2015届达州一诊数学文科试卷及答案(word版)

达州市普通高中2015届第一次诊断性测试

数学试题（文科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，第I 卷（选择题）1至2页，第II 卷（非选择题）3至4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色字迹的签字

笔或钢笔填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡规定的位置上。

2. 选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色字迹的签字笔或钢笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答案无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

第I 卷（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则(CU A) U B为

A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{2,4,5} D.{2,3,4,5}

2．如果复数Z=i(-1+i)，则Z 的虚部为

A.i B.-i C.1 D.-1

⎧x -2,(x ≤10) 3．设f (x ) =⎨, 则f (2015)的值为

⎩f (x -10),(x >10)

A.2 B.3 C.4 D.5

4．在正项等比数列{an }中，lga 3+lga6+lga9=3,则a 2a 10

的值是

A.100 B.10 C.9 D.3

5. 阅读右边的程序框图，则输出S 的值为

A.-2 B.-3

C.1 D.2

ωn (x +ϕ6. 函数设f (x ) =s i

设x 1, x 2∈(-ω) >(πϕ|的|部分) 图像如图所示，如果2ππ, ) 且f (x 1) =f (x 2) ，则f (x 1+x 2) = 62

A. 1

B.

C. D. 1 222

7. 某选手参加演讲比赛的一次评委打分如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩下数据的平均数和方差分别为

A.86.5 1.5 B.86.5 1.2

C.86 1.6 D.86 1.2

8．下列说法正确的是

A. 命题“∀x ∈R , e x >0”的否定是“∃x ∈R , e x

B. 命题“已知x,y ∈R ，若x+y≠10，则x ≠5或y ≠5”。是真命题。

C. x 2+2x ≥ax 在x ∈[0,2]上恒成立⇔(x 2+2x ) min ≥(ax ) max 在x ∈[0,2]上恒成立。

D ．命题：若a=-1，则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点的逆命题为真命题.

9. 在区间[-π, π]内随机取两个数分别记为a,b ，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点的概率为

7311A. B. C. D. 8424

⎧e x -1,(x >0) ⎪10. 已知函数f (x ) =⎨，若f (x ) ≥ax 恒成立，则a 的取值范围是 11-|x +1|,(x

1111A. (-∞, ] B. [-, ] C. [,1] D. [1,∞) 2222

第II 卷（非选择题，共100分）

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）

11. 一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知乙 层中每个个体被抽到的概率都为

1，则总体中的个体数为 。 9

12. 已知向量a =（λ，2λ），b =（3λ，2）如果向量a 与b 共线，则λ的值为 。

13. 若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=3，则f(8)+f(4)的值为

⎧⎡a 11, a 12⎤⎡x ⎤⎡a 11x +a 12y ⎤⎡2,3⎤⎡x ⎤⎡3⎤⎪x =14. 定义⎢，若⎢=⎢⎥，则⎨=⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎣1,1⎦⎣y ⎦⎣-1⎦⎪⎣a 21, a 22⎦⎣y ⎦⎣a 21x +a 22y ⎦⎩y =

15. 对于函数f(x)，若存在区间M=[a,b](其中a

函数f(x)的一个“增值区间”。下列函数中存在“增值区间”的函数有 （填出你

认为满足条件的函数编号）

①f(x)=x2-2x+4;②f(x)=|2x -1|;③f(x)=ex-1; ④f(x)=ln(x+1).

三．解答题（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

16．（本小题满分12分）

已知a,b,c 分别∆ABC 的三个内角A,B,C 的对边，m =(b,c),n =(cosC,cosB)且m n =-2acosA.

(I)求角A.

(II)若

∆ABC

b,c.

甲、乙两人参加某种选拔测试。在备选的5道题中，甲能答对其中的2道题，乙能答对其中

的3道题。规定每次考试都从备选的5道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，

答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选。

(I)求甲得15分的概率.

(II)求乙入选的概率.

18．本小题满分12分）

如图OPQ

扇形，ABCD 是三星OPQ 的内接矩形，点A,B 是 4

OP 上，点D 在OQ 上，点C 在弧PQ 上，记角POC=θ。

(I)用含θ的式子表示AB 的长.

(II)记矩形ABCD 的面积为f(θ) ，求f(θ) 的单调区间和最大值.

已知点列(an ,a n+1)(n∈N*)在函数f (x ) =-

(I)令b n =1的图像上，且a 1=f(0). x +21，求证：数列{bn}为等差数列，并求数列{bn}的通项公式. a n +1

(II)若a n >kn对n ∈N*恒成立，求实数k 的取值范围。

20．本小题满分13分)

已知函数y=f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x ) =

(I)求函数y=f(x)的单调区间和极值.

(II)若集合{x |f (x ) =kx -

13x -4x +4. 34, -3≤x ≤3}恰有两个元素，求实数k 的取值范围. 3

已知函数f (x ) =ln(x +a ) +1-a -x .(a>0). 2ax +a

(I)若a=1,求y=f(x)的最小值.

(II)若y=f(x)有两个不同的零点，求实数k 的取值范围.

(III)当a=1时方程f(x)=k(k>0)存在两个异号实根x 1,x 2，求证：x 1+x2>0. 其中[(ln(-x +1))' =-1] -x +1

达州市2015届第一次诊断性测试

数学试题（文科）答案

1-5 CDBAA 6-10 CDBBC

111.180 12.0或 13.-4 14. 3⎧x =-6 15. ②③④ ⎨y =5⎩

16. 解：(I). 因为m =(b,c),n =(cosC,cosB)且m n =-2acosA;

所以m n =bcosC+ccosB=-2acosA;

所以sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA………..2分

所以sin(B+C)=sinA=-2sinAcosA

所以cosA=-

所以A=1…………4分 22π………….6分 3

(II)由

a 2=b2+c2-2bccosA 所以b 2+c2+bc=12……..8分 又S ∆=1bcsinA= 2

所以bc=4……….10分

所以b=c=2……….12分

(III)

17. 解：(I).设甲答错的3道题为A 1，A 2，A 3，答对的2道题为B 1，B 2，则从中选3道题的所有可能有：A 1A 2A 3，A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 3B 1，A 1A 3B 2，A 1B 1B 2，A 2A 3B 1，A 2A 3B 2，A 2B 1B 2，A 3B 1B 2共10种，其中的15分（两对一错）的有3种，所以乙得15分的概率为3。。6分 10(II)不妨设(I)中A 1，A 2，A 3的为乙答对的3题，B 1，B 2为乙答错的2道题，则从中任选3道题的所有可能有：A 1A 2A 3，A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 3B 1，A 1A 3B 2，A 1B 1B 2，A 2A 3B 1，A 2A 3B 2，A 2B 1B 2，A 3B 1B 2也是10种，则乙得15分（两对一错）的有6种，得30分（全对）的只有1种，所以入选（两对一错或全对）的概率为7。。。。。。12分 10

18. 解：(I).由∠POC =θ，ABCD 为矩形，

θ

θ………3分

o 又∠POQ =45 所以

θ

所以

θ

θ, θ∈(0,π

4) ………..5分

(II) 由(I)得S ABCD =f(θ)=|AB|·

θ

θ

θ=2sinθcos θ-2sin 2θ

=sin2θ-1+cos2θ

θ+

所以2θ+π) -1, θ∈(0,) …….8分 44ππ3πππππ∈(, ) 所以当2θ+∈(, ) 即θ∈(0,) 时y=f(θ) 为增函数; 4444428

ππ3πππ) 即θ∈(, ) 时y=f(θ) 为减函数; 所以当2θ+∈(, 42484

πππ所以y=f(θ) 的增区间为(0,) ，减区间为(, ) 。。。。。。。。。。10分

848π

所以f (θ) max =f () =π

81。。。。。。12分

1的图像上 x +219. 解：(I).因为(a n , a n +1) 在函数f (x ) =-

所以a n +1=-11 又b n = a n +2a n +1

1=a n +1+1a n +1--111a +21-=n -=1…..4分 a +1a +2a +1n n n +1a n +2所以b n +1-b n =

1 所以{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列； 2

所以bn=n+1,(n∈N*)…………….6分 又a 1=f(0)= -

(II) 由(I)得b n =n +1=1

a n +1∴an =-n n +1

又an>Kn对n ∈N*恒成立，得k

而-1) min 。。。。。。。。8分 n +11在n ∈N*为递增数列。。。10分 n +1

11) min =- 所以(-n +12

1所以k

1320. 解：(I).因为当x ≥0时，f (x ) =x -4x +4 3

所以f '(x ) =x -4=(x -2)(x +2)

所以当x ∈(0,2)时f ’(x)

所以当x ≥0时，y=f(x)的减区间为[0,2],增区间为[2,+ ∞)

又y=f(x)为偶函数

所以当x ≤0时y=f(x) 的减区间为（- ∞，-2],增区间为[-2,0]

又f(-2)=f(2)= -24,f(0)=4 3

综上可得; y=f(x)的减区间为（- ∞，-2], [0,2],增区间为[2,+ ∞), [-2,0]极大值为：f(0)=4,极小值

为：f(-2)=f(2)= -4…….6分 3

(II) 由(I)得y=f(x) 在[0,2]上为减函数，在上[2,3]为增函数

444,f(3)=1, y =kx -横过顶点(0, -) 333

4744以及y =kx -过点(3,1)时，k =，y =kx -过点(2，-) 时，k=0， 9333

74所以k ∈[0,]时，集合{x |f (x ) =kx -有两个元素……9分 93又f(2)= -又y=f(x)为定义在R 上的偶函数 同理可得k ∈[-,0]时，集合{x |f (x ) =kx -有两个元素 综上可得，k ∈[-, ]。。。。13分

21．解：(I)若a=1, f (x ) =ln(x +1) +

所以f '(x ) =79437799-x . x +111x -= x +1(x +1) 2(x +1) 2

所以当x ∈(-1,0)时,f ’(x)0;

所以y=f(x)在上(-1,0)为减函数，在(0,+ ∞) 上为增函数

所以f(x)min =f(0)=0……3分

(II) 因为f (x ) =ln(x +a ) +1-a -x .(a>0) 2ax +a

所以f '(x ) =1-1+=2x +a a (x +a ) (x +a ) x +a -1 2

11) 时,f ’(x)0; a a

11所以y=f(x)在上(-a , -a +) 为减函数，在(-a +, +∞) 上为增函数 a a

111所以f (x ) min =f (-a +) =ln +1-……..5分 a a a 所以当x ∈(-a , -a +

又y=f(x)有两个零点 所以f (x ) min ln 11+1-

11+1-(a >0) a a 111-a 则h '(a ) =2-=2a a a 令h (x ) =ln

所以当a ∈(0,1)时,h ’(a)>0; 当a ∈(1,+∞) 时,h ’(a)

所以函数h(a)在上(0,1)为增函数，在(1,+ ∞) 上为减函数 又h(1)=0

所以当a ∈(0,1)时,h (a)

(III)当a=1时由（1）得方程f(x)-k=0必存在两个异号实根x 1,x 2, 且x 1

当x ∈(-1,0)时设g(x)=[f(x)-k]-[f(-x)-k]= f (x ) =ln(x +1) +所以g (x ) =-x x -ln(-x +1) - x +1-x +1x x -4x -=≤0 (x +1) 2(x -1) 2(x +1) 2(x -1) 2所以当x ∈(-1,0)时，y=g(x)为减函数

又g(0)=0

所以当x ∈(-1,0)时，g(x)>0

又-10

所以[f(x1)-k]-[f(-x1)-k]>0

所以[f(x1)-k]

又-x 1∈(0,1), x2∈(0, +∞) ,y=f(x)在(0, +∞) 上为增函数 所以-x1

所以x1+x2>0