3,18)沿直线移动到点M2(1,4,2)，试计算重力所做的功（长度单位为米，重力方向为z轴负方向，取重力加速度为9.8ms2。）

练习6.4（平面与空间直线）

1、已知平面在x、y、z轴上的截距为1、2、3，，则其方程为 ； 2、点2,1,1到平面xyz10的距离为；

3、平行于y轴且过点P11,5,1及P23,2,2的平面方程为 ； 4、两平面xy2z60、2xyz50的夹角为；

xyz102xy3z40

x11



y4



5、直线

的对称式方程为 ；

x2

y22

z1

6、直线L1:

z31

与直线L2:

的夹角为 。

计算：7、求平行于平面2x8yz20且经过点M(3,0,5)的平面方程。 8、求过M3,0,1且平行于平面xz0及3xyz0的直线方程。

y3x1



9、求一直线方程，使之过点A(2,1,3)且平行于直线25。

z1

练习6.5（曲面与空间曲线）

1、写出适合下列条件的旋转曲面方程：

3x22y26

（1）把曲线绕y轴旋转一周； ；

z0

zsiny

（2）把曲线绕y轴旋转一周； ；

x0

2、指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：

（1）x2 、 ； （2）yx1 、 ； （3）x2y24、； （4）x2y21 、计算：3、一动点与点P(1,2,3)的距离是它到平面x3的距离的

13

，试求动点的方程。

自 测 题 6



一、选择：1、向量ab与二向量a、b的位置关系是( ) A.共面 B.共线 C.垂直D.斜交 2、设向量a与三轴正向夹角依次为、、，当cos0时有( ) A.a//xoy面 B. a//yoz面 C. a//xoz面 D. axoy面

3、设平面方程为BxCzD0，且B、C、D0，则平面（ ） A.平行于x轴 B.平行于y轴 C.经过y轴 D.垂直于y轴



4、向量a、b、c两两垂直，且a1b2c3，则abc的长度是( ) A.6 B.14 C. D.16

AxByCzD0

5、设直线方程为，且A、B、C、D、E、F0，则直线（ ）

EyF0





A.过原点 B.平行于z轴 C.垂直于y轴 D.平行于x轴 6、曲面zxyyz5x0与直线

2

x1



y53



z107

的交点是( )

A.(1,2,3)、（2，-1，-4） B.（1，2，3） C.(2,3,4) D. （2，-1，-4）

x2y216

7、已知球面经过（0，-3，1）且与xoy面的交成圆周，则此球面的方程是

z0

（ ） A.xyz6z160 B. xyz16z0

222222

C. x2y2z26z160 D. x2y2z26z160

8、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是（ ） A.xyz1 B.xy4z C.x

2

2

2

2

2

2

y

2

4

z

2

1 D.

xy9

22



z

2

16

1



二、计算：1、求与向量a、b的夹角等于，且a2b5，求a2ba3b。

3

2、设平行四边形二边为向量a4,3,4、b2,1,3，求其面积。



3、求通过直线

x12



y23



z22

且垂直于平面3x2yz50的平面方程。

x24t

:y1t都垂直的直线z32t

2x4yz1

、L24、求过点（-1，-4，3）并与两直线L1:

x3y5

方程。



三、证明：已知a、b为两非零不共线向量，求证：abab2ab。



第七部分 多元函数微积分学

练习7.1（多元函数的基本概念）

1、设zf(xy)xsin(xy)，若当x1时，有zy，则z 。 2、用不等式表示由yx、x2、y1所围成的平面区域。 3、函数zln(4xy)4、f(x,y)sin

1xy1

322

2

2

2

xy1 的定义域为 。

22

的间断点为 。

计算：5、lim

2xy

2

x1y4

xy

6、lim

xy11xy

x0y0

7、lim

xyxy

x0y0

8、limarctan

x0y0

xy

练习7.2（偏导数）

1、求f(x,y)arctan

xy

在点（0，1）处的偏导数。 2、已知zsin(xy)y的偏导数。

2

3、求ux

y

z

的偏导数。 4、求f(x,y)sin(x2y)的二阶偏导数。

2

xy22

,xy022

5、求函数zxy在点(0,0)的偏导数。

0,x2y20

练习7.3（全微分）

一、填空题:

y

1、设ze,则

x

zx

_____________；

zy

____________；dz____________.

2、若uln(x2y2z2),则du_____________________________. 3、若函数z

yx

,当x2,y1, x0.1,y0.2时,函数的全增量z_______;全

微分dz________. 4、 若函数zxy

xy

,则z对x的偏增量xz___________; lim

xzx

x0

____________.

二、求函数zln(1x2y2)当x1, y2时的全微分.

练习7.4（多元函数求导法则）

1、设已知zeucosv,uxy,v2xy，求

zz。 xy

dzdx

2、已知zf(x,y)x3、设xy2x，求

2

2

2

y,ysinx,，求。

zy

zx

dydx

。 4、设

xz

ln，求。

练习7.5（二重积分的概念、性质与计算）

22

1、已给二重积分xyd，其中区域是单位圆xy1在第一象限的部分。判断如下

2

D

各累次积分是否正确： （1）xyd=dx

D

2

1

y

2

xydy（ ）；（2）xyd=

D

22

1y

2



 0

1x

1x

2

2

xydydx（ ）；



2

（3）xyd=dxxydy （ ）；(4)

D

2

1 1

2

0 0

xy

D

2

d=dx

1

2

xydy （ ）；

（5）xyd=rcosrsindrd

2

D

D

2





2

cossind

2



1

rdr ( ).

3

2、判断下列更换二重积分的积分次序的式子的对错：

（1）dx

0 1 0

1 x

2

0 2xx

2

f(x,y)dy



1

dy

1

y

2

f(x,y)dx ( )

2

（2）dx

f(x,y)dy



dy

2yy

f(x,y)dx ( )

3、若D是以O(0,0)、A(2a,0)、B(3a,a)、C(a,a)(a0)为顶点的平行四边形，则

1d= 。

D

4、比较ed和e

D

xyxy

D

0x1

。 d的大小，其中D:

0y1

5、估计I



D

0x2

xy(xy)d的值，其中D:。

0y2

6、求xyd，其中D由x0、xa、y0、yb所围成a0,b0.

D

7、计算xe

D

xy

0x1

d，其中D:。

1y0

8、计算

D

sinyy

2

，其中D是由yx、y1及y轴所围成的区域。

9、计算xyd，其中D是单位圆在第一象限的部分。

D

自 测 题 7

一、填空或选择 1、二元函数z

ln

4xy

2

22

arcsin

1xy

2

2

的定义域是；

2、设f(xy,

xy

)xy，则f(x,y)= ；

1

1x

3、交换积分次序：dx

f(x,y)dy= ；

4、当D是（ ）围成的区域时，dxdy1。

D

A.x轴、y轴及2xy20 B.x

12

,y

13

xy1 C. x轴、y轴及x4、y3 D.xy15、设I A.

x

D

2

ydxdy，其中D由x2y2a2所围成，则I=( )

a

2

4

2



2

dardra B.

0

2

d



a

rrdr

2

12

a

4

C.



2

d



a

rdr

2

2

23

a D.

3



2

24

daadr2a

a

6、设z1



xy

,z

2

xy,z3

xy2

，则（ ）

A.z1与z2是相同函数 B. z1与z3是相同函数

C. z2与z3是相同函数 D.其中任何两个都不是相同函数

y4

7、曲线xy在点(2,4,5)处的切线与x轴的正向所成的角为 ；

z

4

8、由yx、y0、x1所围成的闭区域化为不等式组为。 二、计算1、limesin

x0y1

xy

； 2、lim

3xy9xy

x0y0

3、求zxlny的偏导数。

4、计算xyd，其中D是闭区域：0ysinx,0x。

2

2

D

第八部分 无穷级数

练习8.1 （数项级数）



判断对错：1、若limun0，则级数un发散。（ ）

n

n1



2、若limun0，则级数un收敛；（ ）

n

n1

3、收敛级数加括号后所成的新级数仍收敛于原级数的和。（ ） 4、发散级数加括号后所成的新级数仍发散。 （ ） 判断级数的敛散性：5、



n1



n1n；6、







n1

1n(n2)



；7、



n1

3

nn1

；



8、(1)

n1

n

79

nn



； 9、

n1

1

2

； 10、

13



1111111

325374 4343434

练习8.2（正项级数的审敛法）



cos2



2n

n



1、判定

n1

的敛散性。 2、判定

n1

3n24n5n3

1n

p

3

的敛散性。



3、判定

n1

3

2

n

n

n2

的敛散性。 4、讨论(1)

n1

n

(p0)的敛散性。



5、试判定(1)n

n1

2n1n1

2

是否收敛？若收敛，试确定是条件收敛还是绝对收敛。

练习8.3（幂级数）



1、求(1)

n1

n

x

n

nx

的收敛半径R和收敛区间(不讨论端点)。

2n

2、求(1)

n1

n

2n1

n

的收敛区间(不讨论端点)。

3、求

n1

(2x4)n3

n



的收敛区间(不讨论端点)。 4、求(n1)xn的和函数S(x)。

n0

自 测 题 8

一、填空或选择

1、部分和数列Sn有界是正项级数un收敛的

n1





2、limun0是级数un收敛的条件；

n

n1



3、若级数级数

n1

1n

p1

收敛，则p的取值范围是 ；

4、如果级数un收敛，级数：（1）un100、（2)

n1

n1





n100

u

n1

、(3)

100u

n1

n

、(4)

100

u

n1



n

中收敛的级数有 ；

5、级数(n1)(2q)n(q0)收敛，则q的取值范围是 ；

n0





6、若级数un收敛于S，级数(unun1)则（ ）

n1

n1

A.收敛于2S B. 收敛于2Su1 C. 收敛于2Su1 D.发散



2

n



2n



7、若级数a和b都收敛，则级数anbn( )

n1

n1

n1

A.一定条件收敛 B.一定绝对收敛 C.一定发散 D.可能收敛也可能发散 8、f(x)是以2为周期的函数，且f(x)

ee

2

xx

,x,，则它的傅里叶级数( )

A.不含正弦项 B.不含余弦项 C.既有正弦项也有余弦项 D.不存在 二、判定下列级数的敛散性



1、

n1

1(1)

2



n



n

2、nln

n1

nn1



3、

n1

1n

n



4、

n0

1(n1)!

三、求n!xn的收敛半径与收敛区间（不讨论端点）。

n1

第九部分 常微分方程

练习9.1（基本概念，可分离变量型微分方程）

1、下列微分方程的阶为：

dsds（12xy ； （222 2s；

dxdtdt

dy

2

（3）y(4)4y10y12y5ysin2x ；

dsdt

22

2、判断对错：（1）s0.2tC1tC2是方程

dsdt

2

22

2

0.4的通解；( )

（2）s0.2t20t不是方程

2

0.4的特解；( )

（3）yCsin2x是微分方程

dydx

2

（ ） 4y0的解，但既不是通解，也不是特解。

计算：3、解微分方程y

xy

。 4、求微分方程ycosxy满足条件y

x0

12

的特解。

5、解微分方程y6xdy2ydx0

2

练习9.2（齐次方程，一阶线性微分方程）

1、求方程yx

2

2

dydx

xy

dydx

2

的通解。

2

2、求微分方程xyyxy0满足条件y

x1

1的特解。

3、解微分方程yycosx2xe

sinx

。

4、若曲线上任一点处的切线斜率等于该点处横坐标与纵坐标之和，且经过点（0，2），求此曲线方程。

练习9.3（可降阶的高阶微分方程）

1、求方程ycos3x的通解。 2、求微分方程yyx0的通解。

3、求方程1x2y2xy0满足初始条件y(0)0、y(0)3的特解。 4、求方程yyyy0满足初始条件y(0)1、y(0)2的特解。

2

练习9.4（二阶常系数线性微分方程）

1、设y13x2、y23x2ex是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3x，则该微分方程的通解为 ； 2、微分方程yyx2cosx 。 3、求微分方程y2y3y0的通解。

4、求方程y2y3y0满足初始条件y(0)2、y(0)0的特解。

5、求微分方程4y4yy0的通解。 6、求方程y2y3y3x21的一个特解。 7、求方程y2yyxe2x的一个特解。 8、求y4y5ye2xsin2x的一个特解。 9、求方程y7y12ye4x的通解。

自 测 题 9

一、选择题

1、yP(x)yQ(x)的通解是（ ）

A. yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC] B. yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdx]

C.yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC] D. ye2、ydyxdx0,y(1)2的特解是（ ）

x

3

2

2

P(x)dx

A.xy2 B.xy9 C. xy1 D. 3、方程ysinx的通解为（ ）

A.ycosx

12

C1xC2xC3 B. ysinx

2

223333

3



y

3

3

1

12

C1xC2xC3

2

C. ycosxC1 D.y2sin2x 4、方程yy0的通解为（ ）

A.ysinxcosxC1 B. yC1sinxC2cosxC3

C. ysinxcosxC1 D. ysinxC1

5、若y1、y2是二阶齐次线性方程yP(x)yQ(x)y0的两个特解，则C1、C2（其中（ ）A.为该方程的通解 B. 是该方程的解 yC1y1C2y2为任意常数）

C. 为该方程的特解 D. 不一定是该方程的解

二、计算：求解下列微分方程：

1、xylnxya(lnx1)。 2、sec2xtanydxsec2ytanxdy0。

yx

2y

3、ye

x

。 4、y2yyex，x0时y0、y

32

。

三、已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求该曲线的方程

参 考 答 案

练习1.1 1、y

2sin

2

x 。2、D 。 3、C 。 4、3,23,4。 5、。6、√。

7、(1)yarccosu,uev,vx2. （2）ylnu,ulnv,vw3,wlnx.

591

,当0t20,当17x3

8、g(f(t))20、f(g(x))20 .

3, 其它0， 其它

练习1.2 1、

25

。 2、2 。 3、提示：原极限=lim

1x

2

n

1x



1x1x

42



1x

2

n1

1x

2

n



11x

。

4、提示：3练习1.3

nn

123



nn



1n



n

33.由夹逼性， 原极限=3.

n

1、4． 2、0． 3、1． 4、



2

。 5、0. 6、×。 7、×。 8、f(10)5f(10)1，

x3,x1

limf(x)不存在。 9、limf[g(x)]不存在。提示：f[g(x)]。 10、略 x1x1

2x2,x1

练习1.4

1-4：××××。5、(1) 练习1.5

73

。 (2) 1 。（3）0 。（4）0 。（5）1 。

1-6：××× ×√√ 。7、练习1.6

1e

。8、0。 9、

12

。10、

23

，等价无穷小代换。

1、1 。 2、可去 、-2 。 3、√。 4、（1）5。(2) 自测题1

一、1-5:BDBCB 6-9:DCCD 10、a三、提示:练习2.1



2

2k(k0,1,2,). 二、1、2 。2、

14

66

。 5、略。

。3、e2。4、

22

。

x

limP(x)limP(x)

x

。

1-5：CDACB 5：提示：用定义计算f(a) 。 6、100！提示：用定义求 。 7、a2、b1 提示：利用可导、连续的定义求。 练习2.2 1、

12x

sinx



,f。 xcosx 。 2、f(x)2

4(xcosxsinx)2

x

2

2

3、

x

1x1

2

。 4、

78

x



18

7

。提示：yx8。 5、

1xlnxln(lnx)

。

6、

x23x145

 ，用取对数求导法。 5

2x23xx1x1

4

练习2.3 1、(1)

n1

(n1)!x

n

。 2、

2

f(x)f(x)f(x)

f(x)

2

。

3、

y

y3

。提示：

dxdy

2

2

=

ddxd1d1dxd11

。 4、略。 dydydydyyxdxyxdydyyx

dx

练习2.4

1、cott 。 2、0 。 3、

siny

1cosy

3

。

4、

52

， y

2t2t1

2t

3

,y

d(y)dt

dxdt

t

2

14t14t

3



3

 。

练习2.5

1、1.161，1.1 ． 2、（1）2xC。 (2)

32

xC。 (3)sintC。 (4)12e

2x2

1



cosxC。

(5)ln(1x)C。(6)3、（1）dy4、dy自测题2

1lnxx

2

C。 (7)2xC。 (8)

13

tan3xC。

dx。 (2)dy(sin2x2xcos2x)dx。

xyxy

dx，

dydx



xyxy

。提示：先计算微分。

一、选择：1-7： BADD ABB 。 二、1、cosxlnx练习3.1

1、提示：y()cot(



2

)0。2、提示:令f(x)e，取区间1,x，用拉格朗日中值定

x

2

2sinxx

2、6xtan(103x2)三、f

(n)

(1)(1)

n2

(n2)! 四、略

理证。3、提示：令f(x)x3ax2bxc，limf(x)limf(x)0，由零点定理知

x

x

方程有一根，不妨设f()0。再由反证法和罗尔定理证明只有一个实根。即设方程另有一实根，不妨设f()0，则由罗尔定理，得,s.t.f()0。又f(x)3x22axb，因(2a)243b4(a23b)0,所以f(x)0。矛盾。 练习3.2 1、

ab

。 2、

16

。 3、1 。 4、3 。 5、1 。

练习3.3

1、（1）在,1上单调增加，在1,3上单调减少，在3,上单调增加；（2）在0,2上单调减少，在[2,)上单调增加；

2、（1）极大值y(0)0，极小值y(1)1。用第二判别法判。

125

20510

（2）极大值y(练习3.4

)。用第一判别法判。 3、用单调性证。

1、c 2.c 3.b 4.c 5、(,0),(0,),(0,0) 6、b0,c1



3

332

（7、a3,f极大

）。提示：在以x,y为端点的区间内考虑函数f(x)xlnx的凹凸

性，然后利用凹凸性的定义即可证明所需结论。 练习3.5

1-4：××√× 。

5、ymaxy(3)11,yminy(2)14。

6、当垂直于墙壁的边长为5米，平行于墙壁的边长为10米时，所围成矩形小屋的面积最大，为50平方米。 练习3.6

1、y5，x1 2、无水平渐近线，铅垂渐近线为x1和x3，斜渐近线yx2。 自测题3

一、1-6：DAB DBC。二、1、在0,100单调减少，在[100,)单调增加。 2、极大值：

y(0)1。 3、ymaxy(



4

)1,yminy(0)0。

三、显见sinxx的根是存在的。令f(x)sinxx(xR)，利用单调性来证惟一性。 练习4.1

1-4：√√××。 5-7: CAB 。 8、ex3sinxC。 9、lnxarctanxC 。 练习4.2 1、2cos

x 。2、

12

f(2x) 。3、2arcsin

2

x 。4、arccosx 。5、cotx 。

1

2tanx1 。6、 7、2arcsin

x2

x

sin2xC。 。 8、 9、10eC。 arctan[f(x)]C。

2

2

32

11、sin

3

1

3

xC。 12、arctaneC。13、

1

32

x

12

ln

2

xC。 14、

16

12x

2

C。

15、lnlnsinxC。16、arcsin

3

xC。

练习4.3 1-2:

CC 。3、

x2

x2

2

32

3

x

2

33x3ln

3

xC ，令t

x。4、

2arcsin4x



C，令x2sint,t0,。5、2

2

2

x4x4ln



x1C，



令t

4

x。 6、x22arccos

2x

C，令x



2sect,t0,。

22sinxx

练习4.4

1、xlnxxC。2、2sin

x2xcos

xC。3、cosx

C。4、xe

x

C。

5、ex(x1)C。6、xarccosxx2C。7、8、9、

12113

xsin2xe

3x2

12

xlnx

2

14

xC。

2

12

xcos2x

14

sin2xC，连续用两次分部积分法。

3cos2x2sin2xC，连续用两次分部积分法，再解方程求得。

自测题4

一、1-4：DDBD 5-8：BBBC。 二、1、sin

1x

xx

1x

C。2、

12arctan

x12

C。

3、

tsint

。 arcsinxC，提示：令xsint,t0,,tan

21cost2

2

4、xarctanxln练习5.1

xC，用分部积分法。 三、y

b

22

2a

x

2

2ba

2

2

1。

1-2：BC 3、0 。 4、xdx

1

2



1

xdx 。5、

3



4







2

11sin

2

x





2

。

练习5.2

1-3：ADD 。4、2x7、

1x

5

x

2

。 5、cott 。 6、222 。

ln(1lnx)2ln(12x) 。 8、1。

练习5.3

1-2：DD 。 3、8、

e2



6

。 4、2(1ln2)。 5、

12



12



38

。 6、2。 7、2 。

(sin1cos1)。提示:连续用两次分部积分法，再解方程得。

练习5.4

1、，发散。 2、1 。 3、，发散 。 4、练习5.5 1、

493



2

。 5、

1e

。

。 2、 2 。 3、



2



13

，提示：对y积分。 4、

43

a。

23

练习5.6 1、4 。 2、自测题5 一、1、1

2



3

。 3、



2

。 4、



2

，提示：V

e

x



2

dx。



2

。2、ln(x1) 。 3、8，分部积分法。 4-6：DAB

2xx

8

2

二、1、

3x

x

12

 。 2、22ln

23

。 3、

713

。4、



2

，令tx1。

三、1、练习6.1

32

ln2 。 2、2  a x0 。

2



1、× 。2、V 。3、5a11b7c

。4、（0，0，2） 。

5、OAOBAB练习6.2

2。 6、略。

676

1、1,0,4 。 2、 3、 4、,, 1,2,2,2,4,4 。13i7j5k 。 。

111111



5、MN=2，cos





12

,cos

12

,cos

22

，

23

,



3

,

34



，向量MN

的单位向量为练习6.3

112

。 ,,

222





1、（1）平行 。（2）垂直 。 2、，提示：先计算abab。

1OAOB。 3、60，提示：baab。 4、，提示：S22





5、



3,

2,



2

。提示：即为求与M1M2M2M

3

共线的单位向量。



6、5880焦耳。WGM1M2 。

练习6.4 1、5x14y2y1z3

1 。 2、3 。 3、3x2z50 。 4、z23



3

。

x1



。 6 。 7、所求平面法向量为(2,8,1)。 2x8yz10，

4

y1x2

y

x3z1，所求直线方向8、5，所求直线方向向量为 。9、(2,5,0)2

4z30



向量为(1,0,1)(3,1,1)。 练习6.5

1、（1）3x2y3z6 。 （2）xzsin

2

2

2

2

2

2

y 。

2、（1）平行y轴距离为2的一条直线、平行yoz平面距离为2的平面。 （2）斜率与截距均为1的一条直线、平行于z轴的平面。

（3）圆心在原点半径为2的圆、z轴为对称轴半径为2的圆柱面。 （4）两半轴均为1的双曲线、母线平行于z轴的双曲柱面。 3、

x

2

3



y22

2



z32

2

1 。

自测题6

一、1-4： CCBC 5-8： CADD



二、1、-141 。2、35 ，Sab 。3、7x8y5z330 所求平面方程可设为

A(x1)B(y2)C(z2)0(A,B,C)(3,2,1)0。4、

，由已知可得

x112

y446

z31

(A,B,C)(2,3,2)0

、

，L1的方向向量为

(2,4,1)(1,3,0)(3,1,10)，所求直线的方向向量为(3,1,10)(4,1,2)(12,46,1)。三、略。 练习7.1

1、sinxx,sin(xy)xyxsin(xy)，提示：代入x1得f(y)sinyy。

1x2

2、 。 3、x,yx2y24 。 4、x,yx2y21 。

1yx



5、

12817

。 6、

12

。 7、不存在。x,y沿ykx趋于点0,0时极限=

1k1k

。

8、不存在。x,y沿yx2趋于点0,0时极限不存在 。 练习7.2

1、fx(0,1)1,fy(0,1)0，fx(x,y)

zxux

2

yxy

2

2

，fy(x,y)

xxy

2

2

。

2、ycos(xy)，

zy

xcos(xy)2y。

3、yx

zy1

z

，

uy

x

y

z

y

z1

lnx，

uz

x

y

z

ylnxlny。

z

4、

2

f(x,y)x

2

4xsin(x2y)2cos(x2y)，

222

f(x,y)xy

2

4xsin(x2y)，

2

f(x,y)yx

4xsin(x2y)，

2

f(x,y)y

2

2

4sin(x2y)。

2

5、用定义求。

zx

x0y0

lim

z(0x,0)z(0,0)

x

x0

0,同样可得

zy

x0y0

0。

练习7.3 一、1、

yx

2

y

ex,

1x

y

ex,

1x

y

ex(

yx

2、dxdy)；

2(xdxydyzdz)

xyz1

23

2

2

2

； 3、-0.119,-0.125；

4、(y练习7.4 1、

zx

1y

)x,y

1y

. 二、dx

3

dy.

e[ycos(2xy)2sin(2xy)],

xy

zy

z

xy

e[xcos(2xy)sin(2xy)].

2、

dzdx

2x

cosx2sinx

。3、

1xy

。 4、

zx

，令F(x,y,z)

xz

ln

zy

。

练习7.5 1、（1）—（5）：×××√× 。 2、（1）—（2）：√× 。 3、2a2 ， 提示:该积分为被积区域的面积值。 4、ed

D

xy



D

e

xy

d，在D上，xyxy。

5、0I8，在D上，被积函数的最大值为2（在(2,2)点）、最小值为0（在(0,0)点）。 6、9、

14115

ab 。 7、

2

2

1e

，提示:先对y积分。 8、1cos1，提示：先对x积分 。

，提示：用极坐标计算 。

自测题7

一、1、x,yx2y24 。 2、xy2x



xy

。3、dy

1 1y

f(x,y)dx 。

4-6：ABD 。 7、



416

。 8、

0x10yx

。

二、1、1 。 2、练习8.1

。 3、zxxlny1,zy

lnxy

x

lny

。 4、

2



409

。

1-4：√×√× 。 5、发散，limSn 。 6、收敛于

n

34

，

1n(n2)



111

。2nn279

7、发散，limun10 。 8、收敛于

n

716

，该级数为公比是

19

的等比级数 。

9、发散，limun10 。10、收敛于

n

1724

，该级数为公比分别是和

14

的等比级数之和。

练习8.2

31

cos



2n

n

1、收敛，

2



12

n

。 2、收敛，

32

3n24n5n3

3



3n4n5n3n

3



34n

p

2

。

3、发散，用比值审敛法，5、条件收敛。 练习8.3

。 4、收敛，

1n

p



1(n1)

p

，limn

n

0。

1、1，(-1,1） 。 2、(-1,1) ，做代换x2y 。 3、

17

,，令yx2。 22

4、S(x)自测题8

1

1x2



x

，S(x),x1,1，先求S(x)dx。 01x1x

x

x

一、1、充要 。2、必要 。3、2,。4、（2）（3）(4) 。5、0,



23

1n

n



1

 。 6-8：CBB 。 2

n

二、1、收敛于

；2、发散。limun10。3、收敛。

n



12

(n2)。

4、收敛。用比值审敛法，01。 三、R0,在x0点收敛。 练习9.1

1、（1）1 。（ 2）2 。 （3）4 。 2、（1）—（3）：√ × √ 。 3、y2x2C 。 4、y

12

secxtanx。5、x

12

yCy，提示:以y为自变量。

23

练习9.2

y

1、yCe练习9.3 1、y

19

x

。2、arcsin

yx

lnx



2

。3、yxCe

2

sinx

。 4、y3ex1。

x

cos3xC1xC2 。 2、yC1e

x

x

x

2

2

xC2 。 3、y3xx 。

3

4、y12e练习9.4

。

1、y3xC1xC2e3、yC1e



2

2x

。 2、yaxbxcx(AcosxBsinx) 。

x

2

3x

C2e43x

x

。4、ye



2cos

x

2x2sin

2x 。5、yC1C2xe





12

x

。

6、yx

59

。7、y

1912x22x

yesin2x。 。 8、e

1327

32

9、yC1e3xC2e4xxe4x 。 自测题9

一、1-5：CBABB 。 二、1、y

12

2yx

alnx2

a

Clnx

。2、tanxtanyC 。

3、lnxeC 。4、y

e

1x

xe。 44

x

三、yxxlnx。提示：建立微分方程：yxyx，其通解为yCxxlnx 。

33