两角和与差的余弦公式教案
两角和与差的余弦公式
【教学三维目标】
1.知识目标: 理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式,运用两角和与差的余弦公式,解决相关数学问题。
2能力目标 : 培养学生严密而准确的数学表达能力;培养学生逆向思维和发散思维能力;培养学生的观察能力,逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感目标: 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美,培养学生良好的数学表达和思考的能力,学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。
【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程,特别是一般性的推广。
【知识链接】 诱导公式 平面向量的数量积
一、 产生对公式的需求 引入新课
首先让学生通过具体实例消除对“cos(α-β)=cosα-cosβ”的误解,说明两角和(差)的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。
二、自主探究 引发思考 层层深入 得出结论
独立思考以下问题:
(1)向量的数量积 (x1,y1),(x2,y2) 则 __________(2)单位圆上的点的坐标表示
由图可知:OP1
a) , OP2b
a_____________ b_____________
问题1 : cosP1OP2cos(4530)
问题2 :由cos(4530)cos45cos30sin45sin30出发,你能推广到对任意的两个角都成立吗
?
问题
3 :两角和与差的余弦公式推导
(一)两角差的余弦公式 设(cos,sin),(cos,sin),
coscossinsin
coscoscossinsin
如果[0,],那么
)coscossinsin 故 cos(
实际上,当为任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可转化[0,2),使
coscos()。
,对于任意的角,都成立。 根据两角差的余弦公式,你可以猜猜cos()?
提示:令
(二)两角和的余弦公式
结论:两角和与差的余弦公式 C()
cos() coscossinsin
注: 1.公式中两边的符号正好相反(一正一负);
2.式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在后;
3.式子中α、β是任意的。
4 式子的逆用,变形用
正因为α、β的任意性,所以赋予C(α+β)公式的强大生命力
三. 互相交流,小组活动 公式应用闯关
第一关:小试身手
请用特殊角分别代替公式中α、β,你能求哪些非特殊角的值呢?(选择的特殊角可以是30°60°45°
等)
(1) cos15______;(2) cos75______;(3) cos105______;……
问题预测:学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至可能有的同学会说他验证了cos30°=sin60°…….(让同学感受获得公式后的第一份喜悦)由于初学公式的应用,我选择其中之一作示范。 000
第二关:再接再厉
若β固定,分别用 π,π 代替α,你将会发现什么结论呢? 2
(1)cos()___________(2)cos()___________
(3)cos()__________(4)cos()___________22
设计意图:引导同学发现余弦的诱导公式可用C(α±β)公式得到证明:
cos()cos,cos(
2)sin,cos(
2)sin.初步让学生发现C(α±β)公式是诱导公
式的推广。(从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦)
第三关:各显神通
倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值,你又将发现什么结论呢? ( (1)cos
4)__________;(2)cos()____________
(3)cos)(cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____)
(4)cos)cos(_____)(()cos(_____)____sin(_____)sin(_____)
……
问题预测:可能有的同学发现cos2α=cos(α+α)=cosα-sinα,这是以后要学的二倍角公式,还
有的同学发现: cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ,甚至有调皮的同学发现
22cos0=cos(α-α)=cosα+sinα=1,这就无意中证明了平方关系,……, (据此,让同学感受到C(α±β)
公式的强大功能)。(必要时,教师可适当提示)。
注:按课本编排未必能让同学注意公式中α,β的任意性,(而正是因α、β的任意性,所以才赋予
C(α+β)公式的强大生命力)。于是我设计上述三个有层次的A ,B,C级的问题,留时间先让同学用特殊角自由赋值,逐渐摸索、尝试,不断总结、归纳。这样更能使同学亲自感受公式的强大功能,并掌握赋值法。
四.师生共同活动 数学运用
1.例题:知sin
解:由 (22233,(,),cos,(,),求cos()的值。 3252
2,) ,得
2cossin
3
252 332又由(,),得
sincos
243 552
由余弦的和角公式得
cos()coscossinsin
(3248 )353515
注意:注意角、的象限,也就是符号问题.
2.变式练习 能力提高
已知,都是锐角,cos45,cos(),求cos的值。 513
解:由 (0) ,得sin
2cos234 552
又由(0,
2),则(0,)得
2sin()cos
由余弦得差角公式得 125() 13132
coscos)(cos()cossin()sin (5412316)() 13513565
五.达标检测:
cos80°cos20°+sin80°sin20°,初步学会逆用公式。
(1)cos130°cos5°-sin130°sin5°
22(2) cos15°-sin15°, 为二倍角公式埋下伏笔。
(3) cos80°cos35°+cos10°cos55°,逐步学会把不符合公式结构变形使之符合。
(4) (2004全国高考题)设0,3cos,若,
os52_____4,利用
高考题的引用让学生串连三角函数的相关知识。
六.学习反思
知识网建构:
七. 课时总结:
1、牢记公式的结构特点,学会逆用公式。不符合公式结构特点的,常通过诱导公式变形使之符合。
2、强调公式中α、β的任意性,是本节内容的主线,它赋予了公式的强大生命力。
注:逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步加深的练习,加强学生对公式的理解和应用,引导学生积极参与思维,培养学生观察,比较等思维能力,同时渗透了一种化归思想。
八. 作业布置
1. 教材第4页,感受理解第 1,2 题
2. 探究:知道了cos(),你觉得sin()也有类似的规律吗?
九. 板书设计
十. 教后反思: