直线方程二(距离.对称)
直线方程二(交点、距离及对称)
一、直线的交点 1、求两直线的交点 l 1:A x +B 1y +C 1
1
=0 l 2:A 2x +B 2y +C 2=0
⎧A 1x +B 1y +C 1=0
则两直线交点的求法:⎨
⎩A 2x +B 2y +C 2=0
例1:判断下列两直线的位置关系,若相交,求出交点坐标。 ⑴ l1:2x+y+3=0 l2:x —2y —1=0 ⑵ l1:2x —y —1=0 l2:x+3y—11=0 ⑶ l1:x+y+2=0 l2:2x+2y+3=0 ⑷ l1:2x —3y+5=0 l2:4x —6y+10=0
例2:若三条直线2x+3y+8=0, x—y —1=0和x+ky=0相交于一点,试求实数k 的值。
例3:若两条直线mx —y+2=0与x —2y+3=0的交点在第二象限,则实数m 的取值范围是( ) A.m<
11212 B. <m < C.m> D. m> 22323
2、过已知两条直线交点的直线方程 过直线l 1:A x +B 1y +C 1
1
=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线方程
A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0
例1:已知直线l 过直线l 1:3x+4y—2=0和直线l 2:2x+y+2=0的交点,
并且与直线l 3:4x+3y—2=0平行,求直线l 的方程。
例2:已知直线l 过直线l 1:2x+y—2=0和直线l 2:x —y+2=0的交点,
并且与直线l 3:2x+3y+4=0垂直,求直线l 的方程。
3、直线的定点问题
例1:无论实数m 取何值,直线l :y=kx+3都经过一个定点,试求这个定点
(若将直线改为y=kx+3k—5呢?)
例2:无论实数m 取何值,直线l :(m-2)x-(2m+3)y+m-9=0都过一个定点,试求这个定点.
例3:已知两点A (0,1),B (1,0),若直线y =k (x +1) 与线段AB 总有公共点,则k 的取值范围是__________.
二、距离问题
1、两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)间的距离
P 1P 2
=
(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2
例1:求下列两点间的距离
⑴ A(2,0) B(0,8) ⑵ M(1,2) N(-1,3) ⑶ P(k,3) Q(k,-3)
例2:已知点A (4,12),在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13,试求点P 的坐标
例3:光线从点A (-3,4)照射到x 轴上以后,再反射到点B (2,1),试求光线从A 点到B 点的路程
2、点P (x 0,y 0)到直线l :Ax+By+C=0的距离 d=例1:分别求点P (3,-2)到下列各条直线的距离
⑴ x+2y—1=0
⑵ y =⑶ y ⑷ x
Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
31x + 44
=6 =4
例2:已知定点A (2,-5),动点B 在直线2x —y+3=0上运动,求线段AB 的最小值以及此时点B 的坐标
例3:求过点M (-2,1),且与点A (-1, 2),B (3, 0)距离相等的直线方程。
例4:与A (1,1),B (2,2)距离都等于
2
的直线的条数是( ) 2
A .1 B .2 C .3 D .4
例5:在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )
A .1条 B .2条 C .3条 D .4条
3、两平行直线l 1:Ax+By+C1=0 与l 2:Ax+By+C2=0 的距离 d=例1:分别求下列两条直线的距离
⑴ l1:3x+4y -2=0 l2:3x+4y+2=0 ⑵ l1:x+2y -1=0 l2:3x+6y+12=0
⑶ l1:y
C 1-C 2A +B
2
2
=2x -1 l2:y =2x +3
例2:已知直线3x+2y -3=0 和直线 6x+my +1=0互相平行,试求该两条直线的距离。
例3:求与直线7x+24y -5=0 平行,并且距离等于3的直线方程。
例4:求经过点P (2,3)且被两条平行直线3x +4y -7=0和3x +4y +8=0截得线段长为32的直线方程.
例5:两平行直线l 1、l 2分别过点P (-1, 3)、Q (2,-1),它们分别绕点P 、Q 旋转,但始终保持平行,则
直线l 1与l 2之间的距离的取值范围是( ) A .(0,+∞) B. [0,5] C. (0,5] D.(0,]
三、对称问题
x 1+x 2⎧x =⎪⎪2
1、点关于点对称(中点坐标公式的应用)⎨
⎪y =y 1+y 2⎪⎩2
例1:求点M (2,5)关于点N (-1,3)对称的点M 1的坐标
2、点关于线对称
例1:分别求点P (2,3)关于下列直线的点的坐标 ⑴ 2x +
y -6=0
1
⑵ y =x +1
2
⑶ 2y ⑷ 3x
=1 =-2
例2:已知点A (-2,1)和点B (3,7),试在x 轴上找一点P ,使点P 到A 、B 两点的距离之和最小,并求
出这个最小值。
例3:已知点M (4,1)和点N (0,4),试在直线l :3x -
距离之差最大,并求出这个最大值。
例4:将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m ,n ) 重合,则m +n =________
例5:将一张坐标纸折叠一次,使得点M (0,4)与点N (1,3)重合,则与点P (2 004,2 010)重合的点的坐标是( )
A .(2 006,2 006) B .(2 006,2 007) C .(2 007,2 006) D .(2 007,2 007)
3、线关于点对称
例1:分别求直线l :x -2y -1=0关于下列各点对称的直线l 1的方程 ⑴ 点M (3,8) ⑵ 坐标原点O (0,0)
y -1=0上找一点P ,使点P 到M 、M 两点的
4、线关于线对称 例1:分别求直线l :2x +⑴ x -⑵ y
y -3关于下列直线对称的直线l 1的方程
y +3
=2x -1 =-2
⑶ x
⑷ y 轴(或x 轴) ⑸ 2x +
y +1=0
四、与截距相关的直线问题
例1、已知直线l 经过点P (2,1),且与两坐标轴的截距相等(若改为截距的绝对值相等呢),试求直线l 的方程。
例2、已知直线l 经过点P (4,2),且和两坐标轴正半轴交于点A 、B 两点,O 为坐标原点。试分别求满足
下列条件的直线l 的方程。 ⑴若S ∆AOB =18,求此时直线l 的方程。
⑵求S ∆AOB 的最小值以及此时直线l 的方程。 ⑶求
AO +BO 的最小值以及此时直线l 的方程。
综合测试题
1、两点A(1,2) ,B(-1,3) 间的距离是_________.
2、点(0,5) 到直线2x -y =0的距离是( )
A.
2
C.
3
2
D.
4
3、直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限, 则a 的取值范围为____________.
4、已知三角形的三个顶点A(2,1)、B(-2,3)、C(0,-1),则BC 边上中线的长为___________.
5、求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
8、直线kx-y+1-3k=0,当k 变动时, 所有直线都通过定点( )
A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)
6、已知两直线2x+3y-3=0与mx+6y+1=0互相平行, 则它们的距离等于( )
A.
257 B. C. D.4 132626
7、 若原点在直线l 上的射影为(2, -1) ,则l 的方程为____________________
8、点P (x , y ) 在直线x +y -4=0上,则x 2+y 2的最小值是________________
9、一条直线经过P(1,2), 且与A(2,3)、B(4,-5) 距离相等, 则直线l 为( ) A. 4x+y-6=0 B. x+4y-6=0
C. 3x+2y-7=0和4x+y-6=0 D. 2x+3y-7=0和x+4y-6=0 10、经过点A(1, 0) 和B(0, 5) 分别作两条平行线,使它们之间的距离等于5,则满足条件的直线共有( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
11、直线mx -y +2m +1=0经过一定点,则该定点的坐标为( )
, A.(-21) 1) B.(2,
,-2) C.(1,2) D.(1
12、已知点A(1,3)、B(5,2),点P 在x 轴上,使|AP|–|BP|取得最大值时P 的坐标( )
A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)
13、已知两点A(–2, –2), B(1, 3),直线l 1和l 2分别绕点A, B旋转,且l 1//l2,则这两条平行直线间的距离的取值范围是 .
14、点P 在直线x+y–4=0上,O 为原点,则|OP|的最小值是( ) A .2 B.6 C.22 D.
15、已知直线y=kx+2k+1与直线y=–
1
x+2的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是( ) 2
1111
A. –6
6622
16、求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
17、已知直线l 满足下列两个条件:
⑴过直线y = – x + 1和y = 2x + 4的交点; ⑵与直线x –3y + 2 = 0 垂直,求直线l 的方程.
18、已知A (-2, 2) ,B (-3, -1) ,在直线y =2x -1上求一点M ,使|MA|+|MB|最小,并求出这个最小值.
19、直线l 与直线x -3y +10=0,2x +y -8=0分别交于点M ,N ,若MN 的中点是(0,1) ,求直线l 的方程.
20、已知直线Ax +By +C =0,
⑴系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; ⑵系数满足什么关系时与坐标轴都相交; ⑶系数满足什么条件时只与x 轴相交;
⑷系数满足什么条件时是x 轴;
30.如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位,再沿y 轴正方向平移一个单位后,又回到原来的位置,那么
直线l 的斜率是( )
11
A .- B .-3 C. D .3
33