非线性方程组求解的一种新方法
小型微型计算机系统Jour nal o f Chinese Computer Systems 2008年9月第9期V o l. 29N o. 92008
非线性方程组求解的一种新方法
周 丽, 姜长生
(南京航空航天大学自动化学院, 江苏南京210016) E-mail:lk -zh ou li@163. com
摘 要:针对现有的非线性方程组求解方法不能同时收敛到所有解的问题, 提出了一种混合小生境遗传算法的求解新方法. 采用确定性拥挤小生境创造出种群的小生境进化环境, 克服遗传算法的遗传漂移现象, 维持种群的多样性, 使算法能同时收敛到多个解; 以拟牛顿算法作为遗传算法的局部搜索算子进行精确搜索, 进一步提高算法收敛速度和精度. 选择了几组典型的多解非线性方程组进行了求解验证, 结果表明所设计的混合小生境遗传算法能在解的定义域内同时收敛到所有解, 收敛速度快、精度高, 是求解非线性方程组全局解的一种有效方法.
关键词:非线性方程组; 混合遗传算法; 确定性拥挤; 拟牛顿法
中图分类号:T P 18 文献标识码:A 文章编号:1000-1220(2008) 09-1709-05
New Method for Solving Nonlinear Equation Systems
ZHO U L i, JIA N G Chang -sheng
(Colleg e of A utomation E ngineering , N anj ing Univ ersity of A er onautics and A str onautics , N anj ing 210016, China )
Abstract :Exist ing numerical met hods fo r so lv ing no nlinear equat ion system s o ften can no t conv erg e to all o f the optima l so lu-tio ns . In this paper , a hybr id niching g enetic alg or it hm (HNG A ) is pr esent ed for so lv ing g lo bal solutio ns of nonlinear equat ion systems. Genetic drift of g enet ic alg or ithm (G A ) is ov ercome by intr oducing det erminist ic cr ow ing (DC) technique in GA. DC creat es niches for subpopulation's ev olut ion . Diver sity in population is maint ained and mult i -solutio ns can be achieved at the
same tim e. In addit ion, quasi-New to n met hod par ticipates in t he pro cess of G A's evo lution as a local sear ching operat or. Con-ver gent r ate and accur acy o f t he algo rithm are impr ov ed . Sever al specific examples w it h multi -so lutions are selected to test the validity o f HN G A. Results of numer ical co mput atio ns show t hat HNG A can conver ge to all solutio ns at the same time in the definitio n area of solut ions with r eliable global conv erg ence cha racter istic , hig h co nv erg ence r ate and accuracy o f solutio ns . It is an effective m ethod for so lving no nlinear equation systems.
Key words :no nlinear equat ion systems ; hy brid g enet ic alg o rit hm ; deterministic cro wding ; quasi -newt on method
1 引 言
非线性方程组求解是一个具有重要实践意义的问题, 许多工程实践问题最后都归结为求取系统非线性方程组的解
[1-3]
混合遗传算法仍存在不足之处, 在G A 进化后期, 大量的个体往往集中于某一极值点上, 因此, 当方程组存在多解时GA 无法同时收敛到所有的最优解, 往往只能收敛一个最优解, 也就是发生了“遗传漂移”现象, 若想得到方程的所有解, 必须进行多次随机搜索, 这种方式不但费时, 而且很容易遗失解. 为了避免遗传算法在非线性方程组求解时出现遗传漂移现象, 能同时求得多解, 本文将多模态函数的优化机制小生境引入到非线性方程组求解中, 提出了一种混合小生境遗传算法(Hybr id N iching Genetic Alg or ithm HN G A ) , 确定性拥挤小生境根据个体的适应度和个体之间的距离进行选择运算, 随着选择过程的进行, 群体中的个体逐渐被分类, 创造出子种群的小生境进化环境, 以维持群体的多样性, 克服遗传漂移现象, 使算法同时收敛到多个最优解. 拟牛顿算法作为遗传算法的局部搜索算子进行精确搜索, 提高算法的收敛速度和精度. 选择了几个典型的非线性方程组对HNG A 的有效性进行验证, 计算结果表明所设计的小生境遗传算法有着可靠的全局
. 到目前为止, 非线性方程组的求解仍没有通用的解析
解法, 只能通过数值计算的方法获得. 求解非线性方程组的经典算法如牛顿法及其改进形式收敛速度快, 但这些算法对初值敏感, 如果给定的初值不在收敛域内, 则算法不收敛, 因此只能进行局部搜索. 为了克服经典算法的缺点, 文献[4-6]利用遗传算法的全局搜索能力, 结合经典算法的快速局部搜索设计了求解非线性方程组的混合遗传算法, 文献[4]先用G A 作初始点预估, 然后采用牛顿法进行二次优化, 文献[5, 6]将经典算法的优化过程作为G A 的一个局部搜索算子参与整个进化过程. 上述混合算法具有遗传算法的全局搜索能力, 放宽了方程求解的初值条件, 同时经典算法有效地提高了算法的局部搜索能力, 使得算法具有较高的收敛速度和求解精度. 但
收稿日期:2007-04-26 基金项目:国家自然科学基金项目(90405011) 资助; 航空基金项目(05c52007) 资助. 作者简介:周 丽, 女, 1976年生, 博士研究生, 研究方向为智能控制、非线性鲁棒自适应控制; 姜长生, 男, 1942年生, 教授, 博士生导师, 研究方向为非线性鲁棒控制、智能控.
1710 小 型 微 型 计 算 机 系 统
重复下列步骤N /2次:
2008年
收敛性和较高的收敛速度和精度, 可以同时收敛到方程组的全部解, 是求解非线性方程组全局解的一种有效的算法.
2 问题描述
实函数非线性方程组的一般形式为 f i (X ) =0, i =1, 2, …, n
其中, X =(x 1, x 2, …, x n ) ∈D ∈R n ,
D ={(x 1, x 2, …, x n ) a i ≤x i ≤b i , i =1, 2, , …, n }为方便遗传算法求解, 构造函数
(X ) =化问题
min (X )
(3)
st (x 1, x 2, …, x n ) ∈D
式(3) 中D 区间, 当f (X ) 最小值满足求
解误差的要求时, 所对应的X 即为方程组(1) 的解.
f 2∑i (X ) i =1
n
(1) 随机选择两个父个体P 1和P 2.
(2) 对其进行杂交和变异, 产生两个子个体C 1和C 2. (3) IF [d (P 1, C 1) +d (P 2, C 2) ]≤[d (P 1, C 2) +d (P 2, C 1) ]
(1)
if F (C 1) >F (P 1) , 则用C 1代替P 1, 否则保留P 1. if F (C 2) >F (P 2) , 则用C 2替换P 2, 否则保留P 2. ELSE
if F (C 2) >F (P 1) , 则用C 2代替P 1, 否则保留P 1.
(2)
if F (C 1) >F (P 2) , 则用C 1替换P 2, 否则保留P 2. 其中, N 是种群规模, T 为进化代数, d (i , j ) 是个体i 和个体j 之间的欧氏距离, DC 算法中每个个体需要计算两次距离, 距离计算的时间复杂度为O (N ) . 本文在计算欧式距离之前先对个体的每个基因在0到1之间进行标准化, 然后计算其欧氏距离.
这样, 在区域D 内求解非线性方程组的问题就转化为函数优
4 小生境混合遗传算法设计
4. 1 编码方式
遗传算法的编码方式通常有二进制编码和实数编码, 本文采用实数编码方式, 主要出于以下考虑:
实数编码在遗传算法中可方便地表示范围较大的数, 便于在较大的空间进行搜索, 同时也改善了遗传算法的计算复杂性, 提高运算效率
便于求解工程实际问题 适用于高维、高精度要求的函数优化问题! 便于与经典优化方法混合使用. ∀通用性好, 可以对任何方程组进行求解. 4. 2 遗传算法参数的确定
遗传算法有三个关键的进化参数:适应度函数、交叉概率、变异概率.
适应度函数值用来区分每个个体的优劣, 并决定个体是否进入下一代的进化. 适应度函数的选择直接影响着算法的性能, 对于G A 可以采用自适应适应度函数, 提高选择概率的自适应性. 由于本文遗传算法的选择操作是由DC 完成的, 如使用自适应的适应度函数, 则选择操作将变得更加复杂, 因此, 本文的适应度函数取为:
F (x ) =
1+
f (X ) ∑i =1
2i n
3 确定性拥挤模型
小生境技术(Niching T echnique) 是为了提高多模优化问题解的多样性, 提出的各种改进的遗传算法, 如标准适应值共享(Standa rd Sharing F unctio n) [7]、序列小生境(Sequent ial
[8]
N iching ) 、动态小生境共享(D ynamic Niche Sha ring ) [9]、拥挤模型(Cr ow ing ) [10]、确定性拥挤模型(Deter ministic Cr o w-ing DC) [11]等, 其目的是为了使遗传算法能够维持多个子种群, 且能稳定进化, 从而使得遗传算法同时收敛到多个最优解而不是收敛到一个最优解, 可以更好的保持解的多样性. 标准适应值共享、序列小生境清除模型、动态小生境等都要事先给出解空间中小生境的半径, 需要利用目标函数的先验知识选择参数, 不利于解决复杂的实际问题, Cro w ing 和D C 方法根据个体之间的距离和适应度函数进行种群的进化, 无需小生境半径等先验知识, 拥挤模型最早是由De Jo ng 提出的标准拥挤模型, 其基本思想是当物种繁衍到一定规模, 以至于生存空间变得非常拥挤时, 新产生的个体要想生存, 就必须与种群中的其它个体进行竞争, 实际上是在替换过程中采用拥挤思想, 通过替代相似父代的方法更新种群, 算法中设置一个排挤因子CF (一般取CF =2或3) , 由群体中随机选取的1/CF 个个体组成排挤成员, 然后依据新产生的个体与排挤成员的相似性来排挤一些与预排挤成员相类似的个体, 个体之间的相似性用个体编码之间的海明距离来度量. 随着排挤过程的进行, 群体中的个体逐渐被分类, 从而形成一个个小的生成环境, 以维持群体的多样性. 当CF 值较小时, 标准拥挤模型存在较大的选择误差; 当CF 值等于种群个数时, 不存在选择误差, 但计算量增大.
DC 由M ahfoud 提出, 通过引入相同小生境中父代与子代的竞争, 改进了D e Jo ng 提出的标准拥挤方法, 几乎消除了选择误差[11], D C 中父代与子代的竞争内容包括适应值和个
体之间的距离, 具体算法的过程如下:
(4)
经典DC 算法中, 随机选取的两个父个体无论适应度值大小, 都要进行交叉和变异的操作, 这样不利于保护优秀的个体, 而且影响算法的收敛速度. 为了提高小生境遗传算法的寻优能力, 在小生境选择操作之前, 根据父个体适应度值计算父个体的交叉概率和变异概率. 如果在DC 选择操作中随机选取的两个父个体的适应度值均较大, 则不进行交叉和变异的操作, 直接进入下一代, 否则进行交叉和变异的操作. 交叉概率和变异概率的选取对算法的性能有重要的影响, 如果交叉
9期 周 丽等:非线性方程组求解的一种新方法 1711
率和变异概率过小, 又可能使算法未成熟收敛, 陷入局部值点. 因此, 这里提出一种自适应交叉和变异概率, 其计算公式如下:
F -F , (F ma x -F avg )
P c =F max -F (5)
(F max -F av g ) >=(F max -F )
F -F max
, (F max -F )
P m =2F max -F av g (6)
0. 5, (F ma x -F ) >=(F ma x -F avg )
其中, P c 交叉概率, P m 为变异概率, F ma x 为最大适应度值, F av g 平均适应度值. 采用上述自适应交叉和变异概率, 当群体进化到群体最优解附近时, (F max -F av g ) 较小, 变异概率增大,
增加群体的多样性. 而当进化群体在解空间中较分散时, (F max -F av g ) 较大, 则交叉概率增大, 使其更快地找到最优解. 算法中的自适应交叉和变异概率不但与群体的收敛状态(F max -F avg ) 有关, 同时还与进化个体的适应度函数值有关. 由式(5~6) 知, 适应度函数值最大的个体交叉概率P c =0, 变异概率P m =0. 总之, 无论处于何种进化过程, 对于适应度函数值大的个体, 交叉和变异概率总是较小, 这样就保护了优秀个体, 有助于算法逐渐靠近最优状态; 而对于适应度函数值小的个体来说, 交叉和变异概率大些, 这样就可以不断更新这些低适应度函数值的个体, 有助于恢复丢失的有效基因. 4. 3 遗传算子4. 3. 1 交叉算子
交叉算子用来提供不同个体的基因交换, 均匀交叉算子是实数编码遗传算法中较常用的交叉算子, 该算子描述如下:
对随机选出的两个父个体X i (t ) , X j (t ) , 根据设定的交叉概率P c , 对其按下式进行交叉运算产生两个新个体
X = X i (t ) +(1- ) X j (t ) (7)
*
X j = ) X i (t ) (8) X j (t ) +(1- 其中 为交叉算子的参数
F (X i (t ) )
=(9)
F (X i (t ) ) +F (X j (t ) )
由式(9) 可以看出, 如果F (X i (t ) ) ≥F (X j (t ) ) , 则 较大, 从交叉后产生的新个体X i *(t ) 来看, X i *(t ) 就越接近X i (t ) , 从而起到在适应值大的个体附近进行搜索的目的.
4. 3. 2 变异算子
遗传算法强调的是交叉算子的功能, 解的进化主要靠选择机制和交叉策略来完成, 变异操作的作用是使群体摆脱进化陷入搜索空间的某个局部区域. 本文采用的变异算子是对要变异的个体中的每一个基因执行如下操作
X (j ) =+(r -0. 5) (M ax X -M inX )
2
j =1, 2, …, n
(10)
*i
法的收敛速度. 本文对D C 操作产生的一代种群, 以一定的概率P n 选择其中的个体采用拟牛顿法进行局部寻优, 如果寻优后的个体适应度值高于寻优前的适应度值, 以优化的结果替换寻优前的个体, 否则说明此个体不收敛, 不进行替换操作. 4. 4 算法描述
由于DC 仅采用顺序或随机的选择方法, 使优秀个体的优势在下一代中不能得到完全体现, 本文在子个体与父个体竞争时采取最优保留策略, 父代中的最优个体不参与子代的竞争, 直接进入下一代种群.
Begin
确定设计变量上下限, 随机产生父代群体, 设定算法基本参数. While
评价群体:计算各个个体的基本属性(计算适应度函数、交叉概率P c 、变异概率P m 、拟牛顿法概率P n 、确定最好个体等) ;
依据P c 和P m 进行确定性拥挤操作, 选择出下一代群体; 依据P n 对群体进行拟牛顿法进行局部搜索; until 迭代终止条件End
表1 HN GA 计算结果
T able . 1 Calculating results o f HNG A
方程组12333
种群数量[1**********]000
进化代数5050505050
运行次数2020202020
解的个数/解的精度2/1e-52/1e -510/1e -510/1e -510/1e -5
成功率100%100%20%65%100%
对于非线性方程组的求解, 迭代中终止条件有两个:一个是进化到最大代数, 另外一个是求解的误差 , 本文使用的是小生境算法, 在进化的后期在每个最优解的附近都形成了一个小生境, 如果将误差作为终止条件, 则会遗失解, 因此, 本文的终止条件为设定的进化的最大代数. 待算法迭代结束后, 计算每个个体的求解误差 (式(2) ) , 如果 ≤1e -6, 则认为满足求解要求, 此个体是方程组的解.
5 算例及分析
为了验证本文算法的有效性, 选择了大量的非线性方程组进行了算例测试, 测试时拟牛顿法最大迭代步长取为50步, 局部搜索概率P n =0. 1. 限于篇幅, 选择了如下3个非线性方程组为例进行了说明.
方程组1[12]
f 1(x ) =0. 05x 20. 05x 20. 125x 1+0. 1x 2-3. 81-2-f 2(x ) =0. 1x 1x 2-0. 1x 1-0. 125x 2+0. 125(-100≤x i ≤100)
[5]
x 22x 4x 6
1++0. 75
4
2+0. 405e (1+x 1x 2) -1. 405
(3) -+1. 5
2x 23-4-0. 605e 1-0. 395
x x
5+1. 5
6x (11)
其中, M ax X , M inX 分别为搜索区间的最大和最小值, r 为
机产生的0~1之间的随机数.
4. 3. 3 拟牛顿算子
GA 的局部搜索能力差, 当收敛到最优解附近时, 无法确地确定最优解的位置, 这一缺点使得GA 并不适合求解线性方程组这类精确求解问题, 用经典优化算法进行遗传, (12)
1712 (-5≤x i ≤5) [5]
方程组3
f 1(x ) =(3-5x 1) x 1+1-2x 2
f i (x ) =(3-5x i ) x i +1-x i -1-2x i +1 (i =2, …, 9)
f 10(x ) =(3-2x 10) x 10+1-x 9
(-5≤x i ≤5)
小 型 微 型 计 算 机 系 统 2008年
以上3个方程组均为多解方程组, 表1给出了其求解情况, 其中解的个数指的是程序运行一次得到的解.
文献[12]用并行遗传算法对方程组1进行求解
, 做了20
(13)
次实验, 每次都得到的解为(10, 1) . 本文用H N GA 算法做了20次随机实验, 每次都能搜索到的解为(10, 1) , (-7. 5, 1) . 实际上, 此方程组是一个二元方程组, 其解可以用图解法求出, 图1给出了图解法的结果, 从图中可以看出, 当-100≤x i ≤100时, 此时有两个解, 进一步验证了HNG A 的有效性.
图1 方程组1的图解法 图2 HG A 优化结果 图3 HN GA 优化结果
F ig. 1 Gr aphical metho d o f sy stem 1 Fig. 2 Optimal r esults o f HG A Fig. 3 O pt imal result s o f HN GA 文献[5]设计了混合遗传算法(HGA ) 对方程组2进行求有趋向全局最优值的趋势, 这说明了群体有很好的多样性, 体解, 得到了两个解, x (1) =(-1, 1, -1, 1, -1, 1) , x (2) =(-1. 043201, -0. 550936, 0. 431936, 1. 759659, -2. 104875, 2. 195808) , 本文也对HG A 做了20次实验, 发现得到x 1的概率为95%, 因此, 用此法求解非线性方程组时, 很容易遗失解.
5情况下, 能够同时求得这两个解. HNG A 在解的精度为1e -图2和图3为两种优化的结果进行了对比.
从图2可看出, 混合遗传算法每一代的平均适应度值接近于每一代的最优值, 说明这时群体已发生了遗传漂移现象, 群体收敛于某一个局部最优值, 而从图3可看出HN GA 算法
现了小生境遗传算法的特点. 另外, 在算法测试时发现, 当解的精度取为1e-6时, 方程组2得到了4个解, 分别为(-1.
0000001. 000000-0. 9999991. 000000-0. 9999991. 000000) , (-0. 9999981. 000000-1. 0000020. 999997-1. 0000010.
999999) , (-1. 0000011. 000001-0. 9999991. 000001-0. 9999991. 000001) , (-1. 043201, -0. 550936, 0. 431936, 1.
759659, -2. 104875, 2. 195808). 可看出HN GA 对于搜索方程组的多解具有高效可靠的特点, 可减少繁琐重复的数值实验, 如果参数设计得当, 运行一次即可得到方程的全部解.
中, 每一代的平均适应度值一直比较小, 即使在进化后期也没方程组3是一个稀疏非线性方程组, 牛顿迭代算法求解
表2 方程组3的解
T able. 2 Calculating result s o f system 3
x 1
x (1) x x x
(2) (3) (4)
x 2-0. 38206-0. 438-0. 44559-0. 44578-0. 44266-0. 43097-0. 38948-0. 247950. 16910. 80614
x 30. 91539-0. 22175-0. 41326-0. 43598-0. 42252-0. 36209-0. 159660. 377820. 78969-0. 0634
x 4-0. 38197-0. 43772-0. 44458-0. 44214-0. 42965-0. 3849-0. 232880. 207540. 82007-0. 05495
x 50. 91545-0. 22195-0. 4138-0. 43782-0. 42903-0. 3848-0. 232860. 207560. 82006-. 054947
x 60. 91562-0. 22247-0. 41524-0. 44269-0. 44636-0. 44627-0. 44413-0. 43619-0. 40786-0. 30957
x 7-0. 38208-0. 4381-0. 44593-0. 44697-0. 44695-0. 44636-0. 44414-0. 43619-0. 40786-0. 30957
x 80. 91555-0. 22226-0. 41465-0. 4407-0. 43925-0. 42089-0. 35459-0. 135770. 427560. 7522
x 9-0. 38193-0. 43757-0. 44407-0. 44032-0. 42315-0. 36219-0. 159670. 377850. 78969-0. 06341
x 10-0. 38204-0. 43794-0. 44538-0. 445-0. 43986-0. 42098-0. 3546-0. 135770. 427560. 7522
0. 91558-0. 22234-0. 41489-0. 44149-0. 44206-0. 43089-0. 38946-0. 247950. 16910. 80614
x (5) x (6) x x
(7)
x (8)
(9)
x (10)
效果很差, 文献[5]用H GA 进行了数值实验, 指出该方程组有不少于10组解. 用H N GA 对其进行求解, 在解的精度为1e -5的情况下得到解的个数为10个, 表2(见下页) 列出了全部10个解. 当解的精度取为1e -6时, 得到了23个解, 限于篇幅, 在这里就不再一一列出. 从表1中可以看出求解方程组1和2的要得到好的结果, 需要的种群数量也较多, 因此, 如何使用较少的种群得到较好的搜索效果将成为下一步需要解决的问题.
6 结 论
,
9期 周 丽等:非线性方程组求解的一种新方法 1713
定性拥挤小生境技术和拟牛顿优化算法的自适应混合小生境遗传算法. 在遗传算法中加入了小生境和拟牛顿局部搜索方法, 小生境克服了简单遗传算法的基因漂移, 保护解空间的多样性, 拟牛顿算法加强局部搜索能力, 提高收敛速度和精度. 数值计算表明, 这种方法能够很好地保持解的多样性, 具有很高的全局寻优能力和收敛速度, 其整体性能明显优于HGA 算法, 对于多解非线性方程组能同时收敛到多个解, 是求解非线性方程组的一种高效可靠的方法. Ref erences :
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