09资本市场均衡模型:资本资产定价模型

第9章 资本市场均衡模型：资本资产定价模型

9.1 CAPM的假设

资本资产定价模型（Capital Assets Pricing Model, 简称CAPM）是用来解释均衡市场中风险资产收益率的如何决定问题的。

资产组合理论虽然从理论上解决了如何构造投资组合的问题，但是这一过程相当繁杂，需要大量的计算，和一系列严格的假设条件。这样就使得这一理论在实际操作上具有一定的困难。投资者需要一种更为简单的方式来进行处理投资事宜。于是资本资产定价模型就产生了。CAPM模型是由美国学者Sharpe于1964年提出的，这个模型仍然以证券组合理论为基础，在分析风险和收益的关系时，提出资产定价的方法和理论。对CAPM模型做出贡献的学者有：

马科维茨（Harry M.Markowitz，美国，1927-），1952年，《资产组合选择：有效的多样化》。

特雷诺（Treynor，美国），1961年。

威廉•夏普（William F.Sharpe, 美国1934-），1964年。 林特纳（Lintner，美国），1966年。

默森（Mossion，美国），1966年《Equilibrium in a Capital Asset Market》。 资本资产定价模型（CAPM）是近代金融学的奠基石。1952年，马柯维茨（Herry M. Markowitz）在其博士论文《投资组合的选择》一文中首先提出建立现代资产组合管理的理论，12年后，威廉•夏普（William Sharpe）、约翰•林特纳（John Lintner）与简•莫辛（Jan Mossin）将其发展成资本资产定价模型。

它有如下这些基本的假设：

（1）所有投资行为仅仅发生在一个时点上，即在0 时刻决策，在1 时刻收获； （2）投资者厌恶厌恶，并总是根据均值方差效率原则进行决策；

（3）无摩擦的市场（frictionless market），即不存在交易费用和税收，所有证券无限可分；

（4）无操纵的市场（no manipulation），任何单独的投资者行为，都不足以影响资产的市场价格，他们都是价格的接受者（price taker）；

（5）无制度限制（institutional restriction），允许卖空，并且可以自由支配卖空所得。

上面 3 个假设是关于金融市场状况的，称满足这3 个假设的市场为理想化的金融市场（idealized financial market）。

（6）存在一种无风险证券，所有投资者可以按照统一的无风险利率rf，进行任意数额的借贷。

（7）信息是完全的，所有投资者都可以看到资本市场上所有资产完整的方差、协方差和期望收益数据；并且最重要的是：

（8）投资者有着完全相同的信息结构，所有的投资者都被假定会运用上一章中讲述的均值方差分析方法来进行投资决策筛选，因而他们会得到一模一样的效率曲线。这就是所谓的同质预期（homogeneity of expectation）。 9.2 资本市场线（Capital Market Line，CML）

在前面的分析中，我们假设市场中所有的证券（资产）都是有风险的。现在我们假设市场中存在一种无风险的证券（比如国债），它的预期收益率为rf（是确定值，而不是期望），它的风险为0，那么它在,Er的平面上其实就是一个位于纵轴上的点，即图9-1中的F点。

图9-1 引入无风险证券后的有效前沿

我们可以通过F点，向没有引入无风险证券时的有效前沿引出一条切线，切点为M，此时，切线FM就是引入无风险证券后的有效前沿。要证明这一点很简单，只要我们证明FM这条切线上的所有点都是可行的并且是最优的，那么它就是有效前沿。

首先，我们证明FM切线上的点（投资组合）都是可行的。我们假设M点代表一只证券，

那么投资者的投资就被分为两个部分：

第一部分持有无风险证券F；

第二部分持有M点所代表的证券组合（也可以看成是一只证券）；

那么，有证券F和证券M组成的全部投资组合都在直线FM上，即FM是可行的。 其次，过纵轴上的任意一点作一条平行于横轴的直线，该直线与FM线都会有唯一交点，这一交点（投资组合）代表了同一预期收益率期望的最小风险（当然，也一过横轴上任意一点作一条垂直于横轴的垂线，这条垂线将于FM线都会有唯一交点，这一交点（投资组合）代表了同意风险水平下的最高预期收益率期望）。

所以FM上所有的点都是可行的，并且是有效的，所以它就是引入无风险资产后的新的有效前沿，我们称它为资本市场线（Capital Market Line，CML）。

此时，资本市场就是这条CML线，投资者最优投资组合都在这条CML线上，CML以外的点投资者都不会选择去投资。

M点的风险资产组合有着非常特别的意义。因为我们发现所有投资者都会选择它。这样,在存在一种无风险资产的情况下，任何一位投资者都会持有相同的风险证券组合，即图9-1中的M点。换句话说，对于风险资产组合的选择，完全独立于不同投资者的个人偏好（无差异曲线），这就是著名的夏普分离定理（二基金分离定理）。

夏普分离定理的经济学意义在于：如果投资者的证券投资决策就是要根据他本人的财力和风险承受能力在均值-方差问题的最优解（引入无风险资产后的有效前沿）中选取一点，那么他考虑全体证券组合与考虑证券的两种组合的组合是一样的。这两种组合在现实证券市场中可能就是两种业绩良好的共同基金。因此，也就是说，投资者不必考虑全体证券如何组合，只需考虑如何搭配这两种基金的组合即可。有了二基金分离定理，我们就可以由两个极小风险组合的组合生成n种证券的整个组合前沿，如果这两种组合看成两种证券，也可以推出同样的组合前沿。

夏普分离定理告诉我们这样一个基本的道理：投资者在投资决策是其实是在进行两个分离的决策：

首先确定最佳风险资产组合，然后考虑无风险资产和最佳风险资产组合的理想组合。只有第二阶段受投资人风险反感程度的影响。第一阶段也即确定最佳风险资产组合时不受投资者风险反感程度的影响。

那么M点的风险资产投资组合到底是什么样子的一种投资组合呢，让所有投资者对它都

情有独钟？

把所有投资者对于风险资产的需求加总到一起，并要求风险证券的总供给等于总需求，即市场出清（Market Clean），就得到了所谓的市场资产组合（Market Portfolio）。可以想象市场资产组合必然包含市场上每一种风险资产，它对每种风险资产的投资比例，就是该种资产的相对市场价值，即这种证券的总市场价值与所有风险证券的总市场价值之比。例如公司A 的股票市值占所有股票总市值的3%，B 公司占6%，C 占7%⋯⋯，则任何一个按照3%、6%、7%⋯⋯持有市面上，所有的相应种类股票的资产组合就是市场组合。这时，从整个市场的角度看，切点资产组合M实际上就是市场证券（资产）组合点M。它必然具有均值方差效率。

识别出在均衡时刻，切点资产组合就是市场证券组合，正是夏普-林特纳分析的所做出的重要贡献。

为了进一步理解CML，我们有必要给出CML的具体方程：

ErPrf

ErMrf

M

P

可见：CML的斜率为

ErMrf

M

，它在纵轴上的截距为rf。

任何在资本市场线上资产组合，都是具有均值方差效率的资产组合，而单一证券和无效率的证券组合必然位于该线的下方。处在均衡状态下的证券市场有两个特征：

（1）资本市场线的截距被视为等待（时间）的报酬（无风险证券收益率）； （2）资本市场线的斜率就是承受每一单位风险的所得到的报酬。 CML也可以表示为：

ErPrf

ErMrf

M

P

我们把资本市场上任何一只证券的预期收益率高过无风险收益率的部分称为风险溢价（Risk Premium）,证券组合的风险溢价为ErPrf，市场组合的风险溢价为ErMrf，而市场组合的风险溢价除以市场组合的风险水平就是CML的斜率，这个斜率被定义为风险的市场均衡价格。

风险的市场均衡价格乘以组合的风险水平，就是组合的风险溢价，即是：

ErPrf

ErMrf

M

P

其实这也是刚才所说的CML的另外一种表述。它把组合收益、组合风险水平、风险的市场均衡价格之间的关系准备地揭示出来。

风险的市场均衡价格是追求高收益、低风险的投资者，通过完善的资本市场交易最终形成的结果，但是，对于每一个投资者而言，他是这个价格的接受者（假设4）。我们也假设投资者总是持有无风险证券和市场组合（市场组合又是风险被充分分散化后的组合或者说市场组合仅仅含有不可分散风险而不再包含可分散风险了），因此，资本市场线告诉我们：

（1）持有充分分散的市场组合时，我们可以用P表示其风险水平，否则用P表示组

合的风险不一定适当；

（2）仅仅当投资者持有市场组合和无风险证券的某种组合时，才能用资本市场线来确定组合的预期收益率，但是此时，资本市场线并不能给我们提供每一个证券的预期收益率。 9.3 证券市场线（Security Market Line，简称SML）

为了推导出最终的CAPM模型，我们还要再构造一个特殊的投资组合。这个投资组合由某一个证券i和市场组合M形成的组合。这个证券i和市场组合M在这个特殊组合中的权重分别为x和1x，其中，0x1中，可以知道：

当x0时，证券市场是均衡的（因为i证券可以代表市场中的任何一只证券，如果对任何一个证券都不存在过度需求，那此时证券市场是均衡的。）；

当x0时，证券市场是不均衡的，也就是说市场上存在着对于这个i证券的过度需求； 这个特殊组合的预期收益率的期望和标准差分别为ErP和P，且这个i证券与市场组合M预期收益率之间的协方差为Covri,rM，那么，我们可以得到：

ErPxEri1xErM

Px2i2(1x)2M22x(1x)Covri,rM

这个方程表示的是证券i和市场组合M形成的特殊组合的投资可行集，它们所组成的有效前沿是可行集的一个子集。

如图9-2所示：

EF-Ⅰ是包含全部风险证券的有效前沿，EF-Ⅱ是证券i和市场组合M形成的特殊组合的有效前沿，因为，i与M的组合的可行集是全部风险证券可行集的一个子集，那么EF-Ⅱ肯定位于EF-Ⅰ的右下方，当且仅当x0时，i和M的组合过M点，即EF-Ⅱ过M点，那么EF-Ⅱ必然与EF-Ⅰ相切，且切点为M。

那么， EF-Ⅱ在M点切线的导数（

dErP）和EF-Ⅰ在M点的导数相同，由前面

dPx0

ErMrf

，那么：

的讨论我们知道EF-Ⅰ在M点的导数即是CML的斜率

M

ErMrfdErP

dPx0M

所以我们要先求导出

dErP。 dP

由前面的讨论，可知：

ErPxEri1xErM

Px2i2(1x)2M22x(1x)Covri,rM

xi(1x)M2x(1x)Covri,rM

2

2

2

2

12

那么，

dErP

dErP

dPdP

dx



2EriErM

2x

x

2

2i

(1x)2M2x(1x)Covri,rM2

2

2i

2x1M24xCovri,rM

将x0代入上式，可知：

EriErMMErMrf dErP2

dPx0MCovri,rMM

化简这个公式：

Erirf

Covri,rM

2M

Covri,rM



2M

Err

M

f

设i

，那么：

任何一个证券i的预期收益率的期望可以表达为：

ErirfiErMrf

这就是我们千呼万唤的CAPM模型。它有时候也可以表示成为：



ErirfiErMrf

图9-2 资本市场线（CML）

从CAPM模型，我们可以看到，任一证券的期望收益率可分成两部分：一部分是无风险利率 ，另一部分是由于风险存在而增加的利率补偿 ，风险越大，则第二部分也就越大，亦即对该证券的期望收益率就越大，这是与我们的生活常理相符合的。

在CAPM模型中，我们发现是一个非常重要的变量。所以在这里非常有必要对多解释一下，从CAPM模型中我们很显然可以看出，i在那里实际上已成为证券风险大小的衡量标志了，因为ErM和rf是给定的。事实上，如果i1，则说明证券i的风险大于市场证券组合M的风险，因而Eri当然应大于市场证券组合收益率的期望值ErM；反之若



i1，很显然，我们同样得到EriErM。

我们知道：i写成：

Covri,rM

2M



iMiMiMi

，于是，我们可以把CAPM模型改2

MM

ErirfiErMrfrf

即：



iMi

ErMrf M

Erirf

Err

M

f

M

iM

i

），可以这样理解：

对于上式右侧的风险补偿的第二个部分（

Err

M

f

M

iM

由于整个市场存在风险，那么对它给予的风险补偿应是ErMrf，注意到市场风险的大小是用M来表征的，于是

ErMrf

M

就可理解为“平均单位市场风险”给予的补偿，

现在证券i的风险为i，将它“折算”成市场风险，则其折算值即是iMi，将“平均单位

市场风险”

ErMrf

M

与证券i的市场风险

iMi相乘，那么他们的乘积

ErMrf

M

iMi当然就是证券i的风险补偿了。

这样我们利用资本资产定价模型（ErirfiErMrf）就可以对任一证券的预期收益率的作出期望（估计），但是这里的关键因素是要估算出，现实中，如果证券市场的发展是平稳、有秩序的，我们就可以利用有关历史数据来作回归分析，从而得到的估计值。

这样我们又可以作出一张图，只不过这张图的横轴与纵轴不是之前资本市场线（CML）所处在的那个



,Er平面上了，而是处在,Er平面上的证券市场线（SML），就是如

图9-3所示。

图9-3 证券市场线（SML）

9.4 关于的进一步讨论

系数的一个重要性质是具有线性可加性，即在一个包含n项证券（资产）的投资组

合里，各项证券（资产）的比重是i，系数是i，则组合的系数为



ii1

n

i

。

一项资产的风险补偿应当是它的系数乘以有风险资产的市场组合的风险补偿。 9.4.1 当0时

当0时，该证券（资产）的收益率变化与市场同向。

（1）1时，该证券（资产）的价格波动大于市场的平均价格波动，风险补偿大于市场组合的风险补偿，若市场收益率上升，该资产的收益率上升的幅度比市场平均水平高；若市场收益率下降，其收益率下降的幅度也比市场平均水平高。

（2）01时，该资产的价格波动小于市场的平均价格波动，风险补偿小于市场组合的风险补偿，若市场收益率上升，该资产的收益率上升的幅度比市场平均水平低；若市场收益率下降，其收益率下降的幅度也比市场平均水平低。 9.4.2当0时

当0时，该证券（资产）的收益率变化与市场反向。

这就意味着在市场收益率上升时，投资者应当选择投资于系数大于1的资产，而当市场收益率下降时，投资者应当选择投资于系数小于1的资产，以最大化其投资收益。 以上给出的关于CAPM的推导过程其实就是Sharpe的推导方法，事实上有另外一个叫作Linter的学者和Sharpe一样在上个世纪的六十年代给出了和Sharpe完全不一样的思路的关于CAPM的证明。

9.5 放弃部分假设的CAPM模型

在前面的分析中，我们给出了CAPM模型的八个假设，事实上呢，有一些假设的提出是为了分析的方便，而并不符合实际情况，现在我们来试图放弃一些假设，看看CAPM模型能否继续存在。

9.4.1 不存在无风险证券的情形

CAPM模型的标准形式要求市场中必须有利率为rf无风险证券，而且要求在一定的限度内，人们可以自由地以rf这个利率借或贷资金。

但是，在实际生活上，这些是不存在的，其理由如下：

（1）在全球性的通货膨胀中，即使对于政府发行的国库券，虽然利率是不变的，但这个利率是名义利率，由于存在通货膨胀，其实际利率仍是变化的，因此也是有风险的。

（2）要求借款和贷款和利率是一样的，这在现实世界里不大可能实现。一般情况下借款利率高于贷款利率，所以不存在一个无风险投资。

基于上述的理由，如果市场中没有这样的无风险证券呢，情况又会怎样呢？布莱克（Black，1972）在没有风险资产的条件下给出了更一般形式的CAPM模型，称为零资本资产定价模型。在这一模型中，任意资产i的期望超额收益可以通过它的系数表示为市场组合收益和关于市场组合的零资产组合（与市场组合不相关的资产组合）收益的线性函数，即：

EriEr0MiMErMEr0M

其中r0M为关于市场组合的零资产组合的收益，这个组合通常定义为与市场组合不相关的所有组合中方差最小的组合。

9.4.2 借款利率高于贷款利率的情形

一般来说，借款利率要高于贷款利率，否则人人都会借款而贷出，从而获得利率差。

如图9-5所示，其中，rB为借款利率（资金借入），rL为贷款利率（资金贷出），SG曲线上的点为有效组合，我们通过rL点和rB点分别向SG曲线作切线，分别切于M1和M2点。那么我们就得到了存在两个无风险利率情况下的最小方差集，它包括：直线LM1、曲线M1M2直线M2C，一共三个部分。

那么我们就知道：直线LM1表示投资者是贷款者；曲线M1M2表示投资者既不借款，也不贷款；直线MC’表示投资者是借款者。

这里需要注意的是，虚线部分所代表的组合是不可行的。以BM2为例，投资者总是以较高的利率贷款，例如以rB为利率贷款再投资，但是银行对他们的存款仅仅以rL付息，基于同样的道理，Mc也是不可行的。

图 9-5 借款利率高于贷款利率的情形

由于最小方差集分成了三个部分，那么描述任一证券（或组合）的期望收益率和其风险部分也分成了三部分。

（1）曲线M1M2部分，我们已经知道M1和M2所代表的组合均是有效组合，而市场证券组合M也是有效组合，它可以由M1和M2来线性表示，注意在M1M2这一段不存在无风险利率，根据我们在第一个问题中的叙述，对应于市场证券组合M，一定有一个和M线性

无关的零组合Z，使得：

EriErZiErMErZ

这里i的意义与前述相同

（2）直线LM1部分，由于M1是有效的证券组合，故我们可根据前面所述内容得：

ErirLiM1ErM1rL

这里：iM1



iM

1

2M1

（3）直线M2C部分，仿CAPM模型得到：

ErirBjM2ErM2rB

这里: iM2



iM

2

2M2

9.4.3 存在税收的情形

在这里我们主要考察存在所得税的情形，由于所得税是分级的，各种投资者由于收入不一样，所以被课税的税率也不一样，因此即使除了所得税外其他假定条件均成立，每一个投资者也因自身的课税的税率而拥有自己独有的“税后”有效集合。

迈克尔•布纶南（Michael Brennan，1970）导出了考虑所得税对证券的期望收益率与其风险的关系式：

ErirfErMrfifi,M,T

其中i,M,T是与股息率等有关的三个变量。

可见，加入税收因素后CAPM模型与传统的CAPM模型还是非常相似的，只不过这里考虑到税赋而引进了一个修正量fi,M,T。 9.4.4 考虑通货膨胀的情形

在这个方面作出贡献的学者是林德伯格（E.Lindererg）。

在目前情况下，通货膨胀几乎是全球性的，即使是国库券，其实际利率也是变化的，在这种情况下，我们理所当然地想起了采用零模型来描述任一证券的期望收益率和风险的关系。这样，对于借和贷的利率都必须经过通货膨胀的调整而变成了风险性投资。事实上

对于任一证券，我们都可以通过下式来计算经过通货膨胀调整过的实际收益率。

RR

这里：

1RN

1 1

RR——实际收益率

RN——名义收益率

——通货膨胀（随机变量）

零模型中的各种参数也要经过上述调整，就可以导出下面这个模型：

Erirfi

ErMrfM

iMi

2MM



这里：

i——证券i收益率与随机变量的协方差

M——市场证券组合与的协方差

——名义风险证券的值和市场上所有证券名义总值的比率

如果价格水平没有发生变化，则iM0，那么上式就简化成了传统的CAPM模型。

9.4.5 其他情形

还有很多其他学者对CAPM的一些假设作了修正，比如： （1）修正“无交易成本”假设

修正无交易成本这个基本假设，投资者可以不断买卖，使证券达到SML线上的状态。当存在交易成本时，投资者就不可能完全正确地对证券进行定价，此时证券的分布会非常接近SML，但不会恰好在SML上（不是一条单独的线），而是以SML为宽带的证券带，该带的宽窄会随着交易成本的大小而变化。这样，CAPM模型也将发生改变。

（2）修正“同质预期”假设

即所谓的投资者“期望不一致（Hemergeneous Expectations）”的问题。到目前为止，我们都是假定所有的投资者对所有证券收益率的期望值、方差乃至协方差均有同样的估计。但是在实际生活中，不可能对这些情况有一致的估计，因此每个投资者都有自己的一个主观

的最小方差集，即使不存在无风险利率，每个人持有的最优风险组合也不一样。

夏普（W.sharpe）、法马（Eugene． F． Fama）、林特勒（J． Lintler）和戈勒德斯（N．J．Gonedes）等人分别研究了投资者对资产将来的期望收益、收益的方差、协方差预期不一致时资本市场的均衡，得到了形式与标准CAPM类似的模型。

（3）其他

此外，默顿（Robert Merton）推导出跨时期的“ICAPM”,就是连续时间序列的模型（ICAPM），导出了资产风险溢价与其协方差之间的联系，但没有避免由于使用消费数据而导致的多期消费和资产组合选择之间的非线性关系的问题，所以有待进一步简化。

卢卡斯、布里德尼尔、克劳斯曼和希勒分别提出了基于消费的CAPM模型。他们假设投资者在整个生命期追求消费效用最大化来研究消费与资产的持有选择问题，得出了一个资产收益率与平均增长消费率存在正向线性关系的模型（CCAPM）。但是，由于有关消费和资产组合选择的问题是个随机动态的跨时期问题，因此很难对该模型进行验证。

重要概念 思考与练习 参考文献