立体几何知识点归纳学生

立体几何知识点归纳 1. 棱柱

(1)面积、体积公式：___________________________________________

(2)相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：

⎧斜棱柱⎪底面是正多形

①棱柱⎨棱垂直于底面⎧→正棱柱

⎪−−−−−

−−−−−→直棱柱⎨⎪

⎪⎩其他棱柱 ⎩

底面为矩形

底面为正方形 (3)长方体的性质：

长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】_______________________________

2. 圆柱 (1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是__________________ (2)面积、体积公式：

3. 棱锥

（1）正棱锥的性质：

①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图： SOB , SOH , SBH , OBH 为直角三角形）

（2）侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有________________________组成的。 （3）面积、体积公式：_______________________________________

4. 圆锥 如右图：l =h +r .

222

（1）圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以 （2）面积、体积公式：_____________________________________

B

5. 棱台

棱台的表面积、体积公式：

__________________________________________________________________

6. 圆台

体积公式：

____________________________________________________________________ 7. 球

（1）球的性质：

①球心与截面圆心的连线_____________

②r =_________（其中，球心到截面的距离为d 、球的半径为R 、截面的半径为r ） 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. （2）球面积、体积公式：

______________________________

空间几何体的三视图

正视图——体现空间几何体的____ 侧视图——体现空间几何体的____ 俯视图——体现空间几何体的____

规律：_____________________________________________

点、直线、平面之间的位置关系 （一） 平面的基本性质

1. 平面——无限延展，无边界 三个定理与三个推论

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 用途：常用于证明直线在平面内.

图形语言： 符号语言：

公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言： ．．．

推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言： 推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言： 推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言： 用途：用于确定平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.

用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.

图形语言： 符号语言： 形语言，文字语言，符号语言的转化：

（二）空间图形的位置关系

⎧______⎪

1. 空间直线的位置关系：⎨ ⎧________

_______⎨⎪

⎩_______⎩

（1）平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：

a //b , b //c ⇒a //c

（2）异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

图形语言：

P ∉α⎫A ∈α⎪⎪

符号语言：与a 异面 ⎬⇒P A

a ⊂α⎪A ∉a ⎪⎭

⎧______⎪

2. 直线与平面的位置关系：⎨ ⎧________

_______⎨⎪

⎩_______⎩

图形语言：

⎧______

⎪

3. 平面与平面的位置关系：⎨ ⎧________

_______⎨⎪

⎩_______⎩

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）

1. 线面平行：

①定义：直线与平面无公共点. ②判定定理：（线线平行⇒线面平行）________________________________

符号表述：______________________________________________

③性质定理：（线面平行⇒线线平行）_____________________________________

符号表述：______________________________________________

④判定或证明线面平行的依据： （i ）定义法（反证）：l α=∅⇒l //α（用于判断）； （ii ）判定定理： “线线平行⇒面面平行”（用于证明）； （iii ） “面面平行⇒线面平行”（用于证明）；

b ⊥a ⎫

⎪

（4）b ⊥α⎬⇒a //α（用于判断）；

a ⊄α⎪⎭

①定义：α β=∅⇒α//β；

②判定定理__________________________________________________________

符号表述：______________________________________________ 【如下图①】

图① 图②

推论：________________________________________________________________________

符号表述：________________________________________________ 【如上图②】 判定2：_________________________________________________ . 符号表述：______________________________【如右图】 ③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2 ④面面平行的性质：（1）（面面平行⇒线面平行

（2）；（面面平行⇒线线平行）

（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1. 线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意a ⊂α, 都有l ⊥a ，且l ⊄α，则l ⊥α.

②判定定理：（线线垂直⇒线面垂直）_____________________________________ _________________________________________________________________________- 符号表述：______________________________________________ ③性质：（1）（线面垂直⇒线线垂直）；_________________________ （2）；_____________________________________________________

a //b ⎫④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）⎬⇒b ⊥α

a ⊥α⎭

（较常用）；（4）

α//β⎫

（5）（面面垂直⇒线面垂直）常用；

⎬⇒a ⊥β；

a ⊥α⎭

（1）定义则α⊥β；

（2）判定定理（线面垂直⇒面面垂直）

符号表述

：

______________________________________________ （3）性质：①若α⊥β，则∠MON =90︒； ②（面面垂直⇒线面

垂

直

）；

_________________________________

α⊥β⎫③

A ∈α⎪⎪

A ∈a ⎬⇒a ⊂α. ④ ⎪

α⊥β⎫a ⊥β⎪⎬⇒a ⊂α或a ⎭

a ⊥β⎭//α

二、立体几何常见题型归纳例讲 1、概念辨析题：

（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。

（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定

理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。

（3）相关例题：课本和报纸上出现很多这样的题型，举例说明如下： 例：（04年北京卷）设m ，n 是两条不同的直线，α, β, γ是三个不同的平面，给出下列四

个说法：①m ⊥α, n //α⇒m ⊥n ；②α//β, β//γ, m ⊥α⇒m ⊥γ；③m //α, n //α⇒m //n

④α⊥γ, β⊥γ⇒α//β，说法正确的序号是：_________________ 2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。