动点及最值问题
动点及最值问题:
16.(2009陕西)如图,在锐角△
ABC 中,AB =∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值是
C ___________ .4
D
M
A N B
(第16题图) 25.(本小题满分11分)(2009临沂)
数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.∠AEF =90,且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ,求证:AE =EF . 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证△AME ≌△ECF ,所以AE =EF .
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
D D A A D A
F F
C C G G G 图1 图2 图3
(第25题图)
25.解:(1)正确. ·············································· (1分) 证明:在AB 上取一点M ,使AM =EC ,连接ME . (2分)
D A
∴BM =BE .∴∠BME =45°,∴∠AME =135°.
F CF 是外角平分线,
∴∠DCF =45°,
∴∠ECF =135°. ∴∠AME =∠ECF .
∠AEB +∠BAE =90°,∠AEB +∠CEF =90°, ∴∠BAE =∠CEF .
C G
∴△AME ≌△BCF (ASA ). ··································································· (5分) ∴AE =EF . ························································································· (6分)
(2)正确. ····················································· (7分) 证明:在BA 的延长线上取一点N . 使AN =CE ,连接NE . ··································· (8分) N ∴BN =BE . D A ∴∠N =∠PCE =45°. 四边形ABCD 是正方形, ∴AD ∥BE .
C G ∴∠DAE =∠BEA .
∴∠NAE =∠CEF .
∴△ANE ≌△ECF (ASA ). ································································· (10分) ∴AE =EF . ······················································································· (11分)
四边形:
1.已知□ABCD 中,∠B =70°,则∠A =______ °,∠C =______°,∠D =_____°. 3.在□ABCD 中,∠A +∠C =270°,则∠B =______°,∠C =______°.
2.如果平行四边形的一条边长是8,一条对角线长为6,那么它的另一条对角线长m 的取值范围是________.
4.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.
5.已知□ABCD 的对角线相交于点O ,且AC =24,BD =38,AD =28,则△BOC 的周长为 .
1.四边形ABCD 中,已知AB =CD ,若再增加一个条件(只填写一个)可得四边形ABCD 是平行四边形.
19.在口ABCD 中,点E 在边AD 上,将△ABE 以BE 为折痕翻折,点A 正好落在CD 上的点F ,若△FDE 的周长为8,△FCB 的周长为22,则FC 的长为_ .
3.菱形的两条对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm,则菱形的面积是_______cm2. 2.菱形ABCD 中,∠BAD =120°,AB =10 cm,则AC =. 8.在边长为6的菱形ABCD 中,∠DAB =60°,E 为AB 的中点,F 是AC 上一动点,则EF +BF 的最小值为 .
9.如图,过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ,那么
图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的关系是S 1(填“>”或“<”或“=”) 28.如图,设F 为正方形ABCD 的边AD 上一点,CE ⊥CF 交AB 的延长线于E ,若正方形ABCD 的面积为64,△CEF 的面积为50,则△CBE 的面积为________;
11.如图,矩形ABCD 的两边AB =3,BC =4,P 是AD 上任一点,PE ⊥AC 于点E ,PF ⊥BD 于点F .则PE +PF = _________.
F A D P A
M
E
B B
3.如图,矩形ABCD1111的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形ABCD2222,再顺次连结四边形ABCD2222四边中点得到四边形ABCD3333,依此类推,求四边形ABCDn n n n 的面积是 。
1.(2008年江西省)如图,有一底角为350的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是__________.
11. (达州15)如图6,在边长为2㎝的正方形ABCD 中,点Q 为BC 边的中点,点P 为对角线AC 上一动点,连接PB 、PQ ,则△PBQ 周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).
,13. (湛江)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD , ∠A +∠B =90° CD =5,AB =11,点
M 、N 分别为AB 、CD 的中点,则线段MN =
B
M
E
第13题图
2.正方形的边长是3,那么它的对角线长是_______. 3.对角线长为2的正方形的面积为__________.
□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,AC =12,BD =18,且△AOB 的周是23,则AB 的长_______.
10.平行四边形的两邻边分别为3、4,那么其对角线必( )
A .大于1 B .小于7 C .大于1且小于7 D .小于7或大于1 11.在□ABCD 中,∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是( )
A .1∶2∶3∶4 B .1∶2∶2∶1 C .1∶1∶2∶2 D .2∶1∶2∶1
11.某平行四边形的对角线长为x 和y ,一边长为12,则x 和y 的值可能是( ) A .8和14 B .10和14 C .18和20 D .10和34
13.如图,□ABCD 中,EF 过对角线的交点O ,AB =4,AD =3,OF =1.3,则四边形BCEF 的周长为( )
A .8.3 B .9.6 C .12.6 D .13.6
14.如图,P 是□ABCD 对角线上任一点,过P 作直线EF ∥BC ,GH ∥AB ,则图中面积相等的平行四边形有( )对.
A .1 B .2 C .3 D .4
E E C D C D
G
B A A B F
F
14.在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F ,且E 、F 分别为BC 、CD 的中点,则∠EAF 等于( )
A .75° B .45° C .60° D .30° 16.菱形的周长为100 cm,一条对角线长为14 cm,它的面积是( )
A .168 cm2 B .336 cm2 C .672 cm2 D .84 cm2
16.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分,则该矩形的周长是( )
A .16 B .22 C .26 D .22或26 2.(2008年•南宁市)如图2,将矩形纸片ABCD (图1)按如下步骤操作:(1)以过点A 的直线为折痕折叠纸片,使点B 恰好落在AD 边上,折痕与BC 边交于点E (如图2);(2)以过点E 的直线为折痕折叠纸片,使点A 落在BC 边上,折痕EF 交AD 边于点F (如图3);(3)将纸片收展平,那么∠AFE 的度数为:
(A )60° (B )67.5° (C )72° (D )75°
2.(2008年扬州市) 如图,已知四边形ABCD 中,R 、P 分别是BC 、CD 上的点,E 、F 分别是AP 、RP 的中点,当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时,那么下列结论成立的是 A 、线段EF 的长逐渐增大 B 、线段EF 的长逐渐减小
C 、线段EF 的长不变 D 、线段EF 的长与点P 的位置有关 D
A D
A
E
C P B
F
B C R
H
8.(齐齐哈尔) 在矩形ABCD
中,AB =1,AD =AF 平分∠DAB ,过C 点作
CE ⊥BD 于E ,延长AF 、EC 交于点H ,下列结论中:①AF =FH ;②BO =BF ;
③CA =CH ;④BE =3ED ,正确的是( )
A .②③ B .③④ C .①②④ D .②③④
1、梯形同一底上的两个角分别为70°、55°,则与70°相邻的腰长与梯形两底的关系是________;
2、一个等腰梯形的对角线互相垂直,梯形高为23cm ,则梯形面积为________;
∠A =50°,∠C =100°,(a >b ) ,3、在梯形ABCD 中,DC //AB ,若AB =a ,DC =b ,
则BC =________;
4、等腰梯形的两底之差为12cm ,高为6cm ,则其锐角为________; 5、直角梯形ABCD 中,∠A =90°,AB =BC =1cm ,CD =
2cm ,对角线AC ⊥DC ,
则梯形的周 长是________;
6、直角梯形两底之差等于高,则其最大角为_______;
7、在梯形ABCD 中,已知:AD //BC ,AD =AB ,BC =BD ,∠A =120°,其它三个角为_______;
8、等腰梯形的对角线为17,底边长为10和20,则梯形的面积是________;
9、直角梯形ABCD 中,AD //BC ,AB ⊥BC ,E 是CD 中点,且AB =AD +BC ,则△ABE 是( )
A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形
10、梯形的两底长分别为16cm 和24cm ,下底角分别是60°和30°,则较短腰长为( ) A .8cm B .8cm C .12cm D .4cm
11、等腰梯形两底之差等于一腰长,则腰与上底的夹角为( ) A .60° B .120° C .135° D .150°
12、等腰梯形ABCD 中,AB //DC , AD =DC =10,∠DAB =60°,则此梯形的面积等于( )
A .75 B .
125
3 C . D . 2
13、如图,设在一个宽度为w 的小巷内,一个梯子的长为a ,梯子的脚位于P 点,将该梯子的顶端放于一堵墙上Q 点时,Q 离地面的高度为k ,梯子的倾斜角为45°,将该梯子的顶端放于另一堵墙上R 点时,R 离地面的高度为h ,且此时梯子的倾斜角为75°,则小巷的宽度等于( )
A .a B .RQ C .
k +h
D .h 2
一、选择题 1、(2009安徽芜湖4)下列命题中不成立的是( ) ...
A .矩形的对角线相等
B .三边对应相等的两个三角形全等
C .两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方
D .一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
2. (2009福建漳州8)如图,要使ABCD 成为矩形,需添加的条件是( ) A .AB =BC B .AC ⊥BD C .∠ABC =90° D .∠1=∠2 D
B C
第2题图 第3题图
3. (广西桂林10)如图, ABCD 中,AC 、BD 为对角线,BC=6,BC 边上的高为4,则阴影部分的面积为( ).
A .3 B .6 C .12 D .24
4.(广西桂林12)如图, 正方形ABCD 的边长为2,将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q 点从A 点出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A 止,同时点R 从B 点出发,沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B 止,在这个过程中,线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为( ). A .2 B .4-π C .π D .π-1 C
F
E
第 4题图 第5题图
5. (2009广西梧州18)如图,正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,AF ⊥DE 于点O , 则于( ) A .
AO
等DO
2 3
B .
12
C . 33
D .
1
2
6. (广西南宁7)如图,将一个长为10cm ,宽为8cm 的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( ) A .10cm
2
B .20cm C
.40cm
22
D .80cm
D
C A ′
2
7. (2009河北衡
阳10)如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠
第7题图 纸片使AD
边与对角线
BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为( )
第6题图
A .1
B .
43
C .
3 2
D .2
8.(2009齐齐哈尔9) 在矩形ABCD
中,AB =1,AD AF 平分∠DAB ,过C 点作
CE ⊥BD 于E ,延长AF 、EC 交于点H ,下列结论中:①AF =FH ;②BO =BF ;
③CA =CH ;④BE =3ED ,正确的是( )
A .②③ B .③④ C .①②④ D .②③④
9. (2009齐齐哈尔10)如图是一张矩形纸片ABCD ,AD=10cm,若将纸片沿DE 折叠,使DC 落在DA 上,点C 的对应点为点F ,若BE=6cm,则CD=( ) A .4cm B .6cm C .8cm D .10cm A D F D A C
C
B F
C B E
第8题图 第9题图 第10题图 H
10. (2009湖北武汉9)如图,已知O 是四边形ABCD 内一点,OA =OB =OC ,∠ABC =∠ADC =70°,则∠DAO +∠DCO 的大小是( ) A .70° B .110° C .140° D .150°
M 、N 、E 、11、(2009湖北孝感7)如图,正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ,
F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上,小明认为:若MN =EF ,则MN ⊥EF .小亮认为:若MN ⊥EF ,则MN =EF .你认为( ) A .仅小明对 B .仅小亮对 C .两人都对 D .两人都不对
E
A D D D
N E
A ' M
B
C
C
第11题图 第12题图 第13题图 12.(2009哈尔滨9)如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,DC ⊥BC ,将梯形沿对角线BD 折叠,点A 恰好落在DC 边上的点A '处,若∠A 'BC =20°,则∠A 'BD 的度数为( ). A .15° B .20° C . 25° D .30° 13. (2009辽宁抚顺)如图所示,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD +PE 的和最小,则这个最小值为( )
A
. B
. C .3 D
14.(2009山东淄博8) 如图,梯形ABCD 中,∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ,若EF =3,则梯形ABCD 的周长为( ) A .9 B .10.5 C .12 D .15
第14题图
C
P
F
15. (2009山东淄博11)矩形纸片ABCD 的边长AB =4,AD =2.将矩形纸片沿EF 折叠,使点A 与点C 重合,折叠后在其一面着色(如图),则着色部分的面积为( )
A . 8 B .
11 2
C . 4 D .
第15题图
16.(2009山东威海10) 如图,在四边形ABCD 中,E 是BC 边的中点,连结DE 并延长,交AB 的延长线于F 点,AB =BF .添加一个条件,使四边形ABCD 是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( ) D C A .AD =BC B .CD =BF C .∠A =∠C D .∠F =∠CDE
E
5 2
A
F
B
第16题图
17. (2009山东日照5)如图,在□ABCD 中,已知AD =8㎝, AB =6㎝, DE 平分∠ADC
A
D
交BC 边于点E ,则BE 等于( ) (A )2cm (C )6cm
18. (2009浙江杭州8)如图,在菱形ABCD 中,∠A =110°,E ,F 分别是边AB 和BC 的中
点,EP ⊥CD 于点P ,则∠FPC =( ) A .35° B .45° C .50° D .55
A E B
P C D
(B )4cm
B
E
C
(D )8cm
第17题图
第18题图
19. (2009四川内江4)如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 相交于点
O ,以下四个结论:①∠ABC =∠DCB ,②OA=OD ,③∠BCD =∠BDC ,④S ∆AOB =S∆DOC ,其中正确的是 A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①②④
第19题图 20.(2009四川内江4) 如图在矩形ABCD 中,若AC =2AB ,则∠AOB 的大小是( )
A. 30° C. 60°
B. 45° D.90°
一、填空题
1. (2009北京12)如图,正方形纸片ABCD 的边长为1,M ,N 分别是AD 、BC 边上的点,将纸片的一角沿过点B 的直线折叠,使点A 落在MN 上,落点记为A ',折痕交AD 于点E ,若M ,N 分别是AD ,BC 边的中点,则A 'N = M ,N 分别是AD ,BC 边上距DC 最近的n 等分点(n ≥2,且n 为整数),则A 'N =(用含有n 式子表示).
2. (2009福建莆田6)如图,菱形ABCD 的对角线相交于点O ,请你添加一个条件: ,使得该菱形为正方形.
3. (2009广西贺州12)如图,正方形ABCD 的边长为1cm ,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,
连接BF 、DE ,则图中阴影部分的面积 是 cm 2. A E
A '
B N 第2题图
第1题图 第3题图
4. (2009河南10)如图,在ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,点E 是BC 边的中点,OE =1,则AB 的长是 5. (2009齐齐哈尔19)如图,边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB =60°.连结对角线AC ,
以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1,使∠D 1AC =60°;连结AC 1,再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2,使∠D 2AC 1=60°;……,按此规律所作的第n 个菱形的边长为
2
A D
D C 1 2 D B E B C C A 第4题图 第7题图
第5题图
6、(2009齐齐哈尔20)用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形,所得的四边形的周长是____________.
7. (2009湖北鄂州)如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC .已知BC =CD =AC =AB =,则BD 的长为.
8、(2009江西15)如图,一活动菱形衣架中,菱形的边均为16cm ,若墙上钉子间的距离AB =BC =16cm ,则∠1=
H
1 C B
O
第8题图
第9题图
9. (2009辽宁本溪14)如图所示,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,H 为AD 边中点,菱形ABCD 的周长为24,则OH 的长等于 .
AD ∥BC ,∠B =60°,AD =4,BC =7,10. (2009浙江南充11)如图等腰梯形ABCD 中,
则梯形ABCD 的周长是 . C B
第10题图
11. (2009四川达州15)如图6,在边长为2㎝的正方形ABCD 中,点Q 为BC 边的中点,点P 为对角线AC 上一动点,连接PB 、PQ ,则△PBQ 周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).
第11题图
12(2009山西太原20)如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BC =4AD
=∠B =45°.直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动,一直角边始终经过点A ,斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形,则CF 的长等于 .
M
B
第13题图 第12题图
,,13. (2009广东湛江13)如图,在梯形ABCD 中,A B ∥C D ∠A +∠B =90°
CD =5,AB =11,点M 、N 分别为AB 、CD 的中点,则线段MN =. 二、解答题 1、(2009安徽芜湖21)
,AD =3,BC =8. 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BD =CD ,∠BDC =90°
求AB 的长. A
B C
2、(2009安徽19)
学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加dcm
,如图所示.已知每个菱形图案的边长,其一个内角为60°.
(1)若d =26,则该纹饰要231个菱形图案,求纹饰的长度L ;
(2)当d =20时,若保持(1)中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案? 3.(2009安徽20)
如图,将正方形沿图中虚线(其中x <y )剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰 .能拼成一个矩形(非正方形). .....
(1)画出拼成的矩形的简图; (2)求
x
x
的值. y
y
4、(2009北京19)
∠B =90°,∠C =45°,AD =1,BC =4,E 为AB 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,
的中点,EF ∥DC 交BC 于点F ,求EF 的长. A E B
F
5. (2009北京22) 阅读下列材料: 小明遇到一个问题:5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示,将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是:按图2所示的方法分割后,将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处,依此方法继续操作,即可拼接成一个新的正方形DEFG .请你参考小明的做法解决下列问
图2 图1 题:
(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图3所示. 请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求:在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行..四边形即可);
(2)如图4,在面积为2的平行四边形ABCD 中,点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ .请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小(画图并直接写出结果). ..
6. (2009福建宁德20)
如图:点A 、D 、B 、E 在同一直线上,AD=BE,AC=DF,AC ∥DF ,请从图中找出一个与∠E 相等的角,并加以证明.
(不再添加其他的字母与线段)
图3
E B
F 图4
G D
A D B E
7. (2009福建宁德25) 如图(1),已知正方形ABCD 在直线MN 的上方,BC 在直线MN 上,E 是BC 上一点,以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG .
(1)连接GD ,求证:△ADG ≌△ABE ;(4分)
(2)连接FC ,观察并猜测∠FCN 的度数,并说明理由;(4分) (3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD 改为矩形ABCD ,AB=a,BC=b(a 、b 为常数),E 是线段BC 上一动点(不含端点B 、C ),以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ,使顶点G 恰好落在射线CD 上.判断当点E 由B 向C 运动时,∠FCN 的大小是否总保持不变,若∠FCN 的大小不变,请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值;若∠FCN 的大小发生改变,请举例说明.(5分)
D D
F
F
B M M B E C N E C N
图(2) 图(1)
8. (2009福建莆田19)
已知:如图在ABCD 中,过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线、
AB 、DC 、BC 的延长线于点E 、M 、N 、F .
(1)观察图形并找出一对全等三角形:△________≌△____________,请加以证明;
(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样
的变换得到?
A
9. (2009福建泉州21)
如图,E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点,过A 作AF ⊥AE ,交CB 延长线于点F ,求证:
△ADE ≌△ABF.
10(2009广东18) 在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,AB =5,AC =6.过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E . (1)求△BDE 的周长;
(2)点P 为线段BC 上的点,连接PO 并延长交AD 于点Q . 求证:BP =DQ .
F _
B _
C _
A _
D _ E _
Q D
E C
11. (2009广东清远)
如图,已知正方形ABCD ,点E 是AB 上的一点,连结CE ,以CE 为一边,在CE 的上方
F
作正方形CEFG ,连结DG . 求证:△CBE ≌△CDG
A G
E
12. (2009广东佛山18)
如图,在正方形ABCD 中,CE ⊥DF .若CE =10cm ,求DF 的长.
A D
E C B F
13.(2009广东广州24) 如图,边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形,EF 与GH 交于点P .
(1)若AG =AE ,证明:AF =AH ;
(2)若∠FAH =45°,证明:AG +AE =FH ;
(3)若Rt △GBF 的周长为1,求矩形EPHD 的面积.
E
A D
H G P
C B F
14. (2009广西玉林)
矩形A B C D 中,点E 、F 分别在AB 、BC 上,△D E F 为等腰直角三角形,
∠DEF =90°,AD +CD =10,AE =2,求AD 的长. C
15. (2009广西桂林21)
如图:在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 相交于O . (1)图中共有 对全等三角形;
(2)写出你认为全等的一对三角形,并证明. B
16. (2009广西梧州23) MN 于E ,连结AE 、CD . (1)求证:AD =CE ;
(2)填空:四边形ADCE 的形状是 .
D C
如图(7),△ABC 中,AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ,交AC 于点O ,CE ∥AB 交
A M
E
N
B
17.(广西崇左24) 如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AD ∥BC ,AB =DC ,AD =2,BC =4,延长BC 到
E ,使CE =AD .
(1)证明:△BAD ≌△DCE ;
(2)如果AC ⊥BD ,求等腰梯形ABCD 的高DF 的值.
D A
E
18. (2009广西崇在25)如图-1,在边长为5的正方形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点,且AE ⊥EF ,BE =2. (1)求EC ∶CF 的值;
(2)延长EF 交正方形外角平分线CP 于点P (如图-2),试判断AE 与EP 的大小关系,并说明理由;
(3)在图-2的AB 边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
D P
F
B E C B E C
图-1 图-2
19. (广西贺州24)(1)请用尺规作图:作△BC 'D 与△BCD 关于矩形ABCD 的对角线BD 所在的直线对称(要求:在原图中作图,不写作法,不证明,保留作图痕迹).
(2)若矩形ABCD 的边AB=5,BC=12,(1)中BC '交AD 于点E ,求线段BE 的长.
A D
B C
20. (2009贵州安顺25)
如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的一点,E 是AD 的中点,过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ,且AF=BD,连结BF 。 (1) 求证:BD=CD;
(2) 如果AB=AC,试判断四边形AFBD 的形状,并证明你的结论。
A
B
21. (2009贵州黔东南24)
如图l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线,且每相邻的两条平行直线间的距离为h ,正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上,且正方形ABCD 的面积是25。 (1) 连结EF ,证明△ABE 、△FBE 、△EDF 、△CDF 的面积相等。 (2)求h 的值。
C
E l 1 l 2 l 3 l 4
22. (2009河北24)
在图-1至图-3中,点B 是线段AC 的中点,点D 是线段CE 的中点.四边形BCGF 和CDHN 都是正方形.AE 的中点是M .
(1)如图-1,点E 在AC 的延长线上,点N 与点G 重合时,点M 与点C 重合, 求证:FM = MH,FM ⊥MH ;
(2)将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角,得到图-2,
求证:△FMH 是等腰直角三角形;
(3)将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况,
H △FMH 还是等腰直角三角形吗?(不必说明理由) B C A
M
图-2
G
H
C
M
图-3
23(2009河北衡阳23)
如图,△ABC 中,AB=AC,AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线,BE ⊥AE . (1)求证:DA ⊥AE ;
A
B
C (M )
D
E
G (N )
H
图-1
G
N
(2)试判断AB 与DE 是否相等?并证明你的结论
C
E
A F
24.(2009河南21)
,∠B =60°,BC =2.点O 是AC 的中点,过点O 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°
的直线l 从与AC 重合的位置开始,绕点O 作逆时针旋转,交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α.
(1)①当α= 度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为 ;
②当α= 度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为 ; (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形,并说明理由.
(备用图)
25. (2009齐齐哈尔)
如图,E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点,求证:AE=CE.
D
A
26. (2009湖北恩施18)
两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图6放置, AB =BF .
求证:四边形BNDM 为菱形.
C
B
27. (2009湖北襄樊23) 如图11所示,在Rt △ABC 中,∠ABC =90︒.将Rt △ABC 绕点C 顺时针方向旋转60︒得到△DEC ,点E 在AC 上,再将Rt △ABC 沿着AB 所在直线翻转180︒得到△ABF .连接
AD .
(1)求证:四边形AFCD 是菱形; (2)连接BE 并延长交AD 于G ,连接CG ,请问:四边形ABCG 是什么特殊平行四边
形?为什么?
A D
F C B
28、(2009湖北咸宁)如图,将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开,再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 'C 'D '.
(1)证明△A 'AD '≌△CC 'B ;
(2)若∠ACB =30°,试问当点C '在线段AC 上的什么位置时,四边形ABC 'D '是菱形,
D ' 并请说明理由. D
C A ' A
29. (2009湖北黄冈14) 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点E 为AB 中点,连结CE ,过点E 作ED ⊥BC 于点D ,在DE 的延长线上取一点F ,使AF=CE.求证:四边形ACEF 是平行四边形.
B
F
D C
30. (2009湖北黄石市24)
如图,△ABC 中,点O 是边AC 上一个动点,过O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F . (1)探究:线段OE 与OF 的数量关系并加以证明;(3分)
(2)当点O 在边AC 上运动时,四边形BCFE 会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由;(3分)
(3)当点O 运动到何处,且△ABC 满足什么条件时,四边形AECF 是正方形?(3分) A
E F N
B
C D
31. (2009湖南邵阳17)
如图,沿矩形的一条对角线剪开,将得到的两个直角三角形的最短边重合(两个三角形分别在重合边所在直线的两侧),能拼成几种平面图形?画出图形。
32. (2009吉林长春24)
如图,在ABCD 中,∠BAD =32°,分别以BC 、CD 为边向外作△BCE 和△DCF ,使BE =BC ,DF =DC ,∠EBC =∠CDF .延长AB 交边EC 于点H ,点H 在E 、C 两点之间,连结AE 、AF .
(1)求证:△ABE ≌△FDA .
(2)当AE ⊥AF 时,求∠EBH 的度数.
A
C
E
33. (2009吉林长春19)
图①、图②均为7⨯6的正方形网格,点A 、B 、C 在格点上.
(1)在图①中确定格点D ,并画出以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形,使其为轴对称图形.(画一个即可)
(2)在图②中确定格点E ,并画出以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形,使其为中心对称图形.(画一个即可)
图①
图②
34. (2009吉林26)
CE =2cm,两个长为2cm ,宽为1cm 的长方形,摆放在直线l 上(如图①),将长方形ABCD
绕着点C 顺时针旋转α角,将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转相同的角度. (1)当旋转到顶点D 、H 重合时,连接AG (如图②),求点D 到AG 的距离; (2)当α=45°时(如图③),求证:四边形MHND 为正方形.
A D H G
l B C E F
图① G A
H
F l
C E
图②
A C
F
l
35. (2009江苏23)
如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ∥DE ,AF ∥DC ,E 、F 两点在边BC 上,且四边形AEFD 是平行四边形.
(1)AD 与BC 有何等量关系?请说明理由;
AB DC ABCD (2)当时,求证:是矩形.
C B
36、(2009辽宁铁岭25) △ABC 是等边三角形,△ADE .点D 是射线BC 上的一个动点(点D 不与点B 、C 重合),
是以AD 为边的等边三角形,过点E 作BC 的平行线,分别交射线AB 、AC 于点F 、G ,连接BE .
(1)如图(a )所示,当点D 在线段BC 上时. ①求证:△AEB ≌△ADC ;
②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形?并说明理由;
(2)如图(b )所示,当点D 在BC 的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立? (3)在(2)的情况下,当点D 运动到什么位置时,四边形BCGE 是菱形?并说明理由. A A
B C D B D 图(a )
F G
E
图(b )
37. (2009山东德州23)
已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG .
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG .问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
D D
E
图②
图③ 图①
38、(2009山东威海23)
,H 分别为边AB ,BC ,CD ,DA 上的点,如图1,在正方形ABCD 中,E ,F ,G
HA =EB =FC =GD ,连接EG ,FH ,交点为O .
(1)如图2,连接EF ,FG ,GH ,HE ,试判断四边形EFGH 的形状,并证明你的结论;
C C D
F F
H H B A A B E
(图1) (图
2) (图3)
(2)将正方形ABCD 沿线段EG , HF 剪开,再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD 的边长为3cm ,HA =EB =FC =GD =1cm ,则图3中阴影部分的面积为_________cm .
39. (2009浙江衢州20)如图,四边形ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形,且点P 在矩形上方,点Q 在矩形内.
求证:(1)∠PBA =∠PCQ =30°;(2)P A =PQ .
P
D
Q C B
40. (2009浙江湖州20)
如图:已知在△ABC 中,A B =A C ,D 为BC 边的中点,过点D 作DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E ,F .
(1) 求证:△BED ≌△CFD ;
(2)若∠A =90°,求证:四边形DFAE 是正方形.
C
D
41. (2009浙江邵阳19)
如图在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD =DC ,AC ⊥AB ,将CB 延长至点F ,使BF =CD .
(1)求∠ABC 的度数;
(2)求证:△CAF 为等腰三角形.
B
2
42. (2009浙江南充15)
如图ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE ⊥AG 于E ,BF ∥DE ,交AG 于F .
A D 求证:AF =BF +EF .
E
B C
G
43. (2009浙江绍兴22)
若从矩形一边上的点到对边的视角是直角,则称该点为直角点.例如,如图的矩形ABCD 中,点M 在CD 边上,连AM ,BM ,∠AMB =90°,则点M 为直角点.
(1)若矩形ABCD 一边CD 上的直角点M 为中点,问该矩形的邻边具有何种数量关系?并说明理由;
(2)若点M ,N 分别为矩形ABCD 边CD ,AB
上的直角点,且AB =4,BC =MN 的长.
D
M
C
A
B
44. (2009浙江义乌19)
(1)如图1,正方形网格中有一个平行四边形,请在图1中画一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分;
(2)把图2中的平行四边形分割成四个全等的四边形(要求在图2中画出分割线),并把所得....的四个全等的四边形在图3中拼成一个轴对称图形或中心对称图形,使所得图形与原图形不全等且各个顶点都落在格点上。 温馨提示:作图时,可先使用2B 铅笔,确定后必须使用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑。
45. (2009浙江台州23)定义:到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的
点叫凸四边形的准内点.如图1,PH =PJ ,PI =PG ,则点P 就是四边形ABCD 的...
准内点.
A
J G
H 图1
E
D
I F
A J
D
图4
C I 图2
(1)如图2, ∠AFD 与∠DEC 的角平分线FP ,EP 相交于点P .
求证:点P 是四边形ABCD 的准内点.
(2)分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.
(作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明) (3)判断下列命题的真假,在括号内填“真”或“假”. ①任意凸四边形一定存在准内点.( ) ②任意凸四边形一定只有一个准内点.( )
③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点,则PA +PB =PC +PD 或PA +PC =PB +PD .( )
46. (2009浙江杭州22)
如图,在等腰梯形ABCD 中,∠C =60°,AD ∥BC ,且AD =DC ,E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上,且DE =CF ,AF 、BE 交于点P . (1)求证:AF =BE ;
(2)请你猜测∠BPF 的度数,并证明你的结论.
B
P
D
C
47. (2009四川内江加试卷5) 阅读材料:
如图,△ABC 中,AB =AC ,P 为底边BC 上任意一点,点P 到两腰的距离分别为r 1,r 2,腰上的高为h ,连接AP ,则S △ABP +S △ACP =S △ABC . 即:
111
AB r 1+AC r 2=AB h 222
1
A
B
A
M
C
P r 2C D
. ∴r 1+r 2=h (定值)
(1)理解与应用
如图,在边长为3的正方形ABCD 中,点E 为对角线BD 上的一点,且BE =BC ,F 为CE 上一点,FM ⊥BC 于M ,FN ⊥BD 于N ,试利用上述结论求出FM +FN 的长. (2)类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”,那么P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”,即: 已知等边△ABC 内任意一点P 到各边的距离分别为等边△ABC 的高为h ,试证明r r 1,r 2,r 3,1+r 2+r 3=h (定值).
(3)拓展与延伸
若正n 边形A 1A 2 A n 内部任意一点P 到各边的距离为B rr 1+r 2+ +r n 是否为定值,如果是,请合12 r n ,请问是r
r 3
h r
1
2
C
理猜测出这个定值.
48. (2009四川眉山22)
在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB ⊥BC ,∠A =60°,AB =2CD ,E 、F 分别为AB 、AD
的中点,连结EF 、EC 、BF 、CF 。。 ⑴判断四边形AECD 的形状(不证明);
⑵在不添加其它条件下,写出图中一对全等的三角形,用符号“≌”表示,并证明。 ⑶若CD =2,求四边形BCFE 的面积。
49. (2009四川泰安26)
如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠ABC=90°,AD ∥BC ,AB=BC,E 是AB 的中点,CE ⊥BD 。 (1) 求证:BE=AD;
(2)求证:AC 是线段ED 的垂直平分线; (3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由
E
C
50. (2009四川重庆24)
已知:如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,DE ⊥AC 于点F ,交BC 于点G ,交AB 的延长线于点E ,且AE =AC .
A (1)求证:BG =FG ;
(2)若AD =DC =2,求AB 的长.
B G
C
51(2009四川资阳18) 如图,已知□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,AC =12,BD =18,且△AOB 的周长l =23,求AB 的长.
52(2009青海27)
请阅读,完成证明和填空.
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下: A A A D B E
„
C B C B
N 图12-1 图12-2 图12-3
(1)如图12-1,正三角形ABC 中,在AB 、AC 边上分别取点M 、N ,使BM =AN ,连接BN 、CM ,发现BN =CM ,且∠NOC =60°. 请证明:∠NOC =60°.
(2)如图12-2,正方形ABCD 中,在AB 、BC 边上分别取点M 、N ,使AM =BN ,连接AN 、DM ,那么AN = ,且∠DON = 度.
(3)如图12-3,正五边形ABCDE 中,在AB 、BC 边上分别取点M 、N ,使A M =B N ,连接AN 、EM ,那么AN = ,且∠EON = 度.
(4)在正n 边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论.
请大胆猜测,用一句话概括你的发现:
53. (2009乌鲁木齐16)
如图将ABCD 的对角线BD 向两个方向延长至点E 和点F ,使BE =DF ,求证四边形AECF 是平行四边形. A F
E
54.(2009湖北十堰24)
如图①,四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点,DE ⊥AG 于点E ,BF ⊥AG 于点F .
(1) 求证:DE -BF = EF.
(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系, 并说明理由. (3) 若点G 为CB 延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系(不需要证明).
①
②
55.(2009广东中山市19)
如图所示,在矩形ABCD 中,AB =12,AC =20,两条对角线相交于点O .以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ,对角线相交于点A 1为邻边作第21,再以A 1B 1、AC 个平行四边形A 1B 1C 1C ,对角线相交于点O 1;再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形
O 1B 1B 2C 1„„依次类推.
(1)求矩形ABCD 的面积;
(2)求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积.
A
D
A 1
B 1
B 2
B
C
C 1 C 2
如图,等腰梯形
ABCD 中,AD ∥BC ,∠DBC=45°.翻折梯形ABCD ,使点B 重合于点D ,折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E .若AD=2,BC=8,则BE 的长是5,
CD :DE 的值是
:5 .:
过点A 作AG ⊥BC 于G , ∴∠AGC=∠AGB=90°,
∵BE=DE,∠EDB=DBE=45°, ∴∠DEB=
∠DEC=90°,
∵四边形ABCD 是等腰梯形, ∴AD ∥BC ,
AB=CD, ∴AG=DE,∠ADE=90°,
∴△ABG ≌△DCE (HL ), ∴四边形AGED 是矩形, ∴BG=CE,AD=GE, ∴EC= (BC-AD )=3, ∴BE=DE=5; ∴CD= , ∴CD :DE 的值是
:5.