三角形面积的分析及教学基本思路

作者：姜绍勇

中小学数学：小学版 1997年06期

　　一

　　长方形，正方形，平行四边形，三角形和梯形，都是由三条或三条以上的线段，首尾顺序相接而组成的封闭图形。它们相互之间不仅在特征上有着密切的联系而且在推导面积计算公式的过程中也有着密切的联系。三角形面积计算公式的教学是在学生掌握了长方形，正方形，平行四边形的特征和面积计算的基础上进行的。学生掌握了三角形面积的计算方法和获取这些知识的能力又为进一步学习梯形面积、圆的面积打下了良好的基础。

　　一节课的教学目标，要从知识、能力、思想品德教育三方面进行考虑，以体现学科教学中的素质教育思想。本节课的教学目标是：

　　（1）使学生理解、掌握三角形面积的计算公式， 并能运用它正确计算三角形的面积；

　　（2）通过指导实际操作， 培养学生的抽象概括能力和思维的创造性；

　　（3）使学生明白事物之间是相互联系、可以转化和变换的。

　　完成这一教学目标，要根据学生的认识规律，在指导学生进行实践活动的过程中，把动手操作与动脑思考、动口表述结合起来。也就是说，首先把学习知识应有的思维活动“外化”为动手操作，然后通过这个“外化”的活动再“内化”为思维活动。因此在教学过程中，把操作、思维、表述紧密结合起来，才能完成这一教学目标。

　　本节课的教学重点是理解、掌握三角形面积的计算公式。

　　教学难点是理解面积公式的算理。

　　华罗庚说过，“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来。”要培养学生的空间观念和创造能力，就必须重视推导公式的过程教学，从学生的认知特点出发组织学生去大胆地操作实践，探求规律，推导出公式。

　　二

　　学生掌握新知识的过程是在老师的引导下，充分利用已有知识和学习经验，积极主动地参与探求的过程。把教材的间接经验通过自身的活动去重新发现、完善和建立新的认知结构。

　　1.抓住新知识的基础，做好学习新知识的准备

　　学习新知识的基础是选取复习内容的依据，新旧知识的连接点是复习的重点。三角形面积这个新知识的基础是长方形、正方形、平行四边形的面积公式及三角形底和高的认识。新旧知识的连接点是图形的转化和变换。在教学新知识之前除了要复习好以上的内容外，还要指导学生回忆平行四边形面积公式的推导过程，唤起“转化图形、建立联系、推导公式”的学习方法的认识。为新知识的学习做好知识的、能力的以至情感方面的准备。

　　2.新知识的教学可以分为4个层次进行

　　第一层，操作学具。启发学生用学具袋中的两个三角形拼成一个学过的图形。学生动手、动脑相互交流，得出“两个完全一样的（全等）三角形，可以拼成一个长方形、正方形或平行四边形。

　　第二层，观察与思考。提出问题引导学生观察拼成的正方形、长方形或平行四边形与三角形的关系。三角形的底和高与正方形的边长、长方形的长与宽，以及平行四边形底和高的关系？

　　第三层，推导公式。利用图形之间各部分的对应关系，思考它们面积之间的关系，最终推导出：因为，平行四边形面积＝底×高（平行四边形的面积是两个与它等底等高的三角形面积的2倍），所以， 三角形的面积＝底×高÷2

　　第四层，深化认识。

　　为了使学生加深对三角形面积计算公式的理解，进一步启发学生，用一个三角形通过割补的办法推导出三角形的面积计算公式。学生再次动手，动脑，相互交流，得出（如下图）如下计算公式：

　　

　　三角形面积＝底×（高÷2）

　　三角形面积＝（底÷2）×高

　　经过学生两次动手、动脑、交流，运用转化和变换多向探索，把求三角形面积这一探索过程充分展示出来。不仅深化了对公式的理解而且渗透了转化和变换的数学思想，培养了学生操作能力和分析概括的能力，发展了学生的空间观念。

　　3.新知识教学后要及时组织练习。

　　练习可从4个方面进行。口答题（理解算理的练习），（1）已知图形的底和高，可以求出这个图形的面积。那么，这个图形可能是什么形？这些图形之间有什么共同点？面积有什么关系？（2 ）三角形面积等于平行四边形面积的一半。对不对？为什么？看图口算（运用公式计算的练习）。下图中哪个三角形的面积可以用6×5÷2求出， 为什么（选择条件的练习）？

　　

　　已知三角形的面积是15平方厘米，高是5厘米。求它的底？如下图， 在一个正方形和一个长方形中，有一个三角形（阴影部分），求三角形的面积（灵活运用知识的练习）。

　　

　　新课后的练习一定要练在重点上和关键处，以加深学生对新知识的认识和提高运用知识的能力。

　　三

　　本节教学设计的基本思路是：

　　（1）发挥教师的主导作用，同时要为学生创造主动的发展空间，引导学生创造性地参与教学的全过程。通过操作，观察， 推导和深化4个教学层次，使学生不仅在理解的基础上掌握新知识，而且进一步体会运用旧知识去研究新问题的学习方法，从“学会”逐步到“会学”，寻找到解决问题的正确方法。

　　（2）在教学过程中，有目的的不失时机地培养学生操作能力， 观察能力，分析推理的能力。使课堂教学的过程成为既传授知识又培养能力的过程。

　　附 三角形面积教案

　　一、教学内容：三角形的面积

　　二、教学目标：

　　1.使学生理解、掌握三角形面积计算公式，并能运用它正确计算三角形的面积；

　　2.通过指导实际操作，培养学生抽象、概括能力和思维的创造性，发展空间观念；

　　3.使学生明白事物之间是相互联系，可以转化和变换的。

　　三、教学过程：

　　（一）复习引入

　　1.出示平行四边形，复习它的计算公式。

　　2.投影锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，看图辨识三角形各条边上的高？

　　师：我们已经掌握了长方形、正方形、平行四边形面积的计算方法，那么怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就来解决这个问题。

　　（二）新授

　　1.操作学具。

　　师：你能用学具袋中的两个三角形拼成一个熟知的平面图形吗？

　　学生拿出学具动手操作拼成一个学过的图形。

　　

　　出示学生拼出的图形。

　　2.观察与思考。

　　师提出问题引导学生观察：①用两个什么样的三角形才能拼成一个学过的平面图形？②平行四边形、长方形、正方形的面积与三角形的面积有什么关系？为什么？③三角形的底和高与平行四边形的底和高有什么关系？与长方形的长和宽有什么关系？与正方形的边长有什么关系？

　　学生观察、讨论、相互交流、弄清楚面积关系以及底、高之间的关系。

　　师小结板书：

　　平行四边形面积＝底×高

　　长方形面积＝长×宽

　　正方形面积＝边长×边长

　　2个三角形面积＝底×高

　　三角形面积＝底×高÷2

　　3.推导公式。

　　（1）怎么求平行四边形的面积？长方形面积？正方形面积？

　　（2）平行四边形面积，长方形面积， 正方形面积都是由几个完全一样的三角形组成的？

　　（3）怎么求一个三角形的面积？

　　师随着完成上面的板书并引导学生小结：怎么求三角形面积？为什么？

　　4.深化认识。

　　师启发回忆

　　

　　学习平行四边形面积时，我们运用割补的办法把平行四边形转化成了长方形，那么运用割补的办法能不能把一个三角形转化成一个平行四边形或长方形呢？

　　学生动手操作、研究、讨论、相互交流，教师辅导提示，得出下图。

　　

　　积＝底×高的一半 三角形面积＝底的一半×高

　　 ＝底×高÷2 ＝底×高÷2

　　（1）说一说你是怎么割补的？

　　（2）议一议平行四边形的面积、 长方形面积与三角形面积的关系，平行四边形的底和高，长方形的长和宽与三角形底和高的关系？得出什么结论？

　　（3）师整理公式（完成上面的板书）

　　（4）师总结：三角形面积等于底乘以高除以2。（板书字母公式：S＝ah÷2），可以理解为底×高乘积的一半，也可以理解为底×高的一半，还可以理解为底的一半×高。

　　四、巩固练习

　　（一）理解性练习（口答）

　　1.三角形的底乘以高得到的是什么图形的面积？再怎么求才能得到三角形面积？

　　2.三角形面积等于平行四边形面积的一半；对不对？为什么？

　　（二）运用公式的练习（口答列式）

　　

　　（三）选择条件的练习

　　

　　哪个三角形的面积等于6×5÷2？其它两个为什么不是？

　　（四）灵活运用知识的练习

　　已知：（如右图）正方形和一个长方形求阴影面积？

　　

　　五、全课总结

作者介绍：姜绍勇 北京市朝阳区第二教师进修学校