相似三角形典型综合题
一、相似三角形中的动点问题
1. 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B 作射线BB1∥AC .动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D 作DH ⊥AB 于H ,过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ,G 是EF 中点,连接DG .设点D 运动的时间为t 秒.
(1)当t 为何值时,AD=AB,并求出此时DE 的长度; (2)当△DEG 与△ACB 相似时,求t 的值.
2. 如图,在△ABC 中,ABC =90°,AB=6m,BC=8m,动点P 以2m/s的速度从A 点出发,沿AC 向点C 移动.同时,动点Q 以1m/s的速度从C 点出发,沿CB 向点B 移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t 秒.
(1)①当t=2.5s时,求△CPQ 的面积;
②求△CPQ 的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式;
(2)在P ,Q 移动的过程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出t 的值.
3. 如图1,在Rt △ABC 中,ACB =90°,AC =6,BC =8,点D 在边AB 上运动,DE 平分CDB 交边BC 于点E ,EM ⊥BD ,垂足为M ,EN ⊥CD ,垂足为N . (1)当AD =CD 时,求证:DE ∥AC ;
(2)探究:AD 为何值时,△BME 与△CNE 相似?
4. 如图所示,在△ABC 中,BA =BC =20cm ,AC =30cm ,点P 从A 点出发,沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动;同时点Q 从C 点出发,沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动,当P 点到达B 点时,Q 点随之停止运动.设运动的时间为x .
(1)当x 为何值时,PQ ∥BC ?
(2)△APQ 与△CQB 能否相似?若能,求出AP 的长;若不能说明理由.
5. 如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s的速度移动.如果P 、Q 同时出发,用t (s )表示移动的时间(0<t <6)。 (1)当t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形? (2)当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似?
二、构造相似辅助线——双垂直模型
6. 在平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(2,1) ,正比例函数y=kx的图象与线段OA 的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式.
7. 在△ABC 中,AB=
,AC=4,BC=2,以AB 为边在
C
点的异侧作△ABD ,使△ABD 为等腰直角三角形,求线段CD 的长.
8. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点M 是AC 上的一点,点N 是BC 上的一点,沿着直线MN 折叠,使得点C 恰好落在边AB 上的P 点.求证:MC :NC=AP:PB .
9. 如图,在直角坐标系中,矩形ABCO 的边OA 在x 轴上,边OC 在y 轴上,点B 的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC 翻折B 点落在D 点的位置,且AD 交y 轴于点E .那么D 点的坐标为()
A.
B.
C.
D.
10. . 已知,如图,直线y=﹣2x +2与坐标轴交于A 、B 两点.以AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD ,使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C 、D 两点的坐标。
三、构造相似辅助线——A 、X 字型
11. 如图:△ABC 中,D 是AB 上一点,AD=AC,BC 边上的中线AE 交CD 于F 。 求证:
12. 四边形ABCD 中,AC 为AB 、AD 的比例中项,且AC 平分∠DAB 。
求证:
13. 在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =b ,CD =a ,E 为AD 边上的任意一点,EF ∥AB ,且EF 交BC 于点F ,某同学在研究这一问题时,发现如下事实:
(1)当
时,
EF=;(2)当时,EF=;
(3)
当时,
EF=.当时,参照上述
研究结论,请你猜想用a 、b 和k
表示
EF
的一般结论,
并给出证明.
14. 已知:如图,在△ABC 中,M 是AC 的中点,E 、F 是BC 上的两点,且BE =EF =FC 。 求BN :NQ :QM .
15. 证明:(1)重心定理:三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
.(注:重心是三角形三条中线
的交点)(2)角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.
四、相似类定值问题
16. 如图,在等边△ABC 中,M 、N 分别是边AB ,AC 的中点,D 为MN 上任意一点,BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F .
求证:.
17. 已知:如图,梯形ABCD 中,AB//DC,对角线AC 、BD 交于O ,过O 作EF//AB分别交AD 、BC 于E 、F 。 求证:
.
18. 如图,在△ABC 中,已知CD 为边AB 上的高,正方形EFGH 的四个顶点分别在△ABC 上。
求证:.
19. 已知,在△ABC 中作内接菱形CDEF ,设菱形的边长为a .求证:.
五、相似之共线线段的比例问题 20. (1)如图1,点
在平行四边形ABCD 的对角线BD
上,一直线过点P 分别交BA ,BC 的延长线于点Q ,S
,交
于点
.求证:
(2)如图2,图3,当点在平行四边形ABCD 的对角线
或
的延长线上时,
是否仍然成立?
若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明);
21. 已知:如图,△ABC 中,AB =AC ,AD 是中线,P 是AD 上一点,过C 作CF ∥AB ,延长BP 交AC 于E ,交
CF 于F .求证:BP 2
=PE ·PF .
22. 如图,已知ΔABC中,AD ,BF 分别为BC ,AC 边上的高,过D 作AB 的垂线交AB 于E ,交BF 于G ,
交AC 延长线于H 。求证: DE 2
=EG•EH
23. 已知如图,P 为平行四边形ABCD 的对角线AC
上一
点,过P 的直线与AD 、BC 、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点E 、F 、G 、H.
求证:
24. 已知,如图,锐角△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,H 为垂心(三角形三条高线的交点);在AD 上有一点P ,且∠BPC
为直角.求证:PD 2
=AD ·DH 。
六、相似之等积式类型综合
25. 已知如图,CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高,E 为BC 的中点,ED 的延长线交CA 于F 。 求证:
26如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,点M 在
CD 上,DH ⊥BM 且与AC 的延长线交于点E. 求证:(1)△AED ∽△CBM ;(2)
27. 如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,E 是AC 的中点,ED 的延长线与CB 的延长线交于点F. (1)求证:
.
(2)若G 是BC 的中点,连接GD ,GD 与EF 垂直吗?并说明理由.
28. 如图,四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ,CG 与AD 相交于点N
.求证:
.
29. 如图,BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高,过D 作DG ⊥BC 于G ,分别交CE 及BA 的延长线于F 、H 。
求证:(1)DG 2
=BG ·CG ;(2)BG ·CG =GF ·GH
七、 相似基本模型应用
30. △ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF 的顶点E 位于边BC 的中点上.
(1)如图1,设DE 与AB 交于点M ,EF 与AC 交于点N ,求证:△BEM ∽△CNE ;
(2)如图2,将△DEF 绕点E 旋转,使得DE 与BA 的延长线交于点M ,EF 与AC 交于点N ,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.
31. 如图,四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q . (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外); (2)求BP :PQ :QR .
32. 如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F 。求证:
答案:1. 答案:解:(1)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4 ∴AB=5
又∵AD=AB,AD=5t ∴t=1,此时CE=3, ∴DE=3+3-5=1 (2)
如图当点D 在点E 左侧,即:0
≦t ≦时,DE=3t+3-5t=3-2t.
若△DEG 与△ACB 相似,有两种
情况:
①△DEG ∽△ACB ,此时,
即:,求得:t=;
②△DEG ∽△BCA ,此时,
即:,求得:t=;
如图,当点D 在点E 右侧,即:
DE=5t-(3t+3)=2t-3.
若△DEG 与△ACB 相似,有两种情况:
③△DEG ∽△ACB ,此时,
即:,求得:t=;
④△DEG ∽△BCA ,此时,
即:,求得:t=.
综上,t 的值为或或或.
3. 答案:解:(1)证明:∵AD=CD ∴∠A=∠ACD
∵DE 平分CDB 交边BC 于点E ∴∠CDE=∠BDE
∵∠CDB 为△CDB 的一个外角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD ∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE ∴∠ACD=∠CDE ∴DE ∥AC
(2)①∠NCE=∠MBE ∵EM ⊥BD ,EN ⊥CD , ∴△BME ∽△CNE ,如图
t>时,
∵∠NCE=∠MBE ∴BD=CD
又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90° ∴∠ACD=∠A ∴AD=CD
∴AD=BD=AB
∵在Rt △ABC 中,ACB =90°,AC =6,BC =8 ∴AB=10 ∴AD=5
②∠NCE=∠MEB
∵EM ⊥BD ,EN ⊥CD , ∴△BME ∽△ENC ,如图
∵∠NCE=∠MEB ∴EM ∥CD ∴CD ⊥AB
∵在Rt △ABC 中,ACB =90°,AC =6,BC =8 ∴AB=10
∵∠A=∠A ,∠ADC=∠ACB ∴△ACD ∽△ABC
∴
∴
综上:AD=5或时,△BME 与△CNE 相似.
4. 答案:解(1)由题意:AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x
,
当PQ ∥BC 时,,即:
解得:
(2)能,AP=cm 或AP=20cm
①△APQ ∽△CBQ ,则,即
解得:或(舍)
此时:AP=
cm
②△APQ ∽△CQB ,则,即
解得:(符合题意)
此时:AP=cm
故AP=cm 或20cm 时,△APQ 与△CQB 能相似.
5. 答案:解:设运动时间为t ,则DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t. (1)若△QAP 为等腰直角三角形,则AQ=AP,即:6-t=2t,t=2(符合题意)
∴t=2时,△QAP 为等腰直角三角形. (2)∠B=∠QAP=90°
①当△QAP ∽△ABC 时,
,即:
,解得:(符合题意);
②当△PAQ ∽△ABC 时,,即:
,解得:
(符合题意).
∴ 当
或
时,以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与
△ABC 相似.
6. 答案:解:分两种情况
第一种情况,图象经过第一、三象限
过点A 作AB ⊥OA ,交待求直线于点B ,过点A 作平行于y 轴的直线交x 轴于点C ,过点B 作BD ⊥AC 则由上可知:
=90°
由双垂直模型知:△OCA ∽△ADB
∴
∵A (2,1),
=45°
∴OC =2,AC =1,AO =AB ∴AD =OC =2,BD =AC =1 ∴D 点坐标为(2,3) ∴B 点坐标为(1,3)
∴此时正比例函数表达式为:y =3x 第二种情况,图象经过第二、四象限
过点A 作AB ⊥OA ,交待求直线于点B ,过点A 作平行于x 轴的直线交y 轴于点C ,过点B 作BD ⊥AC 则由上可知:
=90°
由双垂直模型知:△OCA ∽△ADB
∴
∵A (2,1),
=45°
∴OC =1,AC =2,AO =AB ∴AD =OC =1,BD =AC =2 ∴D 点坐标为(3,1) ∴B 点坐标为(3,﹣1)
∴此时正比例函数表达式为:y =x
7. 答案:解:情形一:
情形二:
情形三:
8. 答案:证明:方法一:
连接PC ,过点P 作PD ⊥AC 于D ,则PD//BC 根据折叠可知MN ⊥CP
∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90° ∴∠2=∠CNM
∵∠CDP=∠NCM=90° ∴△PDC ∽MCN ∴MC :CN=PD:DC ∵PD=DA
∴MC :CN=DA:DC ∵PD//BC
∴DA :DC=PA:PB ∴MC :CN=PA:PB
方法二:如图,
过M 作MD ⊥AB 于D ,过N 作NE ⊥AB 于E
由双垂直模型,可以推知△PMD ∽NPE ,
则
,
根据等比性质可知
PM=CM,PN=CN,∴MC :CN=PA:PB 9. 答案:A
,而MD=DA,NE=EB,
10. 答案:解:
过点C 作x 轴的平行线交y 轴于G ,过点D 作y 轴的
平行线交x 轴于F ,交GC 的延长线于E 。 ∵直线y=﹣2x +2与坐标轴交于A 、B 两点 解题思路:如图
过点D 作AB 的平行线交BC 的延长线于点M ,交x 轴于点
N ,则∠M=∠DNA=90°,
由于折叠,可以得到△ABC ≌△ADC , 又由B (1,3)
∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90° ∴ ∠1+∠2=90° ∵ ∠DNA=90° ∴ ∠3+∠2=90° ∴ ∠1=∠3
∴ △DMC ∽△AND ,
∴
设CM=x,则DN=3x,AN=1+x ,DM =
∴3x +=3
∴x =
∴,则。答案为A
∴A (1,0),B (0,2) ∴OA=1,OB=2,AB=
∵AB :BC=1:2 ∴BC=AD=
∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO
又∵∠CGB=∠BOA=90° ∴△OAB ∽△GBC
∴
∴GB=2,GC=4 ∴GO=4 ∴C (4,4)
同理可得△ADF ∽△BAO ,得
∴DF=2,AF=4∴OF=511. 答案:证明:(方法一)如图
延长AE 到M 使得EM=AE,连接CM
∵BE=CE,∠AEB=∠MEC ∴ △BEA ≌△CEM ∴CM=AB,∠1=∠B ∴AB ∥CM
∴∠M=∠MAD ,∠MCF=∠ADF ∴△MCF ∽△ADF
∴
∴D (5,2)
∵CM=AB,AD=AC
∴
(方法二)
过D 作DG ∥BC 交AE 于G
则△ABE ∽△ADG ,△CEF ∽△DGF
∴,
∵AD=AC,BE=CE
∴ 12. 答案:证明:
过点D 作DF ∥AB 交AC 的延长线于点F ,则∠2=∠3 ∵AC 平分∠DAB ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AD=DF
∵∠DEF=∠BEA ,∠2=∠3 ∴△BEA ∽△DEF
∴
∵AD=DF
∴ ∵AC 为AB 、AD 的比例中项 ∴
即
又∵∠1=∠2 ∴△ACD ∽△ABC
∴
∴
∴
13. 答案:解:
证明:
过点E 作PQ ∥BC 分别交BA 延长线和DC 于点P 和点Q
∵AB ∥CD ,PQ ∥BC
∴四边形PQCB 和四边形EQCF 是平行四边形
∴PB =EF =CQ ,
又∵AB =b ,CD =a
∴AP =PB-AB =EF-b ,DQ =DC-QC =a-EF
∴
∴
14. 答案:解:
连接MF
∵M 是AC 的中点,EF =FC
∴MF ∥AE 且MF =
AE ∴△BEN ∽△BFM ∴BN :BM
=BE :BF =NE :MF ∵BE =EF ∴BN :BM =NE :MF =
1:2∴BN :NM =1:1设NE =x ,则MF =2x ,AE =4x ∴AN =3x ∵MF ∥AE ∴△NAQ ∽△MFQ ∴NQ :QM =AN :MF =3:2∵BN :NM =1:1,NQ :QM =3:2∴BN :NQ :QM =5:3:2
15. 答案:证明:(1)
如图1,AD 、BE 为△ABC 的中线,且AD 、BE 交于点O 过点C 作CF ∥BE ,交AD 的延长线于点F ∵CF ∥BE 且E 为AC 中点
∴∠AEO =∠ACF ,∠OBD =∠FCD ,AC =2AE ∵∠EAO =∠CAF ∴△AEO ∽△ACF
∴
∵D 为BC 的中点,∠ODB =∠FDC ∴△BOD ≌△CFD ∴BO =CF
∴
∴
同理,可证另外两条中线
∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长
的
(2)
如图2,AD 为△ABC 的角平分线
过点C 作AB 的平行线CE 交AD 的延长线于E 则∠BAD=∠E
∵AD 为△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠E=∠CAD ∴AC =CE ∵CE ∥AB
∴△BAD ∽△CED
∴
∴
16. 答案:证明:
如图,作DP ∥AB ,DQ ∥AC
则四边形MDPB 和四边形NDQC 均为平行四边形且△DPQ 是等边三角形
∴BP+CQ=MN ,DP =DQ =PQ
∵M 、N 分别是边AB ,AC 的中点
∴MN =
BC =PQ
∵DP ∥AB ,DQ ∥AC
∴△CDP ∽△CFB ,△BDQ ∽△BEC
∴,
∴
∵DP =DQ =PQ =BC =AB
∴
AB ()=
∴
17. 答案:证明:∵EF//AB,AB//DC ∴EF//DC
∴△AOE ∽△ACD ,△DOE ∽△DBA
∴
,
∴
∴
18. 答案:证明:∵EF ∥CD ,EH ∥AB ∴,
∵
,
∴△AFE ∽△ADC ,△CEH ∽△CAB ∴,
∵EF =EH
∴
∴
19. 答案:证明:∵EF ∥AC ,DE ∥BC ∴,
∵
,
∴△BFE ∽△BCA ,△AED ∽△ABC
∴,
∴
∵EF =DE =a
∴
20. 答案:(1)证明:在平行四边形ABCD 中,AD ∥BC , ∴∠DRP=∠S ,∠RDB=∠DBS ∴△DRP ∽△BSP
∴
同理由AB ∥CD 可证△PTD ∽△PQB
∴
∴
∴
(2)证明:成立,理由如下: 在平行四边形ABCD 中,AD ∥BC , ∴∠PRD=∠S ,∠RDP=∠DBS ∴△DRP ∽△BSP
∴
同理由AB ∥CD 可证△PTD ∽△PQB
∴
∴
∴
21. 答案:证明:
∵AB =AC ,AD 是中线, ∴AD ⊥BC,BP=CP ∴∠1=∠2
又∵∠ABC=∠ACB ∴∠3=∠4 ∵CF ∥AB
∴∠3=∠F, ∠4=∠F 又∵∠EPC=∠CPF ∴△EPC ∽△CPF
∴∴BP 2
=PE ·PF 即证所求
22. 答案:证明:∵DE ⊥AB ∴
=90°
∵=90°
∴ ∵
∴△ADE ∽△DBE
∴ ∴DE2=
∵BF ⊥AC ∴=90° ∵=90°且
∴ ∵
∴△BEG ∽△HEA
∴
∴
=
∴DE2=EG•EH
23. 答案:证明:
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD ,AD ∥BC
∴∠1=∠2,∠G=∠H ,∠5=∠6 ∴△PAH ∽△PCG
∴
又∵∠3=∠4 ∴△APE ∽△CPF
∴
∴
24. 答案:证明:如图,连接BH 交AC 于点E ,
∵H 为垂心 ∴BE ⊥AC
∴∠EBC+∠BCA=90° ∵AD ⊥BC 于D
∴∠DAC+∠BCA=90° ∴∠EBC=∠DAC
又∠BDH=∠ADC=90° ∴△BDH ∽△ADC
∴
,即∵
∠BPC 为直角,AD ⊥BC ∴PD2=BD·DC∴PD2=AD·DH
25. 答案:证明:∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高,E 为BC 的中点 ∴CE=EB=DE
∴∠B=∠BDE=∠FDA
∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90° ∴∠B=∠ACD ∴∠FDA=∠ACD ∵∠F=∠F
∴△FDA ∽△FCD
∴
∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD ∴△ACD ∽△CBD
∴
∴
即
26. 答案:证明:(1)∵∠ACB =∠ADC =90° ∴∠A +∠ACD =90° ∠BCM +∠ACD =90° ∴∠A =∠BCM
同理可得:∠MDH =∠MBD
∵∠CMB =∠CDB +∠MBD =90°+∠MBD ∠ADE =∠ADC +∠MDH =90°+∠MDH ∴∠ADE =∠CMB ∴△AED ∽△CBM
(2)由上问可知:,即 故只需证明
即可
∵∠A =∠A ,∠ACD =∠ABC ∴△ACD ∽△ABC
∴,即
∴
27. 答案:(1)将结论写成比例的形式,
,可
以考虑证明△FDB ∽△FCD (已经有一个公共角∠F ) Rt △ACD 中,E 是AC 的中点 ∴DE=AE ∴∠A=∠ADE ∵∠ADE=∠FDB ∴∠A=∠FDB
而∠A+∠ACD=90° ∠FCD+∠ACD=90° ∴∠A=∠FCD ∴∠FCD=∠FDB 而∠F=∠F
∴△FBD ∽△FDC
∴
∴
(2)判断:GD 与EF 垂直Rt △CDB
中,G 是BC 的中点,∴GD =GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠
GBD+∠FCD=90°又∵∠FCD=∠FDB (1的结论)∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD ⊥EF
28. 答案:证明:由四边形ABCD 、DEFG 都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在
和
中
∴
≌
则∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND ∴△ANM ∽△CND
则
∴
29. 答案:证明:找模型。
(1)△BCD 、△BDG ,△CDG 构成母子型相似。∴△BDG ∽△DCG
∴
∴DG2=BG·CG
(2)分析:将等积式转化为比例式。
BG·CG=
GF·GH
∵∠GFC=∠EFH ,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90° ∴∠H=∠FCG
而∠HGB=∠CGF=90° ∴△HBG ∽△CFG
∴∴BG·CG=GF·GH.
30. 答案:(1)证明:∵∠MEB +∠NEC =180°-45°=135°=∠MEB +∠EMB ∴∠NEC =∠EMB 又∵∠B=∠C ∴△BEM ∽△CNE (2)△COE ∽△EON 证明:∵∠OEN=∠C =45°,∠COE =∠EON ∴△COE ∽△EON 31.
答案:解:(1)△BCP ∽△BER ,△CQP ∽△DQR , △ABP ∽△CQP ,△DQR ∽△ABP (2)∵AC ∥DE ∴△BCP ∽△BER
∴
∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形 ∴AD=BC,AD=CE
∴BC=CE,即点C 为BE 的中点
∴
又∵AC ∥DE ∴△CQP ∽△DQR ∴
∵点R 为DE 的中点 ∴DR=RE
∴综上:BP :PQ :QR =3:1:2
32. 答案:证明:∵AD ⊥BC ,DE ⊥AB ∴△ADB ∽△AED ∴
∴AD ²=AE AB
同理可证:AD ²=AF AC ∴AE AB =AF AC