研究性课题正方体截面的形状

正方体截面的形状

一、课题设计意图：

1. 按课标要求，在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展要有一个渐近的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识的过程，所以在本模块设计该课题，是为了今后做更为完整的数学探究、数学建模活动所做的准备。

2．“正方体截面的形状”,是北师大版新教材配合立体几何学习而设定的一个”课题学习”的内容.它以立体几何的核心模型之一----正方体为载体, 通过试验、探究，寻求截面的可能的形状。它通过“问题串”的形式，推进学生的思考和试验。对实验中每一个结果，让学生自己确认其过程，又是一个理性思考、用心求证的过程。这些环节可以帮助学生理解、应用本章所学知识，体验分类讨论、合情推理、大胆猜想、小心求证等数学思想方法。同时做这个课题所采用的探究方法---结合实际问题设计实验、动手操作、合作交流、合作探究、撰写实验报告等，都是重要的学习和研究的方式，可以帮助学生积累数学研究的经验。加上“*”的问题给优秀学生留出了创新的空间。

3. 本课题涉及内容：点、线、面的位置关系及直观图画法。涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理。通过正方体不同截面的生成和变化，可以认识空间图形及其关系，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力和几何直观的洞察力。做课题的过程是对立体几何知识的一次综合应用的过程。

4．该课题学习很好地体现了立体几何初步一章的基本要求，有助于认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力。

5．在章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个学、用知识解决问题的舞台，能增强学生的应用意识和问题意识，加深对所学知识的理解。另一方面，课题学习的形式有助于发展学生自主学习、合作学习的能力，改进学习方式，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜想和理性推力的关系，积累数学研究的经验，鼓励学生发挥自己的想像力和创造力。

二、课题设计方案：

【教学目标】

1、知识与技能目标：经历切截正方体的活动过程，探索发现正方体的截面形状，体会几何体在切截过程中面与体的变化。

2、过程与方法目标：通过对几何的切截活动，经历、观察、操作、想像、交流等过程，发展学生的空间观念，积累数学活动经验。

3、情感与态度目标：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作，与人交流的良好品质，激发学生对知识需求的欲望和探索创新的精神，培养用数学的意识，激发学生对数学的热爱。

【教学重点】 探索截面形状的过程

【教学难点】

从切截活动中发现对同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与如何截。

【学习方法】

从认知特点来看，学生爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强，是形象思维向抽象思维逐步过渡的阶段，他们希望得到的充分的展示和表现，因此，在学习充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自已观察、大胆动手操作、进行小组间的讨论和交流、利用课件自主探索等方式，让学生主动地学习。

【实施过程】

（一）问题情境与任务

用一个平面去截正方体(图1-21)，截面的形状是什么样的?

1．给出分类的原则(例如：按截面图形的边数分类)．按照你的分类原则，能得到多少类不同的截面?设计一种方案，找到截得这些形状截面的方法，并在正方体中画出示意图．

2．如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形?

3．如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形?

*4．证明上面的结果．

*5．截面多边形的边数最多有几条?请说明理由．

*6．截面可能是正多边形吗?可能有几种?画出示意图．

*7．如果截面是三角形，其面积最大是多少?画出示意图．

*8．你还能提出哪些相关的数学问题?

（二）准备阶段

在正式上课前一周给学生安排布置任务。根据课本必修（2）56页课题学习内容：用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？要求学生通过自己具体实验操作，组内讨论探究等形式，逐一解决课本上提出的问题，最后形成结论，完成课题学习报告。

首先由课代表将全班学生６-８人分成若干组，指定组长，提出课下讨论、研究的要求和建议。发给各小组课题学习报告表格。让学生课后进行实验和研究，最后形成小组的研究成果的报告。 老师在这个阶段要不断的通过课代表了解各组实验及研究进程，及时予以指导。对一些错误的做法要及时给予纠正。

正式上课前一天，教师要对各组的讨论情况有大致的了解，做到心中有数。并根据各组的讨论情况提前大概确定要由那些组进行展示，要留有余地。并要求每组确定一名表达力强的成员代表本组进行展示。

（三）课堂交流

在课堂上让部分小组报告他们所得到的结果，并阐述理由，必须有理有据，要辅以必要的实物模型或者作图，或者可用计算机演示，并回答教师或其他学生提出的问题，共同研究讨论、赏析质疑，再共同给出评价意见。

上课时共交流了６组，有６名同学代表所在组进行了交流展示，并回答了老师同学的提问。（过程略）。

至此，同学们对正方体截面形状问题已经基本清楚，最后，由老师进行总结如下： 本课题研究的部分参考结论

（1）截面多边形的种类：三角形，四边形，五边形，六边形。

（2） 截面三角形只能是锐角三角形（可以是等腰，等边）.如图1-21，

（3）因为正方体的六个面中，有三对平行面，截面多边形的边是平面与正方体的面的交线，所以截面多边形最多是六边形，其中四边形截面至少与一组平行面相交，所以四边形中至少有一对边平行。截面多边形可以是正方形，矩形，菱形，平行四边形，等腰梯形，其它梯形。五边形截面至少与两组平行面相交，所以有两组平行边，所以必然有两内角相等。六边形截面一定与三组平行面都相交，所以必有三组平行边，所以有三组相等内角。

（4）截面多边形可以是正三角形，正四边形和正六边形。

（5）最大的三角形的截面的面积是，其中a是正方体的边长。这个三角形的三个顶点都是正方体的顶点。

（6）截面一定不会是以下几种多边形．

•不可能是直角三角形和钝角三角形．(证略)

•不可能是直角梯形．

证明：如图1-23，若∠HEF=90°，又由正方体性质可得AB⊥HE，所以HE⊥面ABD，所以HE∥AA′，所以AA′∥面EFGH，所以AA′∥GF，所以HE∥GF，与是梯形矛盾．

•不可能是正五边形．

证明：因为正方体有三对平行面，五条边是截面与正方体六个面中的五个面的交线，其中至少有两组平行面，由“一平面与平行平面的两交线互相平行”知，至少有两组平行边，所以显然不可能是正五边形．

【课后反思】

1．这节课是学生在高中新课程的第一节探究课，学生能做到这样我认为很不错，及时予以鼓励。这样为以后展开更复杂的研究性课题提供了很好的基础。

2．课上完后，我认为基本达到了预期的目的。但总感觉意犹未尽，不是很完美。学生也认为好像也有些话没说完，没有表达的很尽善尽美，这样也好，促使他们下去好好思考思考，以后遇到这种机会，怎样才能很流很完整很清晰的表达自己的思想。

3．个别结论的证明，限于高一学生水平和能力还不能理性地去思考，只能直观的作出判断就可以了，但也有一部分学生探讨得很深。

4．第一次上这种课，课前虽考虑再三，但有些问题仍不可预测，比如，一节课，到底能有几组可以展示？没办法预测，只能根据课堂情况随机来确定；学生如果得出的错误结论过多，必须一一予以纠正，找到错之所在，会不会影响课堂进度，能否顺利解决重点问题；学生之间的差异，所以各组之间在展示时所花费的时间也不可预测；在展示过程中，学生提出的问题必须解决，问题的深度也影响着进度等等。这样都会造成这节课不好控制。这就要求老师一定要准备充分，考虑到可能出现的各种可能情况。只有这样，才能自如地控制课堂。

5．考虑到以上各种可能情况，所以在展示时，我临时决定按照预先提出的八个问题，一个小组只解决一个问题，不全面其他组可以补充，一个问题一个问题解决，并马上予以总结，这样就可以避免不必要的重复。

6．根据新课程标准，设置数学课程的基本目的，不再只是让学生获得必要的数学知识、技能，它还包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面的发展。通过学生自主探究的过程增加学生学习数学的勇气，增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发学生潜在的创造力，逐步形成创新意识。当代伟大的数学家M·阿蒂亚先生指出：几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维占主导地位„„，几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养，有人说，几何作为一种直观、形象的数学模型，它在发展学生创新精神方面的价值，却是独特的、难以替代的。

“从现实情境出发，通过一个充满探索、思考和合作的过程，学习数学，获取知识，收获的将是自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识„„实践能力等这些远比升学重要的公民素质。”探究一个正方体的截面形状作为教学内容是一个源于教材的很有意义的课程资源。

7．有待继续探讨的问题：

关于正方体的截面问题的研究，还有一些值得探讨的问题。学生动手实践时，基本上都是用橡皮泥、豆腐、萝卜、土豆等实际物品切割，但好像都有些问题。可以设计一个正方体水槽（带孔），用水面代替刀切截正方体的构想，然而，在课堂教学实践中，由于水的流动性，液面难于稳定，因此，教师给学生展示时存在不便。我在反思，如用沙代水、或制成正方体铁丝框架座等等，这些方法都是可行的。但是否有更好的处理方法呢？还望能得到专家、同行们的指教。另外，值得一提的是，正方体玻璃瓶需到玻璃店特制，在设计时需在其中一面留一小孔，以便于控制水的多少；有关部门若能联系厂家，统一制成塑料模具，将使教育一线教师减轻许多不必要的工作负担；装水时，为便于观察，宜将水染色。

8．“用教材”而不是“教教材”，教材是我国学校教育的主要课程资源，但不是唯一的课程资源。教师应根据自身实际，创造性地使用教材。

创新所带给人的精神愉悦是任何物质享受和感官享乐所无法比拟的，那是灿烂的生命之花最深沉、最辉煌、最恣意的绽放，从某种意义上说，创新是自我实现的最高表现形式，教育作为人

道主义的事业，理所当然应该关注个人生命质量的提升。

在课堂教学中，教师应该与学生建立一种新型的民主平等的师生关系，从独奏者的角色过渡到伴奏者的角色，从此不再主要是传授知识，而是帮助学生去发现、组织和管理知识，引导他们而非塑造他们。

【附：部分学生小组研究报告】

课题研究报告

高一年级 2 班 完成时间2007、11、20

课题研究报告

三、课题实施建议与说明：

1. 突出实验、操作的环节

这个素材包含了一个典型的数学实验，因此一定要突出实验、操作的环节，鼓励学生用自己找

到的材料或软件做实验。最后形成实验报告。下面是一个课题学习报告的参考格式：

若上表填写时地域不够，可以自己增加副页， 也可以自己设计一个研究报告的报表。

2.我采用教学形式一 ---- 分组课下探究，课上报告结果，现场交流

此教学形式相对节省课时，但要求学生具备一定的自主探索的经验和能力。

首先将学生2-3人分成一组，提出课下讨论、研究的要求和建议。发给学生上面的表格，以三角形为例，做一个简单示范，使学生能明确探究任务和操作的大致过程。让学生课后进行实验和研究，最后形成小组的研究成果的报告。然后，根据学生的报告完成情况，在课上让部分小组报告他们所得到的结果，阐述理由，并回答教师或其他学生提出的问题，共同研究讨论、赏析质疑，再共同给出评价意见。

3.也可以采用教学形式二 ----教师引导，课下做模型，课上现场观察、探究、猜想、形成结果，再交流确认。

此教学形式需占用一定的课内时间，适合于没有自主探究经验的学生，有利于他们了解课题学习的过程，在老师带领下有步骤地推进问题的解决。

首先，让学生课前准备几个便于切割的正方体模型，带入课堂。课上可以让学生前后桌四人一组，在教师带领下逐一进行问题的观察、猜想、讨论，分组形成结果，阐述理由，并接受教师和学生的质疑。对课上未能很好解决的问题，或是由此而引发的新的问题，可以布置给学生课下进一步去探索、研究，并完成研究报告。根据情况，可以适当安排时间让部分学生报告他们的结果。教师注意发掘学生在探究过程中的“闪光点”，并给予积极的评价。

教师要特别注意引导学生进行主动探究、学习，而不是取而代之，变成自己给学生讲题。

对课上未能很好解决的问题，或是由此而引发的新的问题，可以布置给学生课下去探索、研究，并完成研究报告．根据情况，可以适当安排时间让学生报告。

4．对于优秀学生，可以在解决了这个课题后，加大探究范围，培养问题意识。

对于优秀学生，可以在布置的课下任务中，适当拓宽该课题学习的内容。如：

（1）怎样根据条件画正方体的截面图？

（2）研究满足某些特定条件的截面形状及性质：与棱平行的截面；与体对角线垂直的截面；等分正方体的截面等。

（3）一个装有定量液体（不满）的封闭中空的正方体随着位置的某种规则（如：以一棱为轴旋转）变化，液体与正方体各接触面的面积有怎样的性质，各接触面之间有怎样的关系？处于何位置时接触面最小？何位置时液面面积最小？

（4）研究其它几何体截面形状。（最直接的是正三棱锥）。

（5）从反面提问题：截面不可能是什么形状？（最直接的结果有：不可能是直角三角形和钝角三角形。不可能是直角梯形。不可能是正五边形。问学生能证明吗？）

„„

5.帮助、指导学生完成好课题学习报告

这个环节是为学生将来学习做数学建模打基础，和理化生中的实验报告类似。但常常有以下几个方面容易被忽视：

（1）课题学习中发现的新问题，可拓展的或与其相关的问题；

（2）课题研究的自我评价，包括探究方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等；

（3）课题学习的反思和体会，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你学习借鉴的，某种特别的感受等。

（4）课题研究中的参考文献、合作经历、每个成员的贡献等。

教师在引导学生交流时，要注意讲评这些环节学生的进步和问题。

6.通过实验过程学习数学

无论是课下指导，还是课上教学实施过程中，教师都要注意引导学生从直观、感性的猜测出发，逐渐推进到严密、理性的思考和推理论证上来，帮助学生认识到两者在数学研究中的关系；注意引导学生积极地发现、吸纳他人的长处和优点，使学生学会欣赏别人，并从中吸取友谊经验；注意帮助学生清楚、一致地表述自己的观点；注意帮助学生对自己的思维活动进行反思、调节自己的思维活动．要把实验过程与学生的空间想象能力的培养结合起来，可以试行“想象引路、猜想在先、实验在后、证明压阵”的探究策略。

如：

教师问：截面有四边形吗？

学生实验验证，并回答“有”----，教师要求学生给出具体实例。

教师追问：截面有正四边形吗？

学生再实验验证，并回答“有”----，教师要求学生给出具体实例并说明理由。

教师再问：截面有六边形吗？

学生实验验证，并回答“有”----，教师要求学生给出具体实例。

教师再问：截面有正六边形吗？

学生实验验证，并回答“有”----，教师要求学生给出具体实例并说明理由。

教师再问：截面有五边形吗？先不要找模型，直观想一想？能猜一个结果吗？（鼓励学生合情推理）

学生多数回答“有”----，教师要求学生给出具体实例并说明理由。学生容易把六边形截面的两个在正方体侧棱上顶点“合二为一”到正方体的顶点，从而生成五边形截面。

教师再问：截面有正五边形吗？先不要找模型，直观想一想？能猜一个结果吗？（鼓励学生合情推理）

学生仍有多数回答“有”----，教师要求学生给出具体实例并说明理由。学生容易借助生成五边形截面，改变两个在正方体侧棱上的顶点的位置，认为可以找到一个“时刻”，让五个边长相等。这个结果出来后，一些学生发现，这个结果破坏了“截面上的五点应该共面”的要求。教师追问：“为什么不共面了？”----（生成了一道很好的立体几何习题，可以让学生课上或课下进一步给出理由或证明）。

教师可以让学生表态，公布认为“有正五边形截面”的、和认为“没有正五边形截面”的各占多少？，为双方明确任务：认为“有”，就要真作出一个来；认为没有的就要证明“做不出来”，鼓励大家进一步探究。提示“有”派要抓“正五边形”的判定，而“无”派就要通过“正五边形”的性质找破绽。（加深对判定、性质；充分，必要的体会）

最后鼓励学生给出“无”的证明：

证明：因为正方体有三对平行面，五条边是截面与正方体六个面中的五个面的交线，其中至少有两组平行面，由面面平行的性质定理：“一平面与两个平行平面相交，两交线互相平行”知，这个截面至少有一对平行边，而正五边形不可能有任何两条边是平行的，所以正方体的五边形截面不可能是正五边形。

教师要注意引导学生积极地发现、吸纳他人的长处和优点，使学生学会欣赏别人，并从讨论中积累经验；注意帮助学生清楚、一致地表述自己的观点；注意帮助学生对自己的思维活动进行反思、调节自己的思维活动。

7．本课题研究的部分参考结论

（1）截面多边形的种类：三角形，四边形，五边形，六边形。

（2） 截面三角形只能是锐角三角形（可以是等腰，等边）.如图1-21，

（3）因为正方体的六个面中，有三对平行面，截面多边形的边是平面与正方体的面的交线，所以截面多边形最多是六边形，其中四边形截面至少与一组平行面相交，所以四边形中至少有一对边平行。截面多边形可以是正方形，矩形，菱形，平行四边形，等腰梯形，其它梯形。五边形截面至少与两组平行面相交，所以有两组平行边，所以必然有两内角相等。六边形截面一定与三组平行面都相交，所以必有三组平行边，所以有三组相等内角。

（4）截面多边形可以是正三角形，正四边形和正六边形。

（5）最大的三角形的截面的面积是，其中a是正方体的边长。这个三角形的三个顶点都是正方体的顶点。

（6）截面一定不会是以下几种多边形．

•不可能是直角三角形和钝角三角形．(证略)

•不可能是直角梯形．

证明：如图1-23，若∠HEF=90°，又由正方体性质可得AB⊥HE，所以HE⊥面ABD，所以HE

∥AA′，所以AA′∥面EFGH，所以AA′∥GF，所以HE∥GF，与是梯形矛盾．

•不可能是正五边形．

证明：因为正方体有三对平行面，五条边是截面与正方体六个面中的五个面的交线，其中至少有两组平行面，由“一平面与平行平面的两交线互相平行”知，至少有两组平行边，所以显然不可能是正五边形．

四、拓展资源：

1. 相似的拓展问题：

①正四面体的截面形状有三角形（锐角或直角），四边形；

②四边形截面只可以是正方形，矩形，等腰梯形，无平行边的四边形。

③当截面与一对棱平行时，四边形截面面积的最大值问题

设正四面体棱长为a，截面一边长为m，则由比例关系可得另一边为a－m，所以截面面积＝m(a－m)＝，此时截面为正方形。

④与不在同一平面内的四个顶点距离相等的截面有7个。

分类：三个顶点在截面的同一侧，另一顶点在平面另一侧时有4个平面；

•截面两侧各两个顶点时有3个平面．

2．正方体水槽中的问题．

侧面：

(1) 侧面多边形的种类：三角形、四边形、五边形．

(2) 侧面多边形性质：三角形只能是直角三角形；四边形是直角梯形或矩形；五边形必有且仅有相邻三内角为直角．

(3) 正方体位置与侧面形状的关系．

① 正方体一面着地时：侧面多边形为矩形．

② 仅一条棱着地时：

Ⅰ．含该棱或与该棱平行的一组侧面为矩形，另一组侧面为全等直角三角形或直角梯形或五边形；

Ⅱ．若水的体积不变，形状为直角三角形或直角梯形或五边形的侧面面积不随倾斜度的变化而变化(即使形状由梯形变到五边形也不变)；

Ⅲ．若水的体积不变，且一组侧面为直角梯形时，另一组侧面面积之和为定值，定值等于直角梯形面积的两倍，或者说此时各侧面面积之和不变；

Ⅳ．若水的体积不变且一组侧面为直角三角形时，另一组侧面面积的积为定值．

③ 仅有一顶点着地时：

Ⅰ．若过着地顶点的体对角线与地面垂直时，水侧面多边形仅有两种：等腰直角三角形和五边形；

Ⅱ．若仅有三个侧面时，则三侧面都是直角三角形，且三个三角形的面积之积为定值 (水体积不变条件下)．

水面与侧面关系：

正方体中水面面积的平方等于水侧面的三组相对面面积差的平方和(包括退化情形)．

3. 参考文献：

《课题学习的教学设计和实践案例》北京师范大学出版社2006年7月。P51-P55.

【点评】

新课程下的课题学习课，到底怎么上？如何让学生动起来，本节课给出了我们启示。“用教材教“而不是”教教材“是新课程中的一个重要理念，正因为如此，探究不应该拘泥于教材，关键是将探究的思想和方法渗透于整个教学之中。我认为本节课有以下几点值得我们思考：

1、设计合理

公开课教案清楚地反映了授课人的整体设计意图：

探究内容——目的——准备——引入——提纲——反馈——归纳——评价，形成一个较为完整的认知结构。

2、准备充分

（1） 模具多样：有萝卜制成的正方体模型，有能够密封的正方体容器，有木制或铁制的正方体框架模型等；

（2） 分组明确：以5—8人为一个小组，选择同类模型进行实验观察；

（3） 分工明确：共同操作、观察、讨论，专人记录，小组长中心发言。

3、条理清晰

（1） 从“截面”概念简捷引入，明确探究任务；

（2） 依据“提纲”展开实验观察和反馈，达到对“截面”的感性认识；

（3） 针对特殊“截面”，完成量化考查，提高运算能力；

（4） 挖掘图形内在特征，培养学生的归纳推理能力，

4、辅助恰当

（1） 教师融入学生的实验和讨论，指出存在的问题，引导学生如何正确观察；

（2） 借助信息化技术，探究归纳显得别开生面，引人入胜。

5、反馈良好

（1） 小组长中心发言准确度较高，反映学生观察仔细。

（2） 个别提问学生踊跃发言，积极性高，且计算的准确度较高。

6、 不足之外

（1） 提纲设置有待完善；

（2） 对具有联系性和思想性的内容揭示不够；

（3） 探究方法略显单调。

综上所述，这堂公开课有许多值得借鉴之处，也引发了我们对中学数学探究问题的许多思考。