单自由度系统的雾阻尼受迫振动
单自由度系统的雾阻尼受迫振动
工程中的自由振动,都会由于阻尼的存在而逐渐衰减,最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动,这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗,一般都承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。例如,交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统的振动,如图4-16所示;弹性梁上的电动机由于转子偏心,在转动时引起的振动,如图4-17所示,等等。
工程中常见的激振力多是周期变化的。一般回转机械,往复式机械,交流电磁铁等多会引起周期激振力。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力,简谐力F 随时间变化的关系可以写成
其中H 称为激振力的力幅,即激振力的最大值;w 是激振力的角频率;W 是激振力的初相角,它们都是定值。
1. 振动微分方程
图4-16所示的振动系统,其中物块的质量为m 。物块所受到的力有恢复力Fe 和激振力F ,如图4-18所示。取物块的平衡位置为坐标原点,坐标轴铅直向下,则恢复力Fe 在坐标轴上的投影为
其中k 为弹簧刚度系数。
设F 为简谐激振力,F 在坐标轴上的投影可以写成式(4-33)的形式。指点的运动微分方程为
将上式两端除以m ,并设
则得
该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式,是二阶常系数非齐次线性微分方程,它的解由两部分组成,即
其中x1对应于方程(4-35)的齐次通解,x2为其特解。由¥4-1知,齐次方程的通解为
设方程(4-35)的特解有如下形式:
其中b 为待定常数,将x2代入方程(4-35),得
解得
于是得方程(4-35)的全解为
2. 受迫振动的振幅
由式(4-36)和(4-37)知,在简谐激振的条件下,系统的受迫振动为谐振动,其振动频率等于激振力频率,振幅的大小与运动出示条件无关,而与振动系统的固有频率w0,激振力的力幅H ,激振力的频率w 有关。下面桃林受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系。
(1)若w ——0,此种激振力的周期趋近于无穷大,即激振力为一恒力,此时并不振动,所谓的振幅b0实为静力H 作用下的静变形。由式(4-37)得
(2)若0《w 《w0,则由式(4-37)知,w 值越大,振幅b 越大,即 b 随着频率w 单调上升,当w 接近w0时,振幅b 将趋近于无穷大。
(3)若w 》w0,按式(4-37),b 为负值。但习惯上把振幅都取为正值,因而此时b 取其绝对值,而视受迫振动x2与激振力反向,即式(4-36)的相位角应加(或减)180。这时,随着激振力频率w 增大,振幅b 减小。当w 趋于无穷大时,振幅b 趋于零。
上述振幅b 与激振力频率w 之间的关系可用图4-19a 中的曲线表示。该曲线称为振幅频率曲线,又称为共振曲线。为了使曲线具有更普遍的意义,我们将纵轴取为b=bb,横轴取为r=ww,b 和r 都是量纲一的量,振动频率曲线如图4-19b 所示。
3. 共振现象
在上述分析中,当w=w0时,即激振力频率等于系统的固有频率时,振幅b 在理论上应趋向无穷大,这种现象称为共振。
事实上,当w=w0时,式(4-37)没有意义,微分方程式(4-35)的特解应具有下面的形式:
将此式代入式(4-35)中,得
故共振时受迫振动的运动规律为
它的幅值为
由此可见,当w=w0时,系统共振,受迫振动的振幅随时间无限地增大,其运动图线如图4-20所示。
实际上,由于系统存在有阻尼,共振时振幅不可能达到无限大。但一般来说,共振时的振幅都是相当大的,往往使机器产生过大的变形,甚至造成破坏。因此如何避免发生共振室工程中一个非常重要的课题。