高考数学填空题怎么填
高考数学填空题怎么填
浙江泰顺县第一中学(325500)曾安雄
除了上海卷外,高考数学填空题是在高考试卷中的第二部分(或Ⅱ卷),在近两年的高考中其题量已稳定在4道,每道4分,计16分,占总分的10.7%.填空题是数学高考中的三种题型之一,属于客观题,它与选择题不同的是没有偶然性,与解答题不同的是没有书写过程. 因此解这类问题需注意以下四项:审题要仔细,要求要看清,书写要规范,小题要小(巧) 做.
一、审题要仔细
这是解答好填空题的前提,要从看清题目中的每一个字、词、数据、符号,到理解题意、分析隐含条件、寻找简洁的
2
解题方法,以及推理运算做到准确无误. 例1 抛物线y =ax (a >0) 的焦点坐标是_____.
解析 这是一道容易题,但若审题不仔细或推演粗心,极易把结果写
1⎛a ⎫⎛a ⎫⎛1⎫22
,或.实际上,所给的抛物线属x =2py 型,故应先化为标准式,得x =y ,从而求得焦点,0,00, ⎪ ⎪ ⎪a ⎝2⎭⎝4⎭⎝2a ⎭
为 0,
⎛
⎝1⎫⎪. 4a ⎭
例2(2002年北京高考题) 关于直角∠AOB 在平面α内的射影有如下判断:①可能是0︒的角;②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是180︒的角.其中正确判断的序号是 (注:把你认为正确判断的序号都填上).
解析:审题时要仔细,括号内提示:把你认为正确命题的序号都填上,有些同学只填其中的一个或两个等部分正确命题,则就被扣分;其实对于肯定一个命题,需要严格又缜密的的证明(可借助于课本中的正确命题而达到快速判断),而否定一个命题,只需举一反例即可.本题逐一判断,显然五种情形都有可能,故填①②③④⑤.
二.要求要看清
对要作答的要求要看清楚,如“正确的是”、“不正确的是”、“精确到”、“用数字作答”、“填上你认为正确的一种条件即可”、“把你认为正确的命题的序号都填上”、“结果保留π”等,由于填空题没有解答过程,没有步骤分,一笔失误则.徒劳无功、前功尽弃.
例3 ⑴在半径为30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为_____m (精确到0.1m ) .
⑵不等式 ⎪
10
2
⎛1⎫⎝3⎭
x 2-8
>3-2x 的解集是___________.
10
⑶ (x +2) (x -1) 的展开式中x 的系数为_________(用数字作答). ⑷把半径为3cm ,中心角为
2π3
的扇形卷成一个圆锥形容器,这个容器的容积是_______cm(结果保留π) .
3
⑸如图,在直四棱柱A 1B 1C 1 D1-ABCD 中, 当底面四边形ABCD 满足条件____________时, 有A 1 C⊥B 1 D1.(注:填上你认为正确的一种 条件即可,不必考虑所有可能的情形.) ⑹关于函数f (x )=4sin(2x +
π
)(x ∈R ) ,有下列命题: 3
π) ; 6
①由f (x 1)= f(x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍; ②y =f (x ) 的表达式可改写为y =4cos(2x -
π
,0) 对称; 6
π
④y =f (x ) 的图像关于直线x =-对称.
6
③y =f (x ) 的图像关于点(-
其中正确的命题的序号是_______.(注:把你认为正确的命题的序号都填上.) .评注 在以上六道题中,不仅要求作答过程要正确,而且对结果有特殊要求: ⑴对结果的数值近似要求:是精确到0.1m ,若保留π或取整数,都是错误的; ⑵对结果要写成解集形式,否则错误;
n
⑶对结果要用数字表示,就不能用C m 等形式表示;
⑷对结果的数值精确要求,即保留π,就是说不能用3.14来代替π;
⑸对结果要求是:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形. ⑹对结果的要求是:把你认为正确的命题的序号都填上,否则就不能得分. .
三. 书写要规范
是指以下几个方面:①对于计算填空题,结果往往要化为最简形式,特殊角的三角函数要写出函数值,近似计算要达到精确度要求.如:
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不能写成或写出sin30°等;②所填结果要完整,如多选型填空题,不能漏填;有条件限制的求24
反函数,不能缺少定义域;求三角函数的定义域、单调区间等,不能缺k ∈Z ,如:集合{x |x =k π,k ∈Z }不能写成{x |x
=k π}等. ③要符合现行数学习惯书写格式,如分数书写常用分数线,而不用斜线形式;求不等式的解集、求函数定义域、值域,结果写成集合或区间形式.等
例4(1997年全国高考题)
sin 7︒+cos 15︒sin 8︒
的值为________.
cos 7︒-sin 15︒sin 8︒
解:原式=
sin (15︒-8︒)+cos15︒sin8︒
cos 15︒-8︒-sin15︒sin8︒
=
sin15︒cos8︒1-cos15︒
=tan15°==2-.
cos15︒cos8︒sin15︒
故正确的结果应填2-.若填成tan15°,或0.268
等都不符合本题准确性的要求.
四.小题要小做(或小题巧做)
填空题属于小题,除了应注意审题仔细、要求看清、书写规范,还尽量要小题小做或小题巧做.这时就需选择简洁合理的求解方法,如数形结合法,图解法,特例法,结论法,挖掘隐含条件等.
1. 数形结合法
这是一种数形结合的解题方法,由于填空题不必写出论证过程,因而画出辅助图象、方程的曲线或借助表格等进行分析并解答.
例5(2003年上海春季高考题) 直线y =1与直线y =x +3的夹角为_______.
分析 本题不必利用夹角公式,而用数形结合即可直观解决. 解:作出图象,它们的夹角即为直线y =3x +3的倾斜角
ππ.应填. 33
例6(2003年上海春季高考题) 已知集合A ={x ||x |≤2,x ∈R },B ={x |x ≥a }且A ⊆B ,则实数a 的取值范围是
___.
解:借助数轴,如图,知a ≤-2.
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例7(2002年全国高考题) (x +1)(x -2) 的展开式中x 项的系数是______
3
4
3
6
46
因此,x 项的系数是C 7(-
2)
+C 7(-2)=1008.
评注 画辅助表格来解题能一目了然,不易出错.
2 .等价转化法
指将所给问题等价转化为另一种容易理解的语言或易求解的形式.
例8(2003年北京春季高考题) 如图,一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球,水面高度恰好升高r ,则
R
=_______. r
解:椐题意,本题等价于“升高部分体积等于实心球的体积”,即
πR 2r =πr 3,得
4
3R . r 例9(2003年北京春季高考题) 在某报《自测健康壮况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观
解:由收缩压构成的是以110为首项5为公差的等差数列,故填140;而在舒张压构成的是奇数项与偶数项首项分别为70,75,公差都为5的等差数列,故所缺项为85.
例10(2002年全国高考题) 函数y =a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a =___.
分析 本题给出是文字语言,而需求参数a 的值,只需等价转化为易于运算的符号语言即可.
解: 由题意知,a >0,且a ≠1.显然此函数是单调函数,将原题的文字语言转化为符号语言,得
x
a 1+a 0=3,即a =2.
3. 特殊化法
当填空题暗示,答案只有一个“定值”时,我们可以取一些特殊化法(代特殊值、位置、图形,构造数学模型等) 来确定这个“定值”,特别适用于题目的条件是一般性的角度给出的问题.
例11(2002年春季高考题) 对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i ,z 2=x 2+y 2i (x 1、y 1、x 2、y 2)定义运算“⊙”为:
z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2,设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2,点O 为坐标原点,如果ω1⊙ω2=0,那么
在ΔP 1OP 2中,∠P 1OP 2的大小为_______.
分析 由题意可知,∠P 1OP 2的大小与取什么样的具体复数无关,故可特殊化处理.
解:不妨设ω1=1,ω2=i ,那么x 1=x 2=0,y 1=y 2=1,显然ω1⊙ω2= 1·0+0·1,易知∠P 1OP 2=90°.
4 .巧用结论
由于填空题不必写出过程,故利用常用的结论,可简化解题.
例12(2003年上海春季高考题) 已知函数f (x )
1,则f -1(3)=_ __ 分析 本题可运用结论f (a ) =b ⇔f -1(b )=a 直接解决. 解:设f -1(3)=a ,则f (a ) =3
1=3,得a =4. ∴ f -1(3)=4.
x 2y 2
例13(2003年北京春季高考题) 如图,F 1、F 2分别为椭圆2+2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,ΔPOF 2是面积
a b
为的正三角形,则b 的值是_______.
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分析与焦点有关的圆锥曲线问题,可运用“焦点三角形面积公式”、“焦半径公式”、“通径”等结论来解决.
解法1:用焦点三角形面积公式
连结PF 1,据题意知ΔF 1PF 2是以∠F 1PF 2为直角的RtΔ,由焦点三角形面积公式(其中∠F 1PF 2=θ) ,得
S ∆F 1PF 2=b 2tan
∴ b =2.
2
θ
2
=b ,又S ∆F PF =2S ∆POF =
122
2
解法2 用焦半径公式
ΔPOF 2是面积为的正三角形,得其边长为2,即半焦距c =2,P 点的横坐标为1,则由焦半径公式,得 |PF 2|=a -ex 0,即2=a -
2
2
2
2
c 2
=a -,解得a =1+3. a a
∴ b =a -c =(1+) -4=23.
5. 挖掘隐含法(或特征分析法)
有些问题看似非常复杂,一旦挖掘其隐含的数量或位置等特殊关系,则问题或迎刃而解. 例14(2003年上海春季高考题) 设f (x )
,利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,可求得f (-5) +f (-
4) +„+f (0)+„+f (5)+f (6)的值为_______.
分析 本题的隐含条件是f (x ) +f (1-x )
是定值) .
解:由f (x ) +f (1-x )
设S =f (-5) +f (-4) +„+f (0)+„+f (5)+f (6),又
S =f (6)+f (5)+„+f (0)+„+f (-4) +f (-5)
∴ 2S =12[ f (-5) +f (6)]
.
即S =32,故填32.
1⎛⎫
例15(2003年安徽春季高考题) x 2+2+1⎪的展开式中常数项为_______.(用数字作答)
4x ⎝⎭
解:抓住三项式的隐含条件,通过配方转化为二项式再解决.
6
12
r
r
6
23111⎫⎛⎫⎛r 12-r ⎛1⎫r ⎛1⎫12-2r
由 x 2+2+1⎪= x +,故=,令r =6,得常数项. T =C x C x r +11212 ⎪ ⎪⎪164x 2x 2x 2⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111x 2例16(2002年全国高考题) 已知函数f (x ) =,那么f (1)+f (2)+f () +f (3)+f () +f (4)+f () =_____. 2
2341+x
解:本题隐含条件是f (x ) +f (原式=3+f (1)=3+
11
) =1,且f (1)=.故有 x 2
17= 22