3-2向量组的线性相关性
第三 向量章组线的相关性
性一、量组向线性组的合
第二节
向量线性关的系Ø 向
量组的性组线 合 Ø向量组线相关性的性概念 Ø 量组向性相线关的性判
定别义1 定向给组A量 :1 ,β 2 β, L,β s , 和 量α,如向存果
一组数在1,k k2,L ,ks 使得, = αk1 1 β + k β2 +2 L k βs s
P,25 定3.7
义则向
量α向量组A :是 1β, β2 L, β,s的一线个组合,性这 称向量α时可由量组A向: β1 , β 2,L, β s 性表示.线
如α : =êú ,
é 3ù ëû
4
1ù ééù β11= ê , βú = 2 ê 1ú ûëë û
2α =
2 1β + 2β
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束注
(1
若 )a=
kb , 则 a b 成与比 .例
(
4)任 一n向维量αT (a1= , 2 aL, na )都 基本 是分量(比成例)T
TT 量组 e向1= (, 01,L, ),0e2 = 0(,,1L, ), e0n= ( 0 ,0, L,1
)
2( )零向量任是向一的线性量组.
合O = ×0a1 + 0 × a 2 +L + 0× m
的a性线合组:
α
T=a1 eT1 a +2e T 2+ L+a nen T如:
= ê úα ,
(
3) 向组中量一每个向都量由可该量组线向性表.
a示1 1 =× a + 0 1×a 2 + 0 × a
3
é2 ùë 3û
é1ù
é0ù基 向本组为量 e1= ê ú, e = 2 úê0 ë û 1ëû
α
= 2 e1+ 3 e2
线性程组方向的表量示
、二价等量组
P52向定义3.9
ì
a1 1 x1+ a1 x 22 +L+ a n 1 n =xb1 , ïï a 2 x11 +a 2 2 2 x L ++a n x 2 = nb2, íï LLLLLL LLLLLLL L îï m a 1x1 + a m 2x 2+ L + am x nn= b m.
x
α11
定
义2 设两有n 维向量个A :组α1 , 2α, L , α 和
m :Bβ 1, β2 , L βs,,向若组量组B的中个向量都每由能
向组A线量表性, 则称向示组量B由可向组量A线表示性
如.向量果B可由向组量A组性线示,表向量A也组可
由+
x
2
α
+2L +
α
x
nn
=
β
向
组B量性表示, 线则向称组A与量量向B组 等 价.
量组向间的之等价系关性质的: (1)身反性( 2对)称 性(3)传性
即递 性线程组有解的充方分必条要件 向是量 β可由量组向α1 , α ,2 L,α 线性表n示
1.
三线性相关、与线性关无
52定义3P.1 P035定义3.11
1. 定义3 对于向组量 :Aa 1, a ,2L , m a 如,果存不在
全为的数零k1 , k 2 ,L ,k m 使
② ka+ a +Lk+ k a = 011 2 2 m
①
m例
1 究下研向列组的量性线相 关性
æö1 æ0 æö 0 çö÷ ç ÷ ç a÷ 1 ç= 0÷ ,a 2= ç1÷ , a 3= ç 0÷ 0÷çç 0 ç÷ 1÷è ø è ø ø 证明 令 k1è 1 + k2aa2 + 3ak 3 =0 æ k1 ö
æ ö ç0÷ ç ÷ ç即 2k = ÷ç0 ÷ç k ç÷0 ÷è 3ø è ø
称则向量A是组性线相的关,则否它称性无关线. 注
出推k = L 1 =kn = 0Û a 1,a 2 L ,, a n线性无 关.
(
1) 若1a k 1 k2+ a +2L k+n a =n0 成 立,
如
2 1 a -a 2 - a3= 0 Þ 1,a a2a 3,线相性.关
(2
对)于任一向量 ,组 是线 不性关就是无线相性关. ( 3) 量向组含只个向量一 a时,a 线相性 关Ûa = 0.
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\
1k= k 2= k 3= \ 0a , a 21, a3 线 性无 .关上
页下 页返回 束
结
例2 已知a
1 ,a2 , 3a线 无性 关, 1b =a 1 + a 2
,
b 2 =a2 + 3 a, b3 = a 3 a 1 ,+ 证试b 1, b , b 23线性无关 . 证明
设x1 有 x2 , x3, 使xb11+ x 2b 2 + 3x b3 = 0 即 x ( +2x a( + a23 )+ x3 (a3 + a1 ) = 0 1 , 1a +a2)
x
=30 ìx 1+ =ï0í x 1+ x ï2x + 2 3 x= 0
1 î 010 1 1 1
(个方程三个三未知量)
由于
此方程组的系数 行列 0 式=2¹ 0
1\
x1 +( x )3a1 +( 1x +2 )ax 2 (+x +2 x3 a)3 = 0,
因 1aa, 2a,3 线性无关故,
有
故程方只有组解零 1 x x2 ==x = 03,所 向以组b量1 b 2 , b 3,线无性关. 注
向若量坐标组没给,则用定义做.
出上
页
下
页
返
结回束
上页
下
页
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结束
P25理3.定
四1向、量组性线关相的性定
判5P6引理 3.
2定理
2(别法二)判a 1
, a ,2 L a m,( ³ 2m )性线相关 Û a 1 ,a 2 , , a Lm中 少有至一向量可个由 余其m -个1向量线性示 .表
ì任 一意向个量不是都 余其 m- 1个 量向线的性组 合 .í î没 有一个量向用其余 m能- 1 向量的线性表示 .个
理1定(别判一)法
n个 n维量所向组的向量成 a组1 a, 2,L , a n线 相性关
Û向 量组 a1 ,a 2, L , n a对所的方应的阵列行式 A 0=
;a
, 1a 2 L, ,a m (m³ 2)线性无 关Û a , 1 2a, L , am
n中 n个向维所量组成的量向组a 1 a, 2 L , a ,n线 性关无
Û 向量组a 1 a ,2 , L ,an 所对 的应阵的方行式 列A¹ 0.
向
量线组相性关Û 任意一向量个由可余向其量性表线示.
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结
束
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结
束
2
5P33例.
6
:注1.有含零向的量量组必线性向相关 .2 .两向线量性关 相Û两 向量分的对量成比应例é
1 ùé t2 ù如 α= ê , úβ =ê ú , 则当 ë û ë1û
定理t 3量组 a 向1 , a ,L2a,m 线 性无关,且量组向
t=
±
12
,
a 1时 , a2 ,L, a ,m 线性b关相,向则 b量可 向量由
a 组 1, a 2L,,am 线性表示表且法示唯.一
α 与 β线性关相
。3.两个 向量性线相的几何关意是义向量共线两 三;个向线量相性关几的何意义是三量共面向
.页上下 页 回返 结束
证
明存在性
Q a 1 , a 2 , L, ma , 线性相b关\ 存在不全 0的 为1 , k2k , ,L k , k , m使 k1得a 1 +ka 22 L++ makm+ kb= 0 k 若 0= , 存则在全不 为的0k 1, 2 k , L ,k m ,得 k使a 1+ k1a2 +2 L +kma = m0这与 a1 a, , L2 a,m线性 无关盾矛\
k ¹0, b k1 = kka 1 -2 a - L 2 -m a km kk
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唯
性一
b若 =l1 1+ ala 2+2L + lma m,
Q 1a a,2 , L ,a m线性无关\ li = il ( i 1, =2, ,Lm )
则(
l 1- 1 )l 1a( +l - l2 2a) 2+ L+ (ml - l )am m =
b 0 l1a 1=l+2a2 +L +l am m
考虑 1a, a 2线性关相,a则 1,a 2, a 3呢 ?
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结束
P53
定3.2
理
P4定53理3
定.理4(别法判三 A :)a 1 , a 2, ,L a m性线相关则B,: a ,1a 2, , aL m, m a1+ L, an
也性相线;反之,关B线性无 关则,也线性A无 .关
部
(分相关Þ 整 相体;关体无整关 Þ部 分关无
)
定理(5判别四法) 低维无关 Þ维无关高高维相关 Þ; 低维相关 注. 1)分量(以可任意(加有个);限( 2位)置以可意任. 如
é aùé ùb 1a ê =1ú, 2 a = ê 1ú线 性无, ëa关2 û ë2bû
如:
1α , 2 α线性关,相 则1 α α, 2 α, 3性线相
α1关, α 2, α 线3无性关,则α 1, 2α线 无性
关
é 1 a ù éb1 ù a , bú = b ú ê b则 =1ê ê 2 ú 2 ê2ú ê êë a 3 û ë bú ú û
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线无关性
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3
证明 若 a = ç 1
证ç
æa1ö æ b1 ö÷ ÷, a 2 ç= çb ÷÷线性 关, è无 a ø 2è ø æ2 1 ö aæb ö1ç ÷ ç÷则b1 = ç 2a , ÷ b2 =çb2 也÷线性关 . ç无 ÷aç b÷è 3ø è3 øk设1b1 +k b2 2= 0
P 5 推论35.3
定
理(6判别法五)当
m>n时 , 任意 个mn维 向量a 1, a2 , L ,a m 线必相性关 .
1
ö例 3æ ç ÷ 0
ì
1ak 1 k2+ b1= 0 ï Þ í1k2a+ k2b2 = 0Þ k1a + k1a 22= 0 k ï +a b k=0 2 î 1 3 Þ 31k =k2= 0(a1 , a2 线性无 关)
Þ b ,1b 线2性无关上页 下
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束æ2ö æ -3 ö
æ0 öæ 1- çö÷ ç ÷ ç ç ÷ ÷1-1 1 -1设 a1 = ç ÷ ,a 2 = ÷ç ,a 3 = ç ÷ , a 4 = ÷ ç,a 5 = ç ÷,ç ÷ ç03÷ç ÷ 2 -1 ç÷ç2÷ ç ÷ ç÷ç ÷ ÷ çç ÷ è 2ø èø4è0ø è6 ø3è ø判别列向下量的线性相关组 性 (1)a. 1, a ;2 2)a(1 , a2, a 3 (;3) a , a 12 , 3a, a 4; (4a) 1, a2 , a3 , a4 , a 5(5)a 1 , a 2, a3 , a 5
(), 12(),(5)无,关 3)(,()相4关解 :
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练研 下究列量向的组线性相关
é性1ù é 0 ùé - ù 1 ú, α ê 2= ú , =αê ú;1 1( α1 ) ê = 223 ê ú ê úêú 3ûêú ê ú ê2û ëú ë 5- û ë
é1
ù é2 éù - ù 1é ù1ú ,α= 2êú ,α = ê ú0 α =,ê 2 ú( )2α1 =ê2 ê 2 úê 3úê ú4 êúê 1 û êúú 1û úê ê-2û ú ë ë -5 û ë
ë:解因为向量个 数于等向维数量,
解
:为因量向数个于向大量维数
,1\ - 2
3
10 01 1-= -2 21 -= 5 0¹ 3 5 - 5- 520 2
\α 1 ,α2 ,3α ,α 线4性关
相\
α1 , α ,2 α3线 无性关
4