初中数学平移等腰直角三角形斜边上的高专题辅导.doc
初中数学平移等腰直角三角形斜边上的高
等腰三角形是美丽的轴对称图形，有许多重要性质和应用，尤其是当顶角是直角时成为等腰直角三角形，它又具有更多更重要的性质，等腰直角三角形斜边上的高（中线）等于斜边的一半，这条高线的平移在解题时可以产生神奇的作用。下面让我们一起感受它的魅力所在。
例1. 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC，BD=BC，求∠DBC的度数。
图1
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ΔABC是以BC为斜边的等腰直角三角形， ∴AE=
1
BC。 2
1
BC。 2
1
BD，因此∠DBC=30° 2
将线段AE平移到DF的位置，显然F点在BC上，因为AD∥BC，故有DF⊥BC且DF=AE，所以DF=
又因为BC=BD，故DF=
点评：ΔABC是等腰直角三角形，其斜边上的高AE平移至DF位置时又出现一个特殊的直角三角形ΔBFD，它的一条直角边DF等于斜边BD的一半，于是即得问题的答案。
这道题的图形内涵很丰富，几乎所有角的度数都可以算出来，∠ABO=15°， ∠AOB=75°，∠AOD=105°，∠OAD=45°，等等。
例2. 如图2，过正方形ABCD的顶点D作DE∥CA，且CE=CA，则∠E=________度。
图2
解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，则DF=
1
AC。 2
∵DE∥AC，
∴DF⊥DE。将DF平移到CG的位置，显然G点在DE上，则有CG⊥DE且CG=DF，所以CG=
1
AC。 2
因AC=CE，可知CG=
1
CE，所以∠E=30°。 2
点评：正方形问题常常涉及等腰直角三角形，这类题也是中考容易出现的题型。
思考题：若点E改在图3所示的位置，请同学们完成解题过程。
图3
例3. 如图4，F是正方形ABCD中BC延长线上的一点，CE是∠DCF的平分线，以B为圆心，BD为半径作弧交CE于G，若正方形的边长为a，求扇形DBG的面积。
图4
1
BD，易证BD∥CE，将CH平移到GI211
的位置，I在BD上，则有GI⊥BD且HC=GI，故GI=BD。又因BG=BD，所以GI=BG，
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故∠DBG=30°。易得BD=2BC=2a。
30π(2a)2πa2
∴S扇形BDG=。 =
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解：过C点作CH⊥BD，垂足为H，则CH=
点评：图1和图4看上去差别很大，实际上只是放置位置的差别，如果连接DG，图1
中的梯形ABCD和图4中的四边形BCGD完全一样。
例4. 如图5，正方形ABCD中，AC∥BF，AE∥CF且AE=AC。求证：∠CAF=∠FAE=∠EAB。
图5
证明：过B点作BG⊥AC，垂足为G，则BG=
1
AC。 2
将BG平移到EH的位置，H在AC上，因AC∥BF， 则有EH⊥AC且EH=BG，故EH=又因AC=AE，所以EH=
1
AC。 2
1
AE，故∠CAE=30°。 2
因∠CAB=45°，可知∠BAE=15°。
易知四边形AEFC是菱形，所以∠CAF=∠FAE。 ∴∠CAF=∠FAE=∠EAB=15°。