两类调和函数的基本积分公式
第26卷 第2期 2011年4月 天 中 学 刊 V ol. 26 No. 2 Journal of Tianzhong Apr. 2011
两类调和函数的基本积分公式
陈
莹
(黄淮学院 数学科学系,河南 驻马店 463000)
摘 要:主要研究了二维和三维调和函数的基本积分公式,给出了两类调和函数基本积分公式的证明,得出了M 0在区域Ω内、区域Ω外及边界Γ上3种情况下基本积分公式的相应结果. 关键词:调和函数;格林公式;基本解;积分公式 中图分类号:O175.2
文献标志码:A
文章编号:1006-5261(2011) 02-0001-02
1 相关理论知识 1.1 格林公式
设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域,
u =u (x ,,y z ) 和v =v (x ,,y z ) 及其所有一阶偏导数在
称为三维拉普拉斯方程的基本解. 2 主要结果 2.1 三维的情形
结论1 对于三维调和函数,有
当M 0在Ω外⎧0,
⎪
−∫∫u ∂1−1∂u d S =⎨2πu (M 0) ,当M 0在Γ上
Γ⎪4πu (M ). 当M 在Ω内
00⎩
(5)
证明:(I ) 若M 0在Ω内,由(3) 式可得
闭区域Ω∪Γ上连续,它们的所有二阶偏导数在Ω内连续,则有格林第一公式:
((1
∫∫∫u ∆v d Ω=
Ω
∫∫u d S −∫∫∫
Γ
Ω
∂v
v +∂u ∂v +∂u ∂v d Ω, (∂u ∂)
(1)
222
其中∆=∂2+∂2+∂2∂表示外法向导数.
∂x ∂y ∂z Ω\K ε
∫∫∫(u ∆−∆u )d Ω=∫∫
1
Γ∪Γε
−1u )d S . )(u (1将(1) 式中函数u 与v 的位置交换,可得
∫∫∫v ∆u d Ω=
Ω
(6)
在(6) 式中,K ε为Ω内一个以M 0为中心,以充分小正数ε为半径的球,Γε是球的表面.在区域Ω\K ε内,(2)
∆u =0,∆r ) =0. 在球面Γε上,
∂1=−∂1=1=1 22
∫∫u ∂d S =ε2∫∫u d S =4πu ∗,ΓεΓε
∫∫v d S −∫∫∫
Γ
Ω
++d Ω.
((1) 式减去(2) 式,可以得到格林第二公式
∂v ∂u
∫∫∫(u ∆v −v ∆u )d Ω=∫∫u −v d S . ΩΓ
(()
()
(3)
()
(3) 式对Ω内二阶连续可导,在Ω∪Γ上有连续一阶偏导数的任意函数u =u (x ,,y z ) 和v =v (x ,,y z ) 成立. 1.2 三维拉普拉斯方程的基本解
y 0,z 0) 是区域Ω内的一个固定点,除点若M 0(x 0,
M 0外,函数v =r M 0M 处处满足三维拉普拉斯方程∆u =0,则
其中u ∗是函数u 在球面Γε上的平均值.同理可得
1∂u 1∂u ∂u
∫∫d S =∫∫d S =4πε, ΓεΓε
∗
其中∂u 是函数∂u 在球面Γε上的平均值.因此,由(6) 式得
∗
v =r M 0M = (4)
收稿日期:2011-03-02
基金项目:河南省科技厅自然科学研究计划项目([1**********]0) 作者简介:陈莹(1982―),女,河南正阳人,讲师,硕士.
∫∫(
Γ
u ∂1−1∂u d S +4πu ∗−4πε∂u =0.
())
∗
(7)
·2· 陈莹:两类调和函数的基本积分公式
在(7) 式中令ε→0可得
−∫∫u ∂1−1∂u d S =4πu (M 0).
Γ
在(11) 式中,K ε为Ω内一个以M 0为中心,以充分小正数ε为半径的小圆,Γε是K ε的边界.在区域Ω\K ε内,∆u =0,∆r ) =0. 在边界Γε上,
ln =−ln ==
ln d s =u d s =2πu ∗,u ∫∂Γ∫ε
Γε
其中u ∗是函数u 在边界Γε上的平均值.同理可得
1∂u 1∂u 1∂u ∫ln s =ln ∫s =2πεln , ΓεΓε
∗
(()
)
(II ) 若M 0在Ω外,直接应用公式(3) 可得
∫∫∫(u ∆()−∆u )d Ω=∫∫(u ∂(−∂d S =0,
ΩΓ
因为M 0不在Ω内,所以不必挖球.
(III ) 若M 0在Γ上,则作一个以M 0为中心,以充分小正数ε为半径的球,含于Ω内的部分记作K ε,含于Ω边界的部分记作Γε. 采用M 0在Ω内情况下的推导方法,可得在区域Ω\K ε内,∆u =0,∆r ) =0. 在球面Γε上,
∂1=−∂1=1=1
d S =u d S =2πu ∗. u ∫∫∂2∫∫ΓεΓε
()()
其中∂u 是函数∂u 在边界Γε上的平均值.当ε→0
时,∫ln d s →0,所以
∂Γε
−∫u ln −ln d s =2πu (M 0).
∂∂Γ
∗
(()
同理可得
(II ) 若M 0在Ω外,v =r ) 在Ω内处处调和,直接应用公式(9) 式可得
0=∫u ln −ln d s .
∂∂Γ
∫∫S =∫∫S =2πεΓε
Γε
1∂u 1∂u
∂u .
∗
()
因此,由(3) 式得
(III ) 若M 0在Γ上,则作一个以M 0为中心,以充
∫∫(
Γ
u −d S +2πu ∗−2πε=0,
∂∂∂()∗
(8)
分小正数ε为半径的小圆,含于Ω内的部分记作K ε,含于Ω边界的部分记作Γε. 采用M 0在Ω内情况下的推导方法,可得在区域Ω\K ε内,∆u =0,∆r ) =0. 在球面Γε上,
∂ln 1=−∂ln 1=1=1
∂ln 1s =1u d s =πu ∗. u ∫Γ∫ε
Γε同理可得
∫ln ∂s =ln ∫∂s =πεln ∂. ΓεΓε
∗
在(8) 式中令ε→0可得
−∫∫u ∂1−1∂u d S =2πu (M 0).
Γ
(())
证毕. 2.2 二维的情形
函设Ω是以光滑曲线Γ为边界的平面有界区域,y ) 和v =v (x ,y ) 及其一阶偏导数在闭区域数u =u (x ,
Ω∪Γ上连续,它们的所有二阶偏导数在Ω内连续,
则相应的格林公式为
∫∫(u ∆v −v ∆u )d Ω=∫(u ∂−v ∂)d s .
Ω
Γ
(
9)
因此,由(9) 式得
Γ
二维调和函数的基本解为
v =r M 0M =
∫
(
u ∂ln 1−ln 1∂u d s +πu ∗−πεln 1∂u =0,
−∫u ln −ln d s =πu (M 0) .
∂∂Γ
)
∗
当ε→0时,
此处M 0(x 0,y 0) 是Ω内的一个固定点.函数v =r ) 除点M 0外处处满足二维拉普拉斯方程∆u =0. 结论2 对于二维调和函数有下面的公式成立
当M 0在Ω外⎧0,
⎪
−∫u ln −ln d s =⎨πu (M 0) ,当M 0在Γ上
∂∂Γ⎪2πu (M ). 当M 在Ω内
00⎩
(10)
证明:(I ) 若M 0在Ω内,由(9) 式可得
∫∫u ∆ln −ln ∆u d Ω= Ω\K ε
(证毕.
参考文献:
[1] 谷超豪,李大潜,陈恕行,等.数学物理方程[M].2版.
北京:高等教育出版社,2002.
[2] 周蜀林.偏微分方程[M].北京:北京大学出版社,2005. [3] 吴方同.数学物理方程[M].武汉:武汉大学出版社,
2004.
〔责任编辑 张继金〕
(下转第70页)
()
()
Γ∪Γε
∫
(
u ln −ln d s . ∂∂)
(11)
·70· 刘增丽:从胡瑗的“苏湖教法”看教育教学艺术
印元刊本.
重视思考教学,引导学生多角度思考问题,从而培养学生的创新精神和创新能力;应注意将知识传授、能力训练、情感陶冶和意志培养有机地结合起来。
参考文献:
[2] 黄宗羲.宋元学案·安定学案[M].北京:中华书局,
1991.
[3] 宋史·胡瑗传[M].北京:中华书局,1977.
〔责任编辑 张继金〕
[1] 欧阳修.欧阳文忠公集:卷二六[M].《四部丛刊》影
HU Yuan’s “Suhu Teaching Methods”
LIU Zeng-li
(Huanghuai University, Zhumadian Henan 463000, China)
Abstract: HU Yuan’s “Suhu teaching methods”, which include separating teaching, encouraging, applying various methods
according to the students, playing games, spirit influence and building harmony relationship has the important influence in the history of Chinese education. His teaching methods display the remarkable education teaching arts, and still have important reference value for today’s education workers. Key word: HU Yuan; Suhu teachings; teaching art
(上接第2页)
The Basic Integral Formulas for Two Harmonic Functions
CHEN Ying
(Huanghuai University, Zhumadian Henan 463000, China)
Abstract: The basic integral formulas for two-dimensional and three-dimensional harmonic functions are mainly investigated.
The proofs of basic integral formulas of two harmonic functions are given and corresponding conclusions to basic integral formulas are obtained under different conditions: M 0 in Ω, M 0 out of Ω and M 0on Γ. Key words: harmonic function; Green formula; fundamental solution; integral formula