概率论与数理统计期末考试之置信区间与拒绝域(含答案)
概率论与数理统计期末
置信区间问题
八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设零件长度X 服从正态分布N (μ,1) 。求μ的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t 0.05(9)=2.262, t 0.05(8)=2.306, U 0.025=1.960 )
解：由于零件的长度服从正态分布,
所以U =
~N (0,1) P {|U |
所以μ
的置信区间为(-u 0.025
+u 0.025
经计算 =
1∑x
i =1
9
i
=6
μ的置信度为0.95的置信区间为 (6-1.96⨯ 即(5.347，6.653) 3,6+1.96⨯3)
八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (μ, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7
若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径μ的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t 0.05(9)=2.262, t 0.05(8)=2.306, U 0.025=1.960 )
解：由于滚珠的直径X 服从正态分布,
所以U =
~N (0,1) P {|U |
所以μ
的置信区间为：(-u 0.025
+u 0.025
经计算 =
9
∑x
i =1
9
i
=14.911
μ的置信度为0.95的置信区间为
(14.911-1.96+1.96 即(14.765，15.057)
2
八（3）、工厂生产一种零件, 其口径X (单位:毫米) 服从正态分布N (μ, σ) , 现从某日生产的零件中随机抽出9个, 分别测得其口径如下:
14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7
已知零件口径X 的标准差σ=0.15，求μ的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t 0.05(9)=2.262, t 0.05(8)=2.306, U 0.025=1.960 )
解：由于零件的口径服从正态分布,
所以U =
~N (0,1) P {|U |
所以μ
的置信区间为：(-u 0.025
+u 0.025
经计算 =
1∑x
i =1
9
i
=14.9
μ 的置信度为0.95的置信区间为 (14.9-1.96⨯ 即(14.802 ,14.998) 3,14.9+1.96⨯3)
八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S =3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差σ的置信度为0.95的置信区间。
2
(已知：χ0.0252(8)=17.535, χ0.9752(8)=2.18；χ0.0252(9)=19.02, χ0.9752(9)=2.7)
因为炮口速度服从正态分布，所以
W =
(n -1) S 2
σ
2
~χ2(n -1) P {χ0.0252(8)≤W ≤χ0.9752(8)}=0.95
⎛(n -1) S 2(n -1) S 2⎫σ的置信区间为：
χ2n -1, χ2n -1⎪⎪
0.975⎝0.025⎭
2
⎛8⨯98⨯9⎫
σ2的置信度0.95的置信区间为 , ⎪ 即(4.106,33.028)
17.5352.180⎝⎭
八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：
=162.67cm , s =4.20cm 。求该校女生身高方差σ2的置信度为0.95的置信区间。
(已知：χ0.0252(8)=17.535, χ0.9752(8)=2.18；χ0.0252(9)=19.02, χ0.9752(9)=2.7)
解：因为学生身高服从正态分布，所以W =
(n -1) S 2
σ2
~χ2(n -1) P {χ0.0252(8)≤W ≤χ0.9752(8)}=0.95
⎛(n -1) S 2⎛8⨯4.228⨯4.22⎫(n -1) S 2⎫2
σ的置信区间为： σ χ2n -1, χ2n -1⎪⎪ 的置信度0.95的置信区间为 17.535, 2.180⎪
0.975⎝⎭⎝0.025⎭
2
即(8.048,64.734)
八（6）、一批螺丝钉中, 随机抽取9个, 测得数据经计算如下：=16.10cm , s =2.10cm 。设螺丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差σ的置信度为0.95的置信区间。
2
(已知：χ0.0252(8)=17.535, χ0.9752(8)=2.18；χ0.0252(9)=19.02, χ0.9752(9)=2.7)
解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以
W =
(n -1) S 2
σ
2
~χ2(n -1) P {χ0.0252(8)≤W ≤χ0.9752(8)}=0.95
⎛(n -1) S 2(n -1) S 2⎫σ的置信区间为：
χ2n -1, χ2n -1⎪⎪
0.975⎝0.025⎭
2
⎛8⨯2.1028⨯2.102⎫
σ的置信度0.95的置信区间为 , ⎪ 即(2.012,16.183)
17.5352.180⎝⎭
2
八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值=32.58，样本方差
S 2=0.097。假定该产品的尺寸X 服从正态分布N (μ, σ2) , 其中σ2与μ均未知。求σ2的置信度为0.95的
置信区间。
(已知：χ0.0252(20)=34.17, χ0.9752(20)=9.591；χ0.0252(19)=32.852, χ0.9752(19)=8.907) 解：由于该产
品的尺寸服从正态分布，所以
W =
(n -1) S 2
σ2
~χ2(n -1) P {χ0.0252(19)≤W ≤χ0.9752(19)}=0.95
⎛(n -1) S 2(n -1) S 2⎫
σ的置信区间为：
χ2n -1, χ2n -1⎪⎪
0.975⎝0.025⎭
2
⎛19⨯0.09719⨯0.097⎫
σ2的置信度0.95的置信区间为 , ⎪ 即(0.056,0.207)
32.8528.907⎝⎭
八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X 服从正态分布N (μ, σ) 。从中随机抽取9根，经计算得其标准差为8.069。
2
求σ的置信度为0.95的置信区间。
2222
（已知：χ0.025(9)=19.023, χ0.975(9)=2.7，χ0.025(8)=17.535, χ0.975(8)=2.180）
2
解：由于抗拉强度服从正态分布所以，
W =
(n -1) S 2
σ
2
~χ2(n -1) P {χ0.0252(8)≤W ≤χ0.9752(8)}=0.95
(n -1) S 2(n -1) S 2σ的置信区间为：(2, 2)
χ0.025n -1χ0.975n -12
⎛8⨯8.06928⨯8.0692⎫
σ的置信度为0.95的置信区间为 , ⎪ ，即 (29.705,238.931)
17.5352.180⎝⎭
2
2
八（9）、设总体X ～N (μ, σ) ，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差S =0.07，试求总体方差的置
2
信度为0.95的置信区间。
(已知：χ0.0252(16)=28.845, χ0.9752(16)=6.908；χ0.0252(15)=27.488, χ0.9752(15)=6.262) 解：由于 X ～
N (μ, σ
2
)，所以W =
(n -1) S 2
σ2
~χ2(n -1) P {χ0.0252(15)≤W ≤χ0.9752(15)}=0.95
(n -1) S 2(n -1) S 2σ的置信区间为：(2, 2)
χ0.025n -1χ0.975n -12
⎛15⨯0.0715⨯0.07⎫
σ2的置信度0.95的置信区间为 , ⎪，即(0.038,0.168)
6.262⎭⎝27.488
2
八（10）、某岩石密度的测量误差X 服从正态分布N (μ, σ) ，取样本观测值16个，得样本方差S =0.04，
2
试求σ的置信度为95%的置信区间。
2
(已知：χ0.0252(16)=28.845, χ0.9752(16)=6.908；χ0.0252(15)=27.488, χ0.9752(15)=6.262) 解：由于 X ~
N (μ, σ
2
)，所以W =
(n -1) S 2
σ
2
~χ2(n -1) P {χ0.0252(15)≤W ≤χ0.9752(15)}=0.95
(n -1) S 2(n -1) S 2
σ的置信区间为：(2, 2)
χ0.025n -1χ0.975n -12
σ的置信度0.95的置信区间为：
2
⎛15⨯0.0415⨯0.04⎫
, ⎪ 即(0.022,0.096)
27.4886.262⎝⎭
拒绝域问题
九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定, 现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得
=287.5, ∑(x i -) 2=160.5。假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平α=0.1下，是否可以
i =1
10
相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16？
(已知：χ0.052(10)=18.31, χ0.952(10)=3.94; χ0.052(9)=16.9, χ0.952(9)=3.33)
解：待检验的假设是 H 0:σ=16 选择统计量 W =
2
(n -1) S 2
σ
2
在H 0成立时 W ~
χ2(9)
P {χ20.05(9)>W >χ20.95(9)}=0.90
取拒绝域w ={W >16.92, W
2
由样本数据知(n -1) S =160.5 W =
160.5
=10.03 16.92>10.03>3.33 16
接受H 0，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。
九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X 服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平α=0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?
(已知：χ0.0252(10)=20.48, χ0.9752(10)=3.25, χ0.0252(9)=19.02, χ0.9752(9)=2.7)
解：待检验的假设是 H 0:σ=0.03 选择统计量 W =
2
(n -1) S 2
σ
2
在H 0成立时 W ~
χ2(9)
P {χ20.025(9)>W >χ20.975(9)}=0.95
取拒绝域w ={W >19.023, W
由样本数据知 W =
(n -1) S 2
σ2
=
9⨯0.0375
=11.25
0.03
19.023>11.25>2.700
接受H 0，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。
九（3）、某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布N (μ,0.92) ，现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准差S=1.2。问在显著水平α=0.1下，该批产品的标准差是否有显著差异？
(已知：χ0.052(19)=30.14, χ0.952(19)=10.12；χ0.052(20)=31.41, χ0.952(20)=10.85)
解：待检验的假设是 H 0:σ=0.9 选择统计量 W =
(n -1) S 2
σ
2
在H 0成立时 W ~χ(19)
2
P {χ20.05(19)>W >χ20.95(19)}=0.90
取拒绝域w ={W >30.114, W
由样本数据知 W =
(n -1) S 2
σ2
19⨯1.22
==33.778 33.778>30.114 2
0.9
拒绝H 0，即认为这批产品的标准差有显著差异。
九（4）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X 服从正态分布N (4.55,0.11) 。现抽测了9炉铁
22
水, 算得铁水含碳量的平均值=4.445，若总体方差没有显著差异，即σ=0.11，问在α=0.05显著性水
2
平下，总体均值有无显著差异?
(已知：t 0.05(9)=2.262, t 0.05(8)=2.306, U 0.025=1.960 )
解：待检验的假设是 H 0:μ=4.55 选择统计量
U =
在H 0成立时 U ~N (0,1)
P {|U |>u 0.025}=0.05 取拒绝域w={|U |>1.960}
由样本数据知
U =
4.445-4.55
即认为总体==2.864 U >1.960 拒绝H 0，
0.11/3
均值有显著差异。
九（5）、已知某味精厂袋装味精的重量X ～N (μ, σ2) ，其中μ=15，σ=0.09，技术革新后，改用新机器包装。抽查9个样品，测定重量为（单位：克）
14.7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1
已知方差不变。问在α=0.05显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15？
2
(已知：t 0.05(15)=2.131, t 0.05(14)=2.145, U 0.025=1.960 )
解：待检验的假设是 H 0:μ=15 选择统计量
U =
在H 0成立时 U ~N (0,1)
P {|U |>u 0.025}=0.05 取拒绝域w={|U |>1.960}
经计算 =
9
∑
x i =14.967 U =
i =1
9
14.967-15
==0.33
0.3/3 接受H 0，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。
九（6）、某手表厂生产的男表表壳在正常情况下，其直径(单位:mm)服从正态分布N (20, 1)。在某天的生产过程中，随机抽查4只表壳，测得直径分别为: 19.5 19.8 20.0 20.5. 问在α=0.05显著性水平下，这天生产的表壳的均值是否正常?
(已知：t 0.05(4)=2.776, t 0.05(3)=3.182, U 0.025=1.960 )
解： 待检验的假设为 H 0: μ=20
选择统计量U =
当H 0成立时， U ～
N (0,1)
P {|U |>u 0.025}=0.05
19.95-20
==0.114
取拒绝域w={|U |>1.960} 经计算 =∑x i =19.95 i =14
接受H 0，即认为表壳的均值正常。
九（7）、某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为=10.48cm。假设方差不变，问在α=0.05显著性水平下，该切割机工作是否正常?
(已知：t 0.05(16)=2.12, t 0.05(15)=2.131, U 0.025=1.960 )
解： 待检验的假设为 H 0: μ=
10.5选择统计量U =
当H 0成立时， U ～ N (0,1)
P {|U |>u 0.025}=0.05 取拒绝域w={|U |>1.960}
10.48-10.58
==0.533
15 接受H 0，即认为切割机工作正常。
由已知
U =
=
U
九（8）、某厂生产某种零件，在正常生产的条件下，这种零件的周长服从正态分布，均值为0.13厘米。如果从某日生产的这种零件中任取9件测量后得=0.146厘米，S =0.016厘米。问该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样？
（ 已知：α=0.05, t 0.05(9)=2.262, t 0.05(8)=2.306, u 0.025=1.96 ） 解： 待检验的假设为 H 0: μ=
0.13选择统计量T =
当H 0成立时， T ～t (8) P {|T |>t 0.05(8)}=0.05 取拒绝域w={|T |>2.306}
由已知
T =
0.146-0.13
==3 拒绝H 0，即认为该生产的零件的平均轴长与往日有显著差异。
T >2.306
九、某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取9个样本，测得其平均寿命为1070小时，样本标准差S =109小时。问在α=0.05显著性水平下，检测灯泡的平均寿命有无显著变化？ (已知：t 0.05(9)=2.262, t 0.05(8)=2.306, U 0.025=1.960 ) 解： 待检验的假设为 H 0: μ=1120
选择统计量T =
当H 0成立时， T ～t (8) P {|T |>t 0.05(8)}=0.05 取拒绝域w={|T |>2.306} 由已知
T =
1070-1120
==1.376 接受H 0，即认为检测灯泡的平均寿命无显著变化。
T
九、正常人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者9人，测得其脉搏为（次/分）： 68 65 77 70 64 69 72 62 71
设患者的脉搏次数X 服从正态分布，经计算得其标准差为4.583。试在显著水平α=0.05下，检测患者的脉搏与正常人的脉搏有无显著差异？ (已知：t 0.05(8)=2.306, t 0.05(9)=2.262, U 0.025=1.960 ) 解： 待检验的假设为 H 0: μ=72
选择统计量T =
当H 0成立时， T ~ t (8) 0.05
P {|T |>
t
(8)}=0.05
19
取拒绝域w={|T |>2.306} 经计算=∑x i =68.667
9i =1
T =
68.667-72
==2.182 接受H 0，检测者的脉搏与正常的脉搏无显著差异。
T