光学传递函数的特性研究

第2卷　第2期2005年6月邵阳学院学报(自然科学版)

Journal of Shaoyang University (Natural Sciences ) Vol. 2. No. 2J un. 2005

文章编号:1672-7010(2005) 02-0018-03

光学传递函数的特性研究

朱湘柱1, 张建辉2

(1. 邵阳学院, 湖南邵阳　422000;2. 广州大学市政技术学院, 广东广州　510091)

摘要:本文用计算的方法, 较为深入而全面的总结、研究、分析了光学传递函数的特性. 关键词:光学传递函数; 性质; 截止频率中图分类号:O43　　　文献标识码:A

The Characteristic of Optical T ransfer ZHU Xiang -zhu ,ZHAN -(1. College of Sof t w are engi neeri ng , S , S , Hunan 422000;

2. M unici pal , , Guangz hou 510091)

Abstract :In of the characteristic of optical transfer function (O TF ) by use of a calculating method .

K ey w ords :Optical transfer function (O TF ) ; Characteristic ; Cut off frequency

　　1　引言

光学传递函数用于定量地评价光学系统的成像质量始于上世纪50年代之后. 1946年, 法国人P ・M ・

Deffieux 发表了题为《付里叶积分及其在光学中的应

函数.

O TF 理论上基于付里叶变换, 依据充分, 概念明

晰, 实践上又与传统的像质评价的标准相联系, 因此, 它一问世就立即得到国际上的重视. 近60年来,O TF 的研究已经取得相当的进展, 其主要工作是进行精确的计算与测量, 特别是随着计算机技术的发展, 对O TF 的计算速度和精度已达到相当满意的程度, 然而对于

O TF 本身性质的研究与讨论, 有关文献的论述是零散

用》一书, 该书以付里叶变换为数学手段, 从一个全新的角度来理解光学系统的成像过程. 同时也自然地引入了一个新的评价像质的指标, 即光学传递函数(opti 2

cal transfer function 缩写为O TF ) , 它是仿照电路信号传

的, 也是不深入、不全面的, 本文仅就这方面作了较为深入而全面的研究. 2　光学传递函数的性质

性质1:衍射受限系统的OTF 为一非负实函数或复函数

(1) 无像差情况下衍射受限系统的O T F 为一非负

递系统而得到. P ・M ・Deffieux 把光学系统看作是一个信号传递系统, 被成像的景物为该系统的“输入”, 而像面上的光强分布为该系统的“输出”. 为了研究“输入”与“输入”的关系, 他首先把物面光强分布分解成许多大小不一、方向各异的余弦型光强分布, 即所谓的付里叶分解, 然后他认为系统在传递这些余弦型光强分布的成分时, 将分别对它们施加不同程度的影响, 最后经受了这些影响的各余弦型的光强分布在像面上又叠加起来, 即所谓付里叶综合, 构成像面上的光强分布. 由此可知, 系统的作用最终归结为系统对各余弦型光强分布的影响情况, 而O TF 正是定量地反映这种影响的

3项目基金:邵阳学院首批院级重点科研项目, 项目编号:2003B05收稿日期:2004-12-08

实函数

无像差情况下衍射受限系统的O T F 的定义为:

(η) 无像差D ξ

G (x ,y ) G (x +λd ξ,y +λd η) d x d y

=

∫∫|G (x ,y ) |d x d y

i

i

∞

∞

2

(1)

-∞

上式中的G (x y ) 为光瞳函数, 分子表示两光瞳中心错

) , 男, 副教授, 主要研究方向:电磁场与光学. 作者简介:朱湘柱(1950-　

第2期朱湘柱, 张建辉:光学传递函数的特性研究19　

ξη) 表示. 分母是光开的距离为λd i 时重叠的面积, 用S (瞳出瞳的总面积, 用S 0表示. 故(1) 式又可写作为:

ξη) 无像差=(2) D (

S 0

ξη) 积总是要小于它们完全重叠时的面积, 所以有:D(≤D (00) .

性质4:光学传递函数的截止频率与像差无关, 它是对不同物理量的传递而言

由(2) 式可知, 当两光瞳如果完全分离时, 重叠面

ξη) =0, 光学传递函数为零时对应的积为零, 此时D (

ξη) 的定义这一空间特征频率称之为截止频率. 由D (ξη) ≤1, 可见光瞳相当于一个低通滤波可知,0≤D (

器, 低于某一频率的指数基元成分则按原样通过, 高于该频率的指数基元成分则将被截止, 不能通过. 截止频率的大小与光瞳的大小、因数有关, . 如圆形光瞳的截止

,R 为出瞳面, 像差的影响仅仅

ξη) 与S 0均为非负数, 因此D (ξη) 是一个上式中的S (非负实函数.

(2) 有像差情况下衍射受限系统的O TF 为一复函

数

由(1) 式可知:在无像差非相干照明情况下,O TF 为一非负实函数, 这意味着系统只改变各频率成分的对比度, 而不产生相移. 如果有像差时, 系统的作用必将对各频率成分的相位产生影响, 光瞳函数中应该包含有相位的成分, 此时的光瞳函数称之为广义光瞳函数, 定义为:

ξη) =G (ξη) ex p [jkw(x , ) H (

化, 仿照(1) :

(η) 有像差=D ξ

)

(3) 中的kw (x , y ) w (, y , 而相位畸变正是使像质变坏的原因.

对于同一系统, 进一步的计算结果, 用相干光照明

∫∫|H (x ,y ) |

(x ,y ) H (x +λd ξi ,y +λd ηi ) d x d y

∞

2

(4)

d x d y

与非相干光照明时, 其传递函数不同, 截止频率不一样, 而且用非相干光照明的截止频率为相干光的2倍. 这个结果并不意味着非相干光照明就一定比相干照明好一些. 这可通过具体的计算来说明. 如半径为a 的圆形光瞳, 采用相干照明, 截止频率为ρ相干=λR , 设横向

放大率为1, 物体的复振幅透过率为t 1(x ) =—cos

x —, 而且假如

式有:

2

b

b -∞

上式中分母的相位因子不影响积分值, 应仍为S 0, 然而分子中出现的相位因子, 它不仅影响输入各频率成分的对比度, 而且也改变相位, 产生相位移动. 因此, 有像

ξη) 有像差为一复函数. 差情况下衍射受限系统的D (

进一步利用数学上的许瓦兹不等式, 可以证明:

ξη) 有像差—≤—ξη) 无像差—(5) —D (D (ξη) 为厄米型的性质2:光学传递函数D (ξη) 的定义式可以看出无论有像差还是无像从D (ξη) =M (ξη) φ(ξη) ,D (ξ差, 它都是厄米型的. 又因D (

η) 的厄米性即:D(ξη) =D (-ξ, -η) ,M (ξη) =M (-ξ-η) φξη) =-φ(-ξ-η) . M (ξη) 是D (ξη) 的模, 称, (

ξη) 是D (ξη, ) 的辐角, 称之为调制传递函数(MTF ) φ, (之为相位传递函数(PTF ) . 由此可见, 调制传递函数是偶函数, 相位传递函数是奇函数.

ξη) ≤D (00) 性质3:光学传递函数D (00) =1,D (

(2) 、(4) 各式看出:当ξ=0η由(1) 、, =0时, 也就是当两个光瞳中心错开的距离为零时, 两个光瞳重叠, ξη) =S 0, 则D (00) =1. 这个结果正是O TF 归此时S (

一化的结果, 然而D (00) =1并不意味着物和像的背景光强相同, 这是由于光的反射、吸收、散射和光阑等因素存在的原因. 像面上的光强因为这些因素的影响总是要小于物面上的光强. 但是, 从对比度上考虑, 物、像零频分量的对比度却都是零, 即无所谓衰减, 所以

D (0,0) =1.

展开成付里叶级数:

t 1(x ) =—cos x —=[+cos x -cos x +…](6)

π21×3b 3×5b b

>ρ相干, 所以在相干照b

明下, 成像系统只允许零频分量通过, 而其他频谱分量

上式可以看出:物函数的基频

均被挡住, 物不能成像, 像面光强呈均匀分布. 如果采

ρ用非相干光照明ρ, 非相干=2, 相干, 它大于物的基频b

所以零频分量和基频分量均能通过系统参与成像, 尽

管像的基频分量被衰减, 高频分量被截断, 但像面上有图像存在. 由此看来, 非相干成像要比相干成像好, 因为非相干的截止频率高. 然而, 如果复振幅透过率换为

t 2(x ) =cos x , 显然t 1(x ) 与t 2(x ) 的振幅分布不同, 但

b

是它们的强度分布相同, 用相干光照明, 理想像的复振

幅分布为cos x i , 其频率为, 按如前所设, 系统的截

b

b

止频率为ρ, 且

布的复振幅能不受影响地通过系统成像. 改用非相干

从(2) 式可以看出:两个光瞳错开一定距离时重叠的面

20　邵阳学院学报(自然科学版) 第2卷

光照明, 其频率为

, 由如前所设, 系统的截止频率b b

ρ

的环节与因素构成一个光学串, 光学串的传递函数通过简单的推导得出:

ξη) 光学串=D 1(ξη) ・D 2(ξη) …ξη) D (D n (

(9)

成像, 但幅度要受到衰减. 由此看来, 在这种物的结构下, 相干照明却好于非相干照明.

上述计算表明, 在一些情况下, 对同一物理量强度而言, 非相干照明截止频率高, 成像优于相干照明; 而在另一些情况下, 相干照明截止频率低, 成像却又优于非相干照明. 究其原因是因为不同系统的截止频率是对不同物理量传递而言的. 对于非相干系统, 它是指能够传递的强度呈余弦变化的最高频率, 对于相干系统, 它是指能够传递的复振幅呈周期变化的最高频率. 即使物理量一致, 要判断成像的好坏也是困难的. 因此, 光从截止频率的数值上去作简单的比较是不合适的. 性质5:在具有轴对称的情况下,OTF 的存在

仍以圆形光瞳为例, . 传递函数为:

(0) 无光阑=D ξ

[cos -1

而光学串又类似多级放大器. 多级放大器的通频

ξη) 带总是要小于其中任何单级的通频带, 因为0

ξη) . 其中D (ξη) 光学串的模是MTF , 其表达式为:D (

ξη) 光学串=M 1(ξη) ・M 2(ξη) …M n (ξη) M (

(10)

ξη) 光学串的辐角是PTF , 其表达式为:其中D (

φ(ξη) 光学串=φ1(ξη) +φ2(ξη) +…φn (ξη) (11)

(10) 、(11) ,

. 3. 实际, 一方面用它去评价实际系统的成像指标, 另一方面又可用它作系统设计阶段的目标函数. 而用于改善像质的方法有两类, 其中一类是已知较模糊照片在

ξη) , 利用反傅立叶变换, 由D (ξη) 有成像过程中的D (

可能找到并恢复原物面上的光强, 以改善像质, 这种方法叫事后处理. 另一类是根据光学传递函数与光瞳函数的关系, 设定特定的摸板, 将其放置在系统的出瞳处, 改善大像差系统的成像质量, 这种方法叫事前处理. 可是对于光学传递函数的计算是复杂的, 一套完整的评价像质的数据与曲线太多, 但只要掌握并利用光学传递函数的特性, 可以减少计算的工作量.

参考文献:

[1]　麦伟麟著. 光学传递函数及其数理基础[M ].北京:国防

a -a

π

ξ(R /a ) 2]-λ

(7)

ξ在出射光瞳内嵌入一个半圆形光阑时, 再求出D (

0) 有光阑为:

(0) 有光阑=D ξ

π

[cos -1

λξλξ

a -a

(R ξ-λ/a ) 2]

(8)

(7) 、(8) 两式完全相同即D (ξ0) 无光阑=D (ξ

ξ0) 不能反0) 有光阑. 这表明在关于轴对称的情况下,D (

映出光阑的存在. 这可由公式(2) 的几何意义去理解.

ξη) 与分母S o 成比例变化, 从公式(2) 可见, 只要分子S (

ξη) 不变. 但必须注意, 在不对称的其他方向其比值D (

ξη) 的值是不同的. 上,D (

性质6:光学串的传递函数服从相乘律

由前述已知, 单个光学系统(光瞳) 是一个低通滤波器, 具有一定的通频带, 这与电子技术中的单级放大器类似. 而成像过程是需要经过许多环节的, 这一连串

工业出版社,1979.

[2]　苏显渝, 李继陶. 信息光学[M ].北京科学出版社,2000. [3]　王琦. 光学学报[J].1982, (2) :28-37. [4]　王琦. 光学学报[J].1982, (1) :23.[5]　余荣辉. 光学学报[J].1988, (6) :550.

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