第一章 函数与极限答案

第一章 函数与极限

一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求

（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调

性、周期性和有界性）的了解。

（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。

（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型

（ⅰ）有关确定函数定义域的题型

1．（4分）f (x ) =

ln(2-x ) x +1

的定义域为 -1

2．（4分）f (x ) =

x +1

的定义域为 [-1, 1) (1, 2)

ln(2-x )

2x -3) 的定义域为--------------- （ D ） 3．（4分）y =arcsin(

A (1, 2) B [1, 2) C (1, 2] D [1, 2] 4．设f (x ) 的定义域D = [0, 1]，求下列各函数的定义域： （1）（6分）f (x ) x ∈[-1, 1]

2

（2）（6分）f (2) x ∈(-∞, 0]

x

（3）（7分）f (x +) +f (x -) x ∈⎢, ⎥ 3333（ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： f (sin

11

⎡12⎤

⎣⎦

x

) =1+cos x ，则f (x ) =2(1-x 2) 2

⎧-1, x

⎪⎪

⎪⎪

6．（4分）设f (x ) =⎨0, x =0，则f [f (x )]=f (x ) =⎨0, x =0

⎪⎪

⎪1, x >0⎪1, x >0

⎩⎩

7．求下列函数的反函数

（1）（4分）y =x +1 x =y -1, y =x -1 （2）（4分）y =

3

3

1-x 1-y 1-x

, y = x = (x ≠-1)

1+x 1+y 1+x

（3）（6分）y =1+ln(x +2) x =e y -1-2⇒y =e x -1-2

8．（7分）已知：f (x ) =x -x , ϕ(x ) =sin 2x , 求f [ϕ(x )],ϕ[f (x )].

3

解：f [ϕ(x )]=ϕ3-ϕ=sin 32x -sin 2x =-sin 2x cos 22x

ϕ[f (x )]=s i n 2f (x ) =s i n 2(x 3-x )

⎧1, |x |

⎪⎪

9．（10分）设f (x ) =⎨0, |x |=1,

⎪

⎪-1, |x |>1⎩

两个函数的图形。

g (x ) =e x ，求f [g (x )]和g [f (x )]，并作出这

⎧⎧

1, x

⎪⎪⎪-1⎪

解： f [g (x )]=⎨0, x =0， g [f (x )]=⎨e , x >1

⎪⎪

⎪1, x =1⎪-1, x >0

⎪⎪⎩⎩

（ⅲ）有关函数性质判定的题型

10．（10分）下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？

23

（1）y =3x -x （非）（2）y =|x |+1（偶函数）（3）y =sin x +1（非）

x

-x

x

-x

（4）y =a +a （偶函数） （5）y =a -a

（奇函数）

11．（4分）设f (x ) =

sin(x +1)

, 2

x +1

-∞

A 有界函数 B 奇函数 C 偶函数 D 周期函数 12．（4分）y =sin(

x

+3) 的最小正周期为 4π 2

⎧cos x , -π≤x

13．（4分）设f (x ) =⎨，则f (x ) 在定义区间为-------（ A ） 0, x =0

⎪

⎪-cos x , 0

A 奇函数但非周期函数 B 偶函数但非周期函数 C 奇函数且为周期函数 D 偶函数且为周期函数

（ⅳ）有关复合函数分解的题型

14．（6分）将y =ln tan x 2分解成若干个基本初等函数的形式。

2

解：是由y =ln u ，u =tan v ，v =x 复合而成的。

3

15．（7分）将y =arctan

x

分解成由基本初等函数复合及四则运算而成的形式。 1-x 2

解：是由y =u 3，u =arctan v ，v =

x

复合而成的。 2

1-x

Ⅲ 综合应用题型 16．（8分）已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角ϕ为已知锐角（如图所示），当过水断

面ABCD 的面积为定值S 0时，求湿周L 与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。

D

解：参见教材P 23

h h CE =sin ϕ, CD =, =cot ϕ⇒CE =h cot ϕ CD sin ϕh 2h cot ϕ+2BC

h ⇒s 0=h 2cot ϕ+BC . h

2

S 0-h 2cot ϕS 022

BC =，S 0-h cot ϕ>0⇒h

h cot ϕ

S 0-h 2cot ϕ2h 2h

，h ∈(0, S o tan ϕ) L =BC +=+

sin ϕh sin ϕ

=

S 0

-h cot ϕ+2h csc ϕ h ∈(0, S o t a n ϕ) h

17．（8分）一列火车在运行时，每小时的费用由两部分组成，一部分是固定费用a ，

另一部分是与火车的平均速度x 的立方成正比，比例系数为k ，常用y 表示火车连续运行路程S 所需的总费用，试将y 表示为x 的函数。

解： y =

S

(a +kx 3) x

18．（8分）火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50 kg时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50 kg 时，超重部分按每千克0.25元收费。试求上海到该地的行李费y （元）与行李质量x （kg ）之间的函数关系式，并画出这函数的图形。

0. 15x , 0≤x ≤500. 15x 0≤x ≤50⎧⎧⎪⎪解：y =⎨ ⇒y =⎨

⎪⎪⎩7. 5+0. 25(x -50), x >50⎩0. 25x -5, x >50

19．（8分）按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2 %，半年期存款的年利

率为4.0 %，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款。设将总数为A 单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款有较多的收益，多多少？

9 解： 一年期 0. 0003A

*20．（8分）森林失火了，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防队员前去，在失火后5分钟到达现场开始救火，已知每名消防队员在现场平均每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m 2森林的损失费为60元，设消防队派了x 名消防队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n 分钟。

（1）求出x 与n 的关系式；

（2）当x 为何值时，才能使得总损失最小？ 解：100(n +5) =50nx ⇒x =2+

10 n

10

+100x +3125 0x -2

y =(n +5) 100⨯60+125xn +100x =6250

62500

+100x +31250 x -262500

+100(x -2) +31450 =

x -2

= ≥2

62500

⨯100(x -2) +31450 x -2

∴x =27 二 极限

（一） 极限的定义及其性质（见§1.2, §1.3, §1.4） Ⅰ 内容要求

（ⅰ）理解数列极限、函数极限的描述性定义，自学数列极限、函数极限的精确定义，几

何意义及其性质。

（ⅱ）了解无穷小与无穷大量的概念及其关系，了解无穷小量的性质。

（ⅲ）记忆基本初等函数图象的变化趋势，学会计算函数在一点处的左、右极限。 Ⅱ 基本题型

（ⅰ）涉及基本初等函数极限的题型

1． 填充题（每空4分）

⎧

⎪1p =0

⎧0, 0

lim n = ⎨∞p >0 , lim a n =⎨ n →∞n →∞

⎪⎪+∞, a >1

⎩⎪0p

⎪⎩lim e x =1 , lim e x = 0 , lim e x =+∞

x →0

x →-∞

x →+∞

x →0+

lim ln x = -∞ lim ln(1+x ) = 0 lim ln x = +∞

x →0

x →+∞

lim cot x = ∞, lim tan x = ∞ lim sin x = 不存在

π

x →0

x →

x →∞

2

lim arcsin x = 0 , lim arctan x = 0 ,

x →0

x →0

x →+∞

lim arctan x =

π2

n = - lim a r c t a x

x →-∞

π

2

lim arctan x = 不存在

x →∞

（ⅱ）简单函数在一点处左、右极限的题型 1．（4分）lim

|x |

=----------------------------------------------------------------------（ D ）

x →0x

A -1 B 0 C 1 D 不存在

⎧sin x , x >0⎪

2．（6分）设f (x ) =⎨，求lim f (x ). =0

x →0

⎪ln(1+x ), -1

x →0

x →0

x →0

（ⅲ）无穷小与无穷大量的判定题型

1．（4分）当x →+∞时，下列函数哪个是无穷小量-----------------------------（ D ） A ln

112

B 1-cos x C -x D sin x x

+

2．（4分）当x →0时，下列函数哪个是无穷大量------------------------------（ C ） A e B e

x

-x

C e D e

1

x

-

1x

（ⅳ）涉及无穷小量性质的极限题型（每空4分） 1．lim

sin x 132

=0 , lim x cos =0 , lim (x +1) =∞

x →∞x →0x →∞x x

2．是非题（每题2分）

在同一自变量变化过程中：

①两个无穷小的商自然是无穷小（⨯） ②无穷小的倒数一定是无穷大（×） ③无穷小与无穷大必互为倒数（×） 3．（6分）lim (

n →∞

12n -1

++ +) 222n n n

12n -11n (n -1) 1++ +) lim [⋅]==

n →∞n 2n →∞n 222n 2n 2

111

4．（4分）lim (1+++ +n )

n →∞242

11-() n +1

111解：lim (1+++ +n ) =lim

n →∞n →∞1242

1-211-() n +1

=lim

n →∞1

2

解：lim (

=lim 2⎢1-()

n →∞

⎡⎣

12

n +1

⎤⎥=2 ⎦

（二） 极限的运算（见§1.5, §1.6） Ⅰ 内容要求

（ⅰ）掌握极限的四则运算法则和复合运算法则。 （ⅱ）了解未定式的概念，会判断

0∞, , ∞-∞, 0⋅∞, 1∞, 00, ∞0未定式类型。 0∞

（ⅲ）记忆两个重要极限公式并学会利用它求极限，了解夹逼定理与单调有界定理。 Ⅱ 基本题型

（ⅰ）直接运用四则求限法则及复合求限法则解决的极限题型（定式） 1． 求下列极限：（每题4分） （1）lim

x →1

x -3111

lim (2-+) =2 = （2）x →∞x x 2x 2-94

2

3

πx

（3）lim arctan(x +1) = （4）lim (1+x ) =2

x →∞x →12

（ⅱ）简单未定式的判断及计算题型

1． 判定下列未定式的类型，并进行计算

（1）（4分）lim

x →3

1x -3x -3

lim = （2）（4分）=0 22x →∞6x -9x -91n 3x -3

= （4）（6分） = lim 22n →∞36x -9n +1+n 2

（3）（6分）lim

x →3

（5）lim

(n +1)(2n +1)(3n +1)

=3 3n →∞2n +3n +1

2

2

（6）lim (n +1-n -1) =lim

n →∞

2n +1+n -1

2

2

n →∞

=0

x 3x 2x 3+x 21-) =lim （7）（7分）lim (2 =2x →∞2x -1x →∞2x +1(2x -1)(2x +1) 4

2． 判定下列未定式的类型，并进行计算 （1）（4分）lim

sin ωx tan ωx

=ω （2）（4分）lim =ω

x →0x →0x x sin 2x 2tan 3x 3

（3）（6分）lim = （4）（6分）lim =

x →0sin 5x x →0tan 5x 55arctan 2x 1

=2 （6）（5）（7分）lim （6分）lim x sin =1

x →0x →∞x x

1

（7）（6分）lim x cot 3x =

x →03

1

x

12x

3． 判定下列未定式的类型，并进行计算

（1）（4分）lim (1+2x ) =e （2）（4分）lim (1-3x )

x →0

x →0

2

=e

-3

2

（3）（6分）lim (

x →∞

1+x kx k n +1n

) =e （4）) =e 2 （6分）lim (

n →∞n -1x

1-1

x

（5）（6分）lim (1+3x )

x →0

=e

-3

Ⅲ 提高题型

（ⅰ）用极限存在准则解决的极限题型 1． 用夹逼准则求下列极限

3n 33n

n →∞n ! n ! 4

（2）（7分）lim (

n →∞

n n n

++ +)

n 2+πn 2+2πn 2+n π

n 2n 2

n +n πn +π

所以lim (

n →∞

n n n

++ +) =1 222

n +πn +2πn +n π

2．（7分）用单调有界定理证明数列2, 2+

能求出该极限吗？

解：例子分析：已知x 1=

n →∞

2, 2+2+2, 的极限存在，你

a , x 2=a +a , x 3=a +a +a ... ；

求lim x n (a >0)

这是一个单调增加且有界的数列，显然x n -1

2

a +x n -1；

a x n -1a

+由极限存在准则⑴知lim n →∞

x n 存在，不妨假lim n →∞

x n =A,

lim x 2

n →∞

n =lim (a +x 1±+4a

n →∞

n -1) ，得A 2=a +A , 解得A =

2

； a >0, ∴A =

1++4a 2, 即lim 1++4a

。 n →∞x n =

2

取a =2得，故所给函数极限为2

（2）lim (

n n →∞

n 2+π+n n

n 2+2π+ +n 2

+n π

) =1 因为 n 2n n n n 2

n 2+n π≤n 2+π+n 2+2π+ +n 2+n π≤n 2+π

lim n 2n 2n →∞n 2+π=1，lim n →∞n 2+n π

=1 （三）极限的综合计算及其应用

内容要求

基本题型

1．（4分）当x →0, 1-cos x 2是关于x 4

的---------------------------------------（ C A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 同阶但非等价无穷小 D 等价无穷小 2．（4分）当x →0, ln(1+x ) 是关于x 2

的-----------------------------------------（ B A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 同阶但非等价无穷小 D 等价无穷小 3．x →0,

+x 2-1~kx n ，则k =

1

3

, n = 2 （ⅱ）关于渐近线确定的题型 1．（4分）y =

x +2

2x -3的水平渐近线为 y =132 ，铅直渐近线为 x =2

2．（7分）求y =e x +e -x

e x -e -x

的水平渐近线与铅直渐近线。

解：n lim →+∞

y =1，n lim →-∞

y =-1，所以水平渐近线为y =±1

lim n →0

y =∞, 所以铅直渐近线为 x =0

8

Ⅰ（ⅰ）学会对无穷小量的阶进行比较。（ⅱ）学会确定曲线的水平渐近线与铅直渐近线。（ⅲ）记忆常用的等价无穷小，学会运用等价无穷小量代换求极限。Ⅱ（ⅰ）关于无穷小阶的比较题型 ） ）

（ⅲ）利用无穷小进行等价代替处理的极限题型 1．判断下列未定式类型，并求下列极限：

9

13x . x 2

sin 3x (1-cos x ) 3（1）（6分）lim = lim =3x →0x →0tan 4x 384x

2x . x (e 2x -1) arcsin x

lim =2 （2）（6分）lim =

n →0x 2x →0ln(1+x 2)

（3）（6分）lim

x →0

sin x 2⋅ln(1+2x )

+x 3-1

x 2. 2x

=6 =lim

n →013

x 3

Ⅲ 提高题型

（ⅰ）复杂未定式的计算题型

1．求下列极限

（1）（7分）lim

x →0

+tan x -+sin x x +sin 2x -x

=lim

tan x -sin x

n →012

x . sin x . 22

=lim

（2）（7分）lim x (x +1-x ) =lim

x →+∞

2

tan x -sin x 1

=

x →02x . 3

x x 2+1+x

x →+∞

=

1

2

=e

2x +3x +12

) =lim (1+) （3）（7分）lim (

x →∞2x +1x →∞2x +1

2x +12(x +1)

⋅22x +1

a x +b x +c x x

) =lim e （4）（7分）lim (

x →0x →03

a x ln a +b ln b +c ln c

1

ln(a x +b x +c x ) -ln 3

x

=lim e

x →0

a +b +c

=e

1

ln abc 3

=abc

另解：lim f (x ) =lim (1+

x →0

x →0

a +b +c -3

)

3

=e

1

ln abc 3

x x x

(a x -1) +(b x -1) +(c x -1)

3x a x +b x +c x -3

3

.

=lim e

x →0

1

[ln a +ln b +ln c ]3

=e

1

ln abc 3

=e

1

ln(abc ) 3

a x -1

=ln a ） =abc （ lim

x →0x

10

(1+x ) x -1e x ln(1+x ) -1x ln(1+x )

（5）（7分）lim =lim =lim

x →0ln(cosx ) x →0ln(cosx ) x →0ln(cosx )

2x x 2

=-2 =lim ==lim

x →0-tan x x →0ln(cosx )

x 2+1

-ax -b ) =0，求a , b . （a =1, b =-1） 2．（7分）若lim (

x →∞x +1

3．（7分）若lim [1+

111

++ +-ln(n +1)]=a (0

n →∞23n

111++ +2n =1. 求证：lim n →∞ln n

n →∞

x n =a +α, (lim α=0) （函数极限与无穷小之间的关系）

11+ +2n =lim a +α+ln(n +1) （洛必达法则） lim n ←∞n →∞ln n ln n

1

n

=lim =lim =1

n ←∞n →∞1n +1

n

1+

1+

111

++... +=a +ln(n +1) +α23n

(α为无穷小）

三 连续（见 §1.8, §1.9, §1.10）

Ⅰ 内容要求

（ⅰ）理解函数在一点处连续和在一区间上连续的概念。 （ⅱ）了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。

（ⅲ）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最值定理。

Ⅱ 基本题型

（ⅰ）有关连续的题型 1．是非题（每题2分）

（1）若函数在一点处极限存在，则函数在该点必连续。（ ⨯ ） （2）一切初等函数在其定义区间内都连续。（ / ）

⎧x 2, 0≤x ≤1

⎪

2．（8分）研究函数f (x ) =⎨的连续性，并画出函数的图象。

⎪2-x , 1

x →1

x →1

⎧2x , 0≤x

3．（4分）函数f (x ) =⎨的连续区间是------------------------（ A ）

⎪3-x , 1

A [0, 1) (1, 2] B [0, 2] C [0, 1) D (1, 2]

f (x ) =2，lim f (x ) =2，f (1) 无意义，故选择A 解：lim ++

x →1

x →1

⎧e x , x

⎪

4．（7分）函数f (x ) =⎨，应当怎样选择数a ，使得f (x ) 成为在(-∞, +∞)

⎪a +x , x ≥0⎩

内的连续函数。

f (x ) =1, lim f (x ) =a , f (0) =a 解：lim -+

x →0

x →0

而f (x ) 连续，故 a =1

（ⅱ）有关间断点类型确定的题型

1．下列函数在指定的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。

x 2-1

, （1）（4分）y =2

x -3x +2

x =1, x =2

x 2-1x +1

解：f (x ) =， =

(x -1)(x -2) x -2

lim f (x ) =-2，lim f (x ) =∞

x →1

x →2

故x =1为可去间断点，x =2为无穷间断点。

⎧x -1, ⎪

（2）（4分）y =⎨

⎪3-x , ⎩

x →1

x →1

x ≤1, x >1

x =1

f (x ) =2，f (1) =0 f (x ) =0，lim 解：lim +-

故x =1为跳跃间断点， （3）（4分）y =

x , tan x

x =k π, x =k π+

x →0

π

2

(k ∈Z )

x =0为可去间断点，lim

x

=1 tan x

x →k π

x =k π（k =±1, ±2,... ）为无穷间断点， lim

x =k π+

x

=∞ tan x

π

2

(k ∈Z ) 为可去间断点，lim

x →kn +

π2

x

=0 tan x

Ⅲ 综合应用题型

x 2-x

1．（8分）设f (x ) =， 2

|x |(x -1)

（1）求f (x ) 的间断点并判断其类型； （2）求f (x ) 的渐近线。

x 2-x x (x -1) 1

解：（1） f (x ) = ==2

|x |(x -1) x (x -1)(x +1) ±(x +1)

lim f (x ) =lim --

x →

x →0

11

=-1，lim f (x ) =lim =1

x →0+x →+(x +1) -(x +1)

lim f (x ) =lim -

x →1

x →

111

=，lim f (x ) =lim =∞

x →-1x →-1(x +1) 2-(x +1)

x =0为跳跃间断点，x =1为可去间断点，

x =-1为无穷间断点

（2）lim f (x ) 不存在，

x →0

f (x ) =l i l i m +-

x →1

x →1

11

=

(x +1) 2

l i m f (x ) =l i x →-1

1

=∞

x →-1-(x +1)

x →∞

所以x =-1为垂直渐近线，lim f (x ) =0，∴y =0水平渐近线。

1

⎧

e x -1, x >0⎪⎪

2．（10分）设f (x ) =⎨，

⎪a +ln(1+x ), -1

（1）若f (x ) 在x =0处连续，求a ；

（2）求f (x ) 的间断点，并说明间断点所属类型； （3）求f (x ) 的渐近线方程。

f (x ) =e ，lim 解：（1）lim f (x ) =a , +-

x →0

-1

x →0

∴a =e -1

1

x -1

f (x ) =lim e （2）lim ++

x →1

x →1

1

x -1

=∞，lim f (x ) =lim e -+

x →1

x →1

=0, ∴x =1为第二类间断点

（3）lim +f (x ) =-∞，所以 x =-1, x =1为垂直渐近线方程，

x →-1

lim f (x ) =1， 所以 y =1为水平渐近线方程

x →+∞

Ⅲ 提高题型

（ⅰ）涉及介值定理的证明题

1．（7分）证明方程x =a sin x +b (a >0, b >0) 至少有一个正根，并且它不超过a +b 。

证：设f (x )=x -a sin x -b ，则f (x )在闭区间[0, a +b ]上连续，且

f (0)=-b

(1)如果f (a +b )=a (1+sin (a +b ))>0， 则f (a )⋅f (b )

由定理3，∃ξ∈(0, a +b ), 使得

f (ξ)=0；

(2)如果f (a +b )=a (1+sin (a +b ))=0，取ξ=a +b 满足要求，即ξ=a +b 是方程

x =a sin x +b 的正根；

总之，存在ξ∈(0, a +b ]，使得f (ξ)=0，即ξ是方程f (x )=0

即x =a sin x +b 的不超过a +b 的正根。

2．（7分）设函数f (x ) 对于[a , b ]上的任意两点x , y ，恒有|f (x ) -f (y ) |≤L |x -y |，

其中L 为正常数，且f (a ) ⋅f (b ) 0, 取δ=

ε

L

, 若x 1, x 2∈[a , b ]且x 1-x 2

f (x 1) -f (x 2) ≤L x 1-x 2

所以f (x )在[a , b ]上连续；

ε

L

=ε，

又 f (a ). f (b )

使得f (ξ)=0。

3．（7分）证明：若f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续，且lim f (x ) 存在，则f (x ) 必在(-∞, +∞)

x →∞

内有界。

证：由条件lim f (x ) =A ，有∀ε>0，∃X >0，当x >X 时，f (x ) -A

x →∞

别对于ε=1，∃X 1>0，当x >X 1时，f (x ) -

f (x ) 因为f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续，[-X , X ]⊂(-∞, +∞) ，故f (x ) 在[-X , X ]上连续， 根据有界性定理，存在正数M 0，当x ∈[-X , X ]时，f (x ) ≤M 0。取

M =m a {x M 0, A +1}，当x ∈(-∞, +∞) 时，总有f (x ) ≤M ，证得f (x ) 是

(-∞, +∞) 上的有界函数。

4．（7分）一个登山运动员从早晨7：00开始攀登某座山峰，在下午7：00到达山顶；第二天早晨再从山顶沿着原路下山，下午7：00到达山脚。试利用介值定理证明：这个运动员必在这两天的某一相同时刻经过登山路径的同一地点。 解：令F (t ) =h 2(t ) -h 1(t ) F (0) =H

F (12) =-H

F (ξ) =0

第一章 函数与极限测试题

一、选择题（7×4分）

⎧x , x ≥0⎪

1． 设f (x ) =⎨, g (x ) =5x -4，则f [g (0)]=-------------------（ D ）

2

⎪x , x

A -16 B -4 C 4 D 16

2． 函数y =f (x ) 的增量∆y =f (x +∆x ) -f (x ) ---------------------------------（ C ）

A 一定大于0 B 一定小于0 C 不一定大于0 D 一定不大于0 3． lim (1+3x )

x →0

12x

=-----------------------------------------------------------------------（ C ）

23

32

6

A e B e C e D e 4． 当x →0,

16

tan x 2是关于sin 2x 的----------------------------------------------（ C ）

sin(x -4)

的-----------------------------------------------------（ B ）

x 2-16

A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 等价无穷小 D 同阶但非等价无穷小 5． x =4是f (x ) =

A 跳跃间断点 B 可去间断点 C 第二类间断点 D 连续点 6． 曲线y =

x +sin x

-2的水平渐近线方程为------------------------------------（ B ） 2

x

A x =-2 B y =-2 C x =2 D y =2

7．函数y =f (x ) 在x 0处有定义是y =f (x ) 在x 0处有极限的-----------------（ D ） A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件

C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件

二、填空题（3×4分）

1(2n +1) 3(3n +1) 2

1．lim . =5n →∞108(6n +1)

⎧ln(1+2x )

, x >0⎪x 2．若函数y =⎨连续，则 a =2 .

⎪3x +a , x ≤0⎩

x 2+bx +5

=a ，则 a =4， b =-6 . 3．已知：lim

x →11-x

三、计算题（4×7分）

1．lim

arctan x =π =x →-∞e x -1-12

x

-

π

x +221x +1. 2(x +1) 2．lim (=e 2 ) =lim (1+) x →∞x +1x →∞1+x

3．lim (x +

x →+∞

x

1

x -x ) =lim

x +x -x x +x +x

x →+∞

=lim

1+

1x +1

x →+∞

=

1

2

4．lim

x →0

tan x -sin x 1+tan x -+sin x =lim ⋅ 33x →0x x +tan x ++sin x

=

111

⨯= 224

e x +1

四、（9分）设y =x ,

e -1

（1）求函数的间断点并判断其类型；

（2）求该函数图象的水平渐近线及铅直渐近线。

解：（1）lim f (x ) =∞，lim f (x ) =1，lim f (x ) =-1 所以x =0为无穷间断点

x →0

x →+∞

x →-∞

（2）lim f (x ) =1，lim f (x ) =-1 所以 y =1，y =-1为水平渐近线

x →+∞

x →-∞

lim f (x ) =∞，x =0铅直渐近线

x →0

五、（8分）当x →0时，+x 2-1与1-cos a x 互为等价无穷小，求a 值。

解：因为+x -1~

2

12a x x ，1-cos a x ~2sin 2， 32

22x 2a

x a +x 2-12=lim =lim . 所以比值的极限lim x →0

1-cos a x x →0a x x →0a x 3a 2

4sin sin 2

22

=

22

=1 所以a = 3a 3

2π

的等腰∆，这些n

六、（8分）把长为a 的线段AB 分为n 等分，以每个小段为底做底角为等腰∆的两腰组成一折线，试求当n 无限增大时所得折线长的极限。 解：lim ⎢2n .

⎡

n →∞

⎣

a 2π⎤

⋅sec ⎥=a 2n n ⎦

七、（7分）（二题可以选作一题） （1）求lim (

n →+∞

1n +1

2

+

1n +2

2

+ +

1n +n

2

)

（2）求证：方程x =2sin x 在(解：（1）

π

2

, π) 内至少有一实根

∑

i =1

∞

1n +n

2

≤(1

1n +1+

1

2

+

1n +2+ +

2

+ +1n +n 1n +1

22

1n +n ) =lim

n →∞

2

) ≤∑

i =1

∞

1+n

2

而lim (

n →+∞

n n +n n +n

22

n +n 1n +1

2

2

n +n 1n +11n +1

22

2

=1

lim (

n →+∞

++ +

1

) =lim

1

n →+∞

=1

故原式：lim (

n →+∞

+

n +2

2

+ +

n +n

2

) =1

（2） 令 f (x ) =x -2sin x 在[ 又f () =

π

2

, π]上连续，

ππ

2

2

-20

故由零点存在定理知，在( 即方程f (x ) =0在(

π

2

, π) 内至少存在一点ξ，使得f (ξ) =0

π

2

, π) 内至少有一个根，证毕。