优化重组卷6

优化重组卷(六)

一、选择题

1．某个小区住户共200户，为调查小区居民7月份的用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3) 的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m 3的住户的户数为( ) ．

A ．10 B ．50 C ．60 D ．140

[2013·青岛质检]

解析 小区内用水量超过15m 3的住户的户数为200×[(0.05＋0.01) ×5]＝60. 答案 C

2．在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶如图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x 的值为( ).

A.5 B ．[2013·衢州质检]

解析 由茎叶图知对应的成绩分别为：70,74,70＋x, 78,79,80,81，那么对应的1

平均成绩为x ＝7(70＋74＋70＋x ＋78＋79＋80＋81) ＝77，解得x ＝7. 答案 C

3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，„，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) ．

A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 [2013·陕西卷]

解析 依据系统抽样为等距抽样的特点，分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽1人，则抽到的人数为12. 答案 B

2⎛

4. x 2－x 5展开式中的常数项为( ) ． ⎝⎭

A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40

[2013·江西卷]

2⎫r 25－r ⎛r r 10－5r

－ 解析 T r ＋1＝C r (x ) ⎪＝C 5(－2) x ， 5

⎝x ⎭

2

令10－5r ＝0得r ＝2. 所以常数项为T 3＝C 25(－2) ＝40.

答案 C

5．满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b ) 的个数为( ) ．

A ．14 B ．13 C ．12 D ．10

[2013·福建卷]

解析 若a ＝0时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能； 当a ≠0时，需满足ab ≤1.

若a ＝－1时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能； 若a ＝1时，b ＝－1,0,1，有3种可能； 若a ＝2时，b ＝－1,0，有2种可能． 所以共有(a ，b ) 的个数为4＋4＋3＋2＝13. 答案 B

7．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X ) ＝3，则D (X ) 等于( ) ． 8642A. 5 B. 5 C. 5 D. 5

[2013·宁波模拟]

解析 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p ＝则有E (X ) ＝np ＝5×

3

，满足二项分布，3＋m

33＝3，解得m ＝2，那么D (X ) ＝np (1－p ) ＝5×53＋m

36⎛

× 1－5＝5⎝⎭答案 B

8．甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢23两局，比赛结束，乙胜出．已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为55则甲胜出的概率为( ) ．

16181921A. 25 B. 25 C. 25 D. 25

[2013·济南三模]

339

解析 由于乙赢两局，比赛结束，乙胜出，则乙胜出的概率为P ＝5×5＝25，那么甲胜出的概率为1－P ＝1－答案 A 二、填空题

9．从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法的种数为________．

[2013·济宁二模]

解析 ∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，

11

∴每个个体被抽到的概率是4，根据分层抽样要求，应选出8×42名女生，1

4×4＝1名男生．

21

∴有C 8×C 4＝112.

916

2525

答案 112

10．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答) [2013·重庆卷]

解析 按每科选派人数分3,1,1和2,2,1两类，当选派人数为3,1,1时，有3

311131113类，共有C 3C 4C 5＋C 3C 4C 5＋C 3C 4C 5＝200(种) ．当选派人数为2,2,1时，有3221212122类，共有C 3C 4C 5＋C 3C 4C 5＋C 3C 4C 5＝390(种) ．故共有590种．

答案 590

11．在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． [2013·山东卷]

解析 由绝对值的几何意义知，使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，又x ∈[－3,3]，由几何概型知所求概率为P ＝1答案 3

12．为了了解学生对新课程改革的满意情况，有关教育部门对某中学的100名学生随机进行了调查，得到如下的统计表：

3－121

3＋363

经调查这100生对新课程改革工作的满意情况与性别是否有关时，得到的统计量K 2的值约为________．(精确到0.001) [2013·聊城模拟]

解析 由题意知，满意的女生为30，不满意的男生为5人，所以a ＝50，b n (ad －bc )2＝5，c ＝30，d ＝15，

n ＝100，代入公式K ＝≈9.091.

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

2

答案 9.091 三、解答题

13．为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分) 进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

(1)000,001,002，„，199，试写出第二组第一位学生的编号；

(2)求出a ，b ，c ，d ，e 的值(直接写出结果) ，并作出频率分布直方图； (3)若成绩在95.5分以上的学生为一等奖，现在，从所有一等奖同学中随机抽取5名同学代表学校参加决赛，某班共有3名同学荣获一等奖，若该班同学参加决赛人数记为X ，求X 的分布列和数学期望． [2013·郑州第二次质检]

解 (1)由题意可知第二组第一位学生的编号为004.

(2)a ，b ，c ，d ，e 的值分别为13,4,0.30,0.08,1. 其频率分布直方图如图：

2

(3)被抽到的学生中获一等奖的人数为2，占样本的比例是50＝0.04，即获一等奖的概率为4%，所以获一等奖的人数估计为200×4%＝8，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. 115

P (X ＝0) ＝56，P (X ＝1) ＝56. 3010

P (X ＝2) ＝56，P (X ＝3) ＝56. 随机变量X 的分布列为：

故E (X ) ＝0×561×562×563×5656814．某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2,4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款利润共为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用Y 表示经销一辆品牌汽车的利润.

(1)(2)若以频率作为概率，求事件A ：“购买该汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P (A ) ． (3)求Y 的分布列及数学期望E (Y ) ．

[2013·枣庄模拟]

解 (1)由

a

＝0.2，得a ＝20. 100

∵40＋20＋a ＋10＋b ＝100，∴b ＝10. (2)记分期付款的期数为X ，依题意，得 4020

P (X ＝1) ＝100＝0.4，P (X ＝2) ＝100＝0.2，

1010

P (X ＝3) ＝0.2，P (X ＝4) ＝1000.1，P (X ＝5) ＝100＝0.1，

则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P (A ) ＝

2

0.83＋C 130.2×(1－0.2) ＝0.896.

(3)∵Y 的可能取值为1,1.5,2(单位：万元) ，

P (Y ＝1) ＝P (X ＝1) ＝0.4，P (Y ＝1.5) ＝P (X ＝2) ＋P (X ＝3) ＝0.4，P (Y ＝2) ＝P (X ＝4) ＋P (X ＝5) ＝0.1＋0.1＝0.2， ∴Y 的分布列为

∴Y 的数学期望) ．

15．某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算) ．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车1111

的概率分别为4，2，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为24人租车时间都不会超过三小时．

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望E (X ) ．

[2013·北京市东城区二模]

解 (1)甲、乙两人所付租车费用相同即为2,4,6元． 111

都付2元的概率为P 1＝4×2＝8； 111

都付4元的概率为P 2＝2×4＝8； 111

都付6元的概率为P 3＝4×4＝16，

1115

故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝881616(2)依题意知，X 的可能取值为4,6,8,10,12. 111

P (X ＝4) ＝4×2＝8； 11115

P (X ＝6) ＝4×4＋2×2＝16； 1111115

P (X ＝8) ＝4×4＋2×4＋2×4＝16； 11113

P (X ＝10) ＝4×4＋2×4＝16； 111

P (X ＝12) ＝4×4＝16， 故X 的分布列为

所求数学期望E (X ) ＝4×86×168×1610×1612×16216．某高中学校为了推进课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学和生物辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定：各科达到预先设定的人数时为满座，否则为不满座) ，统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：

根据上表：

(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

[2013·临沂模拟]

1⎫⎛解 (1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满为事件A ，则P(A)＝ 1－2⎪

⎝⎭2⎛21⎛

× 1－3× 1－3＝18⎝⎭⎝⎭

1⎛12⎛21⎛

(2)P (X ＝0) ＝ 1－3× 1－2× 1－3＝18

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

12⎛2⎫1⎛1⎛22⎛1⎫1⎛1⎛1－1－1－1－1－1－ ⎪ P (X ＝1) ＝3×2⎭×⎝3⎭＋2×2×⎝2⎭×⎝3⎭×⎝3⎭＋3×⎝3⎪⎝⎭11⎛

× 1－224 ⎝⎭

1⎛2⎫1⎫1⎛2121⎛1⎛1⎛

P (X ＝2) ＝2× 1－3× 1－3⎪＋2×2× 1－2⎪×3× 1－3＋2×2× 1－2×3

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

112⎛127⎛

× 1－3＋33 1－2＝18 ⎝⎭⎝⎭

112111⎛2112⎛1121⎛

1－1－1－ P (X ＝3) ＝2×2×＋×2⎭×3×32×2×3×⎝3⎭＋2×2×3×⎝3⎝⎭3311⎛

× 1－3＝4 ⎝⎭

11121P (X ＝4) ＝3×2×2×3＝18，

故E (X ) ＝0×181×42×183×44×182.

17．某学校为调查了解学生体能状况，决定对高三学生进行一次体育达标测试，具体测试项目有100米跑、立定跳远、掷实心球．测试规定如下： ①三个测试项目中有两项测试成绩合格即可认定为体育达标；

②测试时要求考生先从三个项目中随机抽取两个进行测试，若抽取的两个项目测试都合格或都不合格时，不再参加第三个项目的测试；若抽取的两个项目只有一项合格，则必须参加第三项测试．

123

已知甲同学跑、跳、掷三个项目测试合格的概率分别是234间间隔恰当，每次测试互不影响．

(1)求甲同学恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率； (2)求甲同学经过两个项目测试能达标的概率；

(3)若甲按规定完成测试，参加测试项目个数为X ，求X 的分布列和期望．

[2013·菏泽一模]

解 (1)甲同学先从三个项目中随机抽取两项，共有C 23＝3种方法． 1

则恰好抽取跳、掷两个项目进行测试的概率为P 1＝3(2)经过两个项目测试就能达标的概率是 [1**********]P [1**********]2(3)X的可能取值分别是2,3.

当X ＝2时，甲参加随机抽取的两项测试全合格或者全不合格，此时

1⎛[**************]19

P (X ＝2) ＝3× 2×3＋2×4＋3×4＋[1**********].

⎝⎭当X ＝3时，甲参加随机抽取的两项测试应该是一项合格另一项不合格，必须

[**************]

参加第三项测试，此时P (X ＝3) ＝3232×3＋242×4＋3434＝36.

则X 的分布列是

则E (X ) ＝2×

193×363636