高考中数学填空题做题技巧
填空题做题技巧
高考中数学填空题的独特之处在于它只要求写出结果,而不像解答题一样要求有具体的过程,也不像选择题一样可以用排除法进行做答。一步错就直接不给分,而且可以说至少在目前的“指挥棒”下,这种题型也是不可少的,各个省份的占值一般15~20分左右,一般属于中档题型。因此不得不引起考生的重视。那么,如何做好填空题也是我们必须重视的。 在解答填空题时,由于不写过程,只要结果,所以对“精度”要求比解答题更高、更严格,《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。为此在解填空题时要做到:快——运算要快,力戒小题大做;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意。
数学填空题,绝大多数是计算型(尤其是推理计算型) 和概念(性质) 判断型的试题,应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫.
一、常用的解决方法
1. 直接法
这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果。一般情况下,较简单的填空题宜用直接法.
例1.
已知α∈(
π
2
, π),sin α=
则tan 2α=5
.
例2. 等比数列a 1=
1
, a 4=-4, 则公比q =2
; |a 1|+|a 2|+„+„+
|a n |=
.
.
例3. 已知集合A ={-1,1, 2, 4},B ={-1,0, 2},则A B=
6
⎛3
例4.
设二项式 x -(a >0) 的展开式中x 的系数为A ,常数项为B ,若B=4A,
⎝
则a 的值是_______.
2. 特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的不定量用特殊值代替,即可以得到正确结果. 这也称为“特值法” ,常用的特殊代换有:
∆ABC →等边三角形,平行六面体→正方体,对比数列→1, 2, 4,8, 等差数列→1, 2,3, 等等,尽量用符合题意的简单“模型”带入即可快速得出正确答案,这个与选择题中提到的特值法基本相似.
例5. 如图,二面角α-l -β的大小是60,线段AB ⊂α,B ∈l , AB 与
l 所成的角为30 ,则AB 与平面β所成的角的正弦值是
例6. 设等比数列{a n }的公比q =,前n 项和为S n , 则
.
1
2
S 4
=a 4
.
OA=a , OB=b , OD 是AB 上的高,A D=λAB ,则实数λ=______. 例7. ABC 中,
(用a 与 b 表示).
.
x 2y 2例8. 已知椭圆2+2=1(a >b >
0) 的离心率是,过椭圆上一点M 作直线MA ,
3a b
MB 交椭圆于A ,B 两点,且斜率分别为k 1, k 2,若点A ,B 关于原点对称,则k 1⋅k 2的值为
________.
例9. 若f (x ) 是定义在R 上的函数,且对任意实数x 有f (x+3) ≥f (x ) +3,f (x+2) ≤f (x ) +2,且f (1)=1,在f (2012)= _______.
例10. 设G 为三角形ABC 的重心,过点G 做直线分别交AB ,AC 于点P ,Q . 已知
11
AP =λAB , AQ =μAC ,则+=_______.
λμ
练习
1、 已知
f (x ) 满足f (
2
) =log 2x ∙x x +x
f (x ) =log 2
, 则
f (x ) 的解析式是( )
A
f (x ) =log 2x B
1
-x -2
C f (x ) =2 D f (x ) =x x
1-x
5、若f (
1+x
A
1-x 2)=
1+x 2
,则f(x)的解析式( )
x 1+x 2
B —
2x 1+x 2
C
2x 1+x 2
D —
x 1+x 2
3. 数形结合法
我国著名数学家陈景润先生曾经说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微” ,可见数形结合的必要性. 对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解决问题,得出正确的结果.
例11. 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ,满足f (x -4) =-f (x ), 且在区间[0,2]上是增函数,若方程f (x ) =m (m >0) 在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4,则
x 1+x 2+x 3+x 4=
.
⎧x 2+1, x ≥0, 2
例12 .已知函数f (x ) =⎨则满足不等式f (1-x ) >
⎩1, x
f (2x ) 的x 的取值范围是.
例13. 已知平面向量α, β(α≠0, α≠β)满足|β|=1,且α与
β-α的夹角为120 ,则|α|的取值范围是
3
.
例14 . 若曲线f (x ) =ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是-
.
练习:
设
f (x ) 是定义域在R 上的增函数,切对于任意的x 都有f (-x ) +f (x ) =0恒成立。如果实数m , n 满
足不等式
f (m 2-6m +21) +f n 2-8n
()
4. 等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价地转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果。
例15. 设函数f (x ) =2对x 1, x 2∈R , x 1≠x 2, α=比较大小:f (α) +f (β) ______f (x 1) +f (x 2) .
x
+
x 1+λx 2x +λx 1
λ>1),, β=2
1+λ1+λ
例16
. 函数f (x ) =_________.
x +) +2x 2+x
的最大值为M ,最小值为m ,则M+m= 2
2x +cos x
π
例17. 二次函数y =ax +bx +c (x ∈R ) 的部分对应值如下表,则不等式
2
ax 2+bx +c >0的解集是_______________
。
总之,能够多角度思考问题,灵活选择方法,是快速准确地解数学填空题的关键.
5. 升华公式法
在解填空题时,常由升华的公式解答,使之起点高、速度快、准确率高.
例18. 已知方程(512x +m 1x +1)(512x +m 2x +1) (512x +m 5x +1) 的十个根组成首项为1的等比数列,则m 1+m 2+ +m 5=__________.
2
2
2
6. 特征分析法
有些问题看似非常复杂,一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征,此问题就能迎刃而解。 例19. 已知定义在R 上的函数f (x ) 的图像关于点(-
3
,0) 成中心对称图形,且满足4
3
f (x ) =-f (x +), f (-1) =1, f (0)=-2,则f (1)+f (2)+ +f (2012)=______.
2
着眼于整体,观察整体所有元素所具有的共性,分析元素与元素之间的联系等.
8. 整体代入法
将需要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能或作种种整体处理后,达到顺利而又简捷地解决问题的目的.
例20. 三棱锥的三个侧面两两互相垂直,它们的侧面积分别是6、4、3,则它的体积等于_______.
.