数学建模案例

报童卖报问题 报童每天清晨从邮局购进报纸零售，晚上卖不出去的退回，设报纸

每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，当然应有a >b >c 。请你给报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

解 报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。

假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f (r ) ，（r ＝0,1,2, …）。

设报童每天购进n 份报纸，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n 、等于n 或大于n ；由于报童每卖出一份报纸赚a -b ，退回一份报纸赔b －c ，所以当这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n －r 份，即赚了(a -b )r ，赔了(b－c)(n－r) ；而当r >n 时，则n 份全部售出，即赚了(b－c)n 。

记报童每天购进n 份报纸时平均收入为G (n ) ，考虑到需求量为r 的概率是f (r ) ，所以

G (n ) =∑[(a -b ) r -(b -c )(n -r )]f (r ) +

r =0

n

r =n +1

∑(a -b ) nf (r )

∞

， (4.2-1)

问题归结为在f (r ) 、a 、b 、c 已知时，求n 使G (n ) 最大。

通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量，这时f (r ) 转化为概率密度函数P (r ) ，这样(4.2-1)式变为：

G (n ) =⎰[(a -b ) r -(b -c )(n -r )]P (r ) dr +⎰(a -b ) nP (r ) dr

n

n +∞

， (4.2-2)

计算

n dG

=(a -b ) nP (n ) -⎰(b -c ) P (r ) dr -(a -b ) nP (r )

dn

+⎰(a -b ) P (r ) dr

n

n 0

+∞

+∞n

=-(b -c ) ⎰P (r ) dr +(a -b ) ⎰P (r ) dr

，

dG

=0dn 令 得

⎰

⎰

n

0+∞

P (r ) dr P (r ) dr

=

a -b b -c

， (4.2-3)

n

使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(4.2-3)

⎰因为

+∞

P (r ) dr =1

所以(4.2-3)式可变为

⎰

n

P (r ) dr

n 0

1-⎰P (r ) dr

=

a -b

b -c

即有

⎰

n

P (r ) dr =

a -b

a -c (4.2-4)

根据需求量的概率密度P(r)的图形（如图4.3）很容易从(4.2-4)式确定购进量n 。

1, P 2分别表示曲线P (r ) 下的两块面积，则(4.2-3)式又可记作： 在图中，用P

P 1a -b

=P 2b -c (4.2-5)

图4.3

因为当购进n 份报纸时：

P 1=⎰P (r ) dr

n

是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率；

P 2=⎰P (r ) dr

n

+∞

是需求量r 超过n 的概率，即卖完的概率；

所以(4.2-3)式表明：购进的份数n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a －b 与退回一份赔的钱b －c 之比。显然，当报童与邮局签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。

例如 若每份报纸的购进价为0.15元，售出价为0.2元，退回价为0.12元，需求量服从均值500份均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能平均收入最高，这个最高收入是多少？

P 15=2P 解 按(4.2-4)式，因为 a－b ＝0.05 ,b－c ＝0.03 ,23, r～N(μ, σ) ,

其中 μ＝500 ,σ＝50 查表可得

n＝μ＋0.32σ＝516 即每天购进516份报纸。

按照(4.2-2)式，可得最高收入G ≈23.484元

博弈问题 设有两人对垒，每人手中各有三种硬币，其分值分别为5分、10分、25分；

每次两人各自同时出示一枚硬币，如属同一分值，则该币归第一位局中人所有，否则就属

于第二位局中人，最后以得分值多者为胜。 问：(1)该游戏对双方是否公平？

(2)如不公平，则受益方采取何种策略可稳操胜券，而另一方则如何尽可能输得少些？

问题分析

如果只进行一次或很少几次游戏，则双方都不具有保证稳操胜券的策略。如果运气不佳，双方均有可能每次都输。所有，这里公平性或获胜策略只有在统计意义下讨论才有意义，即需在长期进行游戏或进行较多次游戏的情况下，才有意义讨论该问题。

显然，任何一方采取一种有规律的策略，一旦被对方知晓，则必输无疑。所以，双方的策略应是以某种随机的方式选择出示的硬币，而各类硬币的出现概率予以固定。 直观地看，该游戏对第一位局中人显然是不公平的。 事实上，设

A i 表示甲取出第i 个硬币， B i 表示乙取出第i 个硬币，

W表示甲取胜这一事件

则

P (A i ) =

11

P (B i ) =3, 3, i =1. 2. 3

1

9,

所以甲嬴的概率

P (A i B i ) =P (A i ) P (B i ) =

P (W ) =P (A 1B 1 A 2B 2 A 3B 3) =

13.

下面我们试图解决问题(1)和(2)，为双方找到各自的最佳策略。

问题的解决

首先，必须用数学语言清晰地把问题表示出来，这在数学模型的建立过程中是较难也

2

P

2

P

是较关键的一步。

如果用A 、B 、C 分别表示分值为5分、10分和25分的硬币，而以(X,Y)表示每次游戏的结果，其中

X,Y∈{A,B,C},

且X 表示第一位局中人（以后简称P 1）显示的硬币，Y 表示第二位局中人（以后简称示的硬币。显然，所有可能出现的结果为：

(A,A), (A,B), (A,C), (B,A), (B,B), (B,C), (C,A), (C,B), (C,C). 对第一位局中人有利的结果只有

(A,A), (B,B), (C,C). 假设P 1分别以B 、C ，当然有

假设P 1, 乙

甲

C -25 -25 25

他每次游戏的期望值为

）显

x 1, x 2, x 3的概率出示A 、

B 、C 硬币，而

则分别以

y 1, y 2, y 3的概率出示A 、

x 1+x 2+x 3=1, y 1+y 2+y 3=1.

P 2出示硬币都是相互独立的，那么对第一位局中人而言，分值支付矩阵如下：

E (x , y ) =5x 1y 1-5x 1y 2-5x 1y 3-10x 2y 1+10x 2y 2-10x 2y 3

25x 3y 1-25x 3y 2+25x 3y 3,

-矩阵表示为:

-5-5⎫⎛5

⎪-1010-10 ⎪ -25-2525⎪T

x , y ⎭y , E()=x ⎝

T T x , x , x ) y =(y , y , y ) 123123其中 x=(, .

显然，作为游戏者， P 1希望无论P 2采取何种策略，他的期望值E(x,y)尽可能大，而P 2则希望E(x,y)尽可能小。 因此，对P 1希望找到

的解。而对P 2，希望找到 的解。

max min E (x , y )

x

y

(4.3-1)

min max E (x , y )

y

x

(4.3-2)

式(4.3-1)表示在P 2采用最佳策略时，P 1的最大收益；而式(4.3-2)表示在P 1采用最佳策略时，P 2的最小损失。

本世纪20年代后期，john Von Neamann在其论文《公司博弈理论》（1928年载于《数学年刊》第100卷P194.4--320）中证明了以下的结论：

max min E (x , y ) =min max E (x , y )

x

y

y

x

**

x , y 或者，用另一种方式表示：存在使对任意x,y 有

E (x , y *) ≤E (x *, y *) ≤E (x *, y )

**

x , y 显然，就是两位局中人的最佳策略，（读者思考其中的原因）。 **

x , y 因此，现在的问题就是：求使

E(x , y )=

**

max min E (x , y ) =min max E (x , y )

x

y

y

x

**

x , y 称E() 为博弈的值。

利用Lagrange 乘数法不难求出x , y 。令

T T

f (x , y ) =E (x , y ) +λ[x (1, 1, 1) -1]+λ[y (1, 1, 1) -1], 12

**

∂f ∂f

=0=0

∂y j

由 ∂x i , , ij=1,2,3

得方程

*

-5-5⎫⎛y 1⎫⎛λ1⎫⎛5

⎪ *⎪ ⎪ -1010-10⎪ y 2⎪+ λ1⎪=0

*⎪ -25-2525⎪ λ⎪ y ⎝⎭⎝3⎪⎭⎝1⎭

,

-5-5⎫⎛5

⎪***

[x 1, x 2, x 3] -1010-10⎪+(1, 1, 1) λ2=0

-25-2525⎪⎝⎭ ,

x +x 2+x 3=1与y 1+y 2+y 3=1 得：

再由1

⎧*10⎧*7x =⎪117⎪y 1=34⎪⎪

5⎪*⎪*12x =⎨2⎨y 2=

1734⎪⎪⎪*2⎪*15x =y 3=3⎪⎪17 , ⎩34, ⎩

E (x *, y *) =-

50

17.

******

即有

5050

这说明每局游戏P 1损失17。当然这并不是说每局P 2一定能得到17，这只是期望值。

正如抛掷一枚无偏差的钱币，出现正面的机会是百分之五十只是一种期望而不是保证一样。

712

所以，在长期赌赛时，P 2须用全部时间的34出5分币，34的时间出10分币，而余下的

155034时间出示25分币，但每次出示何种硬币则需随机选择，那么平均每局P 2可得17。

航空公司超订机票问题 我们有时会在一些刊物上看到旅客们抱怨，他们本已订

上了某天某次班机的机票，但当到达机场而在接待室接受检查时，却听到可怕消息；“对不起先生，你的航班已满员，我们将不得不让您乘坐下次班机了”。这种事情常会引起旅客诸多不便甚至怨愤，在计算机辅助订票的当今时代，应可能设计一个系统以降低这种错误率。 本文目的在于介绍并让大家理解为什么为了盈利，航空公司订给旅客某次航班的票数要多于那次航班所能容纳的乘客数。进一步的模型将为我们揭示航空公司这种做法的强制效果。在任何强制服务及航班数据均缺乏的情况下，我们不可能对某次飞机飞行给出定论，但模型中各个参数变化的结果将会定性的给出航空公司的决策的道理。

2．记号

虽然，在建立数学模型前，有必要先定义变量，并解释所用记号。一个人在开始建立适当复杂的模型时，不可能在他一开始就用到所有变量。到一页结束时，我总是将所用符号记

在另一页上，建议鼓励学生养成这种习惯。而你，作为指导教师将会发现对于理解他们做的工作很有益处。

f ——某次班机的飞行费用, n ——飞行中飞机所载旅客数, g ——每一旅客所偿付旅行费, N ——飞行飞机的容量,

k ——对于一次飞行来说“未到”旅客的人数, p k ——k 人未到的概率, m ——某次班机订票的人数, S——飞行所产生的结余（利润）,

b ——留下（例如挤掉）一名已订票旅客的耗费, p ——个订票旅客到达的概率, j ——次班机售出的低费票数目, t ——低费票相对于全费票的低费率。

3．模型建立

建模时，我发现通过阶段性建模与查证理解问题很自然，也很有益。而在每一阶段，模型特性均是与我对所构模真实系统的直觉相一致，以这种直觉，我们下面开始着手建立一个航空公司希望来源于不足订票的效益模型。 1）首次尝试

与某次飞行有关的费用不依赖于飞行所带乘客人数。不管飞机是否满员，航空公司都必须付钱给飞行员、导航员、工程师及客舱工作人员。一驾满员的飞机相对一驾半满的飞机所耗掉的燃料差作为总载油量的百分比是非常小的。飞机起飞时，须带有足以供它到达目的地的燃料，这部分燃料占起飞重量的百分比是很大的，而这一般只要求能使飞机到达终点时所剩油量恰如其分为好。起飞、降落或由机场索要的管理费也不与飞机所载乘客数有关。因此，一定精度下，我们可以忽略飞行的各种费用差别，而假定进行一次飞行的费用为定数f ，各个乘客付费的总额与飞行耗费之差为结余，或从某种意义上讲，就是利润。当然，包括其它费用（例如：飞机保养）。

另外，要先尽量地努力使模型简单些，而反过来又要包括已有基本公式化模型的更多特征，以此训练学生较好，当然，还应常提醒他们不要受细节渗杂的干扰而去完善那基本模型，一旦他们对模型有了根本的理解，他们就会回过头来去包括更多的影响因素。我发现，决定了他们的策略后，学生建模时最常见的困难就是决定应包括的因素，大的与小的，怎样正好？ 若一次飞行载有n 个旅客，则产生的结余应为￡ng f ，这里￡g 是每一个旅客所付的费用，十分明显，这个简单的模型有我们所期望它的那种特性，当所载旅客数增加时，利润

相应增加，能够取得的最大利润是￡（Ng -f ），这里N 是飞机的旅客容量。这里有一个奇点，在奇点处，正好由所载旅客所支付抵消了飞行费用，此时 ，比此更少的载客飞机将赔钱。所有这些都是所期望的。

观察这个简单模型有：为了取得尽量多的利润，航空公司把目光盯在填满每次飞行上。一旦接受订票为N ，飞机视为满载，不能再接受更多的订票。但问题又出来了；某些旅客也许会在飞机起飞时未到达现场，对于客机来讲，标准条件下，对于全费旅客的这种行为可以不受惩罚，他们可以迟到，并且其机票对另一次飞行来说仍有效，而对于某些其它客舱的旅客来讲，却没有这种优惠，下面我们将这点考虑在内。不能到达的每一个旅客在某种程度上都有潜在的经济损失。这种旅客在生意上被称为“未到”。 2）一个较好模型

让我们以下列方式来改进上述提出的简单模型，假定k 人“未到”的概率为p k ，而m 表示某次航班订票的旅客数，且允许m 超过N ，当有k 人有未到时，航空公司将从飞行中得到的利润为：

⎧(m -k ) g -f 若m -k ≤N S =⎨

若m -k ≥N （4.4-1） ⎩Ng -f

对于此次飞机来讲，未到的旅客人数为一种偶然事件，因此，所获得润的适当表达方式

S 为概率期望利润，我们用 表示之，则有：

S =∑P k x

k =0m

[载有m-k 个旅客时的结余]

m -N -1

=

∑

k =0

P k (Ng -f ) +

k =m -N

∑P [(m -k ) g -f ]

k

m

（4.4-2）

若m ≤N ，则第一个和式不出现，而由下降为零的第二个和式给定，显然，订票上机的旅客数也许由于需求缺乏而很小。在这种情况下，航空公司不需要确定多少旅客订票或超订多少，而我们所要考虑的问题是超过供应情况下航空公司的表现行为。现假定为这种情况，且无论航空公司设臵多高的订票水平m ，都可以完成预订。这相当于白天航线的情形。 现在我们能将（4.4-2）改写为：

S =∑P k (Ng -f ) +

k =0

m

m

k =m -N

∑P [(m -k ) g -f -(Ng -f )]

k k =m -N

m

=(Ng -f ) ∑P k +

k =0

∑P (m -N -k ) g

k

m

由P k 的定义，k =0

∑P

m

k

=1

，可得：

S =Ng -f +g

k =m -N

∑P [(m -N -k )]=Ng -f -g ∑jP

k

j =0

m N

m -N +j

因此，我们可以看到，因为带有和式的那部分全为正，要取得接近于期望利润

S ≤Ng -f

的最大值，唯一方法是减少一切 0

P m -N +j

而使之尽可能接近于零。如果订票水平

m 超过N ，将可实现这一情况，实际上，当订票旅客数增加时，“未到”任何大数的概率减小。

这个模型告诉我们，要订票旅客数不恳定出现而事实上出现的情况下，航空公司实际上将会超订，以便取得接近于满载飞机时的理论极大期望利润值。在这个模型中未考虑因飞机客容量而多次超订带来的后果，实际上，这种策略会导致大量的旅客被所有的飞机抛下，且随着订票水平的增加而加剧。因此，我们得到，为什么航空公司为尽可能多获得利润，而故意超订，但超定并不现实，模型需要进一步的提炼。 3）一个更进一步的提炼

在航空公司超定飞行的情况下，会在机场有越来越多的旅客因飞机容量而不能飞走，这些超员则须移往别处，或者在后续飞机上提供座位，此时，航空公司也许会靠付某种费用给旅客以消民愤；或者，旅客决定坐另一家航空公司的飞机，此时需退票，航空公司要付管理费而造成经济损失，还有，随着名声的败坏使航空公司的公开形象遭受损失。我们假定，对于订票到达而不能上机的旅客（在商业上称之为“被挤掉者”），不管是以什么形式，航空公司要支付赔偿费￡b 。这样就需要建立对于超订带有一定惩罚性的更复杂模型，以便取得较高平均收入总额。

若到达机场要检票上机的旅客数为m -k ，由这次飞机获取利润为：

⎧(m -k ) g -f , 若m -k ≤N

S =⎨

⎩Ng -f -(m -k -N ) b , 若m -k >N （4.4-3）

那么，航空公司由一次飞行获取的平均或期望利润为一个和式，它是所有可能未到人数对应情况下的利润乘以相应概率的和。因此，我们有：

S =∑P k ⋅[由(m -k ) 个旅客带来的利润]

k =0

m

m -N -1

==

∑

k =0k =0

P k [(Ng -f ) -(m -k -N ) b ]+

k

k =m -N

∑P [(m -k ) g -f ]

k

m

k k =0

m

m -N -1

∑P [(N -m +k ) g -(m -k -N ) b ]+(mg -f ) ∑P

m k =0

-g ∑kP k

k =0

m

,（4.4-3 a）

而k =0

∑P

m

k

=1且∑kP k

是“未到”的数学期望值，用k 来表示这，则

m -N -1

S =mg -f --(b +g )

∑P (m -N -k )

k k =0

m -N -1

=(m -k ) g -f -(b +g )

∑P (m -N -k )

k k =0

（4.4-4）

现在，我们得到了一个相对复杂些的直接结果，要验证其正确性，检查结果的有效性，并寻找计算错误，我常以一两种特殊情况来检验其是否象我期望的那样，与此同时，也检查这阶段的计算错误，教会学生不断挑自己工作的不足很重要。例如我们在（4.4-4）中令P 0=1，（对于一切实k

≥1，p k =0）来检查一下结果，这相当于旅客不能达到的偶然性为零，即所

有订票上机的旅客都达到了。此时，（4.4-4）退化为：

S =(m -) g -f -(b +g )(m -N )

=Ng -f -b (m -N )

(因为=0)

这表明，若飞机客容量为N ，m 个旅客订了机票，且他们全到，利润将是从满员飞行利润

Ng -f 中去掉被挤掉留下的那部分旅客m -N 的耗费(m -N ) b 。在这种情况下，当m=N

时，可得到最大平均利润，这与第一个简单模型一致。

为了得到（4.4-4）更具体的结果，进一步假设

k k m -k

p =C q p , （4.4-5） k m

其中q 和p 分别表示任一旅客“未到”和“出现”的概率。

这样会有=qm，而（4.4-4）变成：

m -N -1

S =pmg -f -(b +g )

∑P (m -N -k )

k k =0

. （4.4-6）

现在所要做的是如何使平均飞行利润最大。（4.4-6）式中，平均利润的表达式依赖于g , b , f , q , m 和N ，支付与赔偿费f , g , b 不受航空公司短期控制的影响（这些费用是由IATA

来规定的），q 和N 为外部限制，而只有订票水平m 为航空公司的可控参数。 由（4.4-5）式知，

p k 随着订票水平m 的变化而取不同的值，这些变化可手工计算。若

有条件用计算机的话，应鼓励学生编一个程序来计算g , b , f , q ，N 和m 任何组合下的期望利润。接着，在g , b , f , q ，N 的某个固定情况下，用它来决定最优的订票水平，若用手（或用一个非程序化计算器）来计算，我将首先同他们探讨所有简化后的可能情况，例如，若N 充分大（对于Airbus 为N ≈300，对于DC —10或Lockhead Tristar 客机N ≈350，对于波音747有N ≈450，用Poisson 分布来代替这里的二项分布不会有太大差别。另一方面，（4.4-6）式部分和中的项数为m —N ，且为找到最优订票水平，部分和的项数必定随时m 的增大而增多。从而工作量将会因一个小飞机（比如说80个座位feederliner ）而减小。小型机超订10%时只有

8项，相反，450个座位的喷气式飞机10%超订时的部分和却要加45项。

（4.4-6）式中部分和是q , N , m 的函数，可写一个计算机程序来计算q ，N ，m 给定值下的部和，由于期望利润是q ，m ，g ，f ，b 和N 的函数，航空公司要求以近似于60%的一个奇异载重因子来计算，也就是假定0.6Ng=f，则

S 1b m -N -1

=[pm -(1+) ∑P k (m -N -k )]-1f 0. 6N g k =0

（4.4-7）

b

=0. 2

q g 对于客容量为300的一个飞机，假定=0.05，0.1，而，可编程并用计算机计算

期望利润，且我们还可以计算j 个或更多个旅客被挤掉的概率：

m -N -j

P (j 个或更多旅客被挤掉) =

∑P

k =0

k

在此有一个好的练习供与学生一起讨论，那就是如何估计航空公司要支付的赔偿费b 值，它可能由非常确定的直接费用和一些相对不明确的间接费用（象信誉与未来顾客减少所带来的损失）组成。由此将会引导出对敏感性的讨论，要取得问题的充分理解并估计模型预测中可能的错误，就要改变涉及的参量并观察输出相对于这些变化的敏感性。

还有要考察的另一个有趣事情也许就是改变选择超订水平的准则。一个航空公司订票的准则应该是确定的。可假定其有较低的一定挤掉任何旅客的概率。并启用广告以强调其相对于所有竞争对手有最低的挤掉率。那么，要求学生给出这种经济表现的测量模型以估价这种策略。并比较这种设臵超订水平策略下的期望利润与前述超订策略下可获得的最大期望利润。这自然地引导向多种准则决定的整体范围和无共同计量单位准则间的二分概率问题。 4）再进一步的提炼

假若某次班机只是挤掉一两个旅客，可能可以保持平静，但一小组的不满意旅客会使航空公司当众出丑，而航空公司祝愿这种冒险越小越好，也许在公式化订票策略时，航空公司会采取一种策略，即取消低于极大期望利润但又可以使大数目旅客被挤掉的概率减少到可接受的程度的最优值。一种变通办法是努力想办法去增加实际出现旅客订到机票的可能性，这可以通过有APEX ，ABC 和其它特殊费方案来实现。用这种方案，旅客能以较低的票价得到仅对某次班机有效的机票，若旅客未到，机票失效，旅客会损失掉这部分钱。显然，一些旅客（主要是做生意的旅客，在其计划内要求奢侈一些）将仍然准备付全费以保持这种奢侈，而其它的（主要是渡假者）将接受这种限制以减少耗费，这部分旅客将不会轻率地错过班机。因此我们可以假定他们“未到”的概率为零。则这部分旅客形成了一个固定的旅客基数，他们是可靠的上机者。

假定j 个旅客以票价rg 订了低价机票，那么，由j 个低费旅客和m-k-j 个全费旅客产生的利润为：

⎧rjg +(m -j -k ) g -f m -k ≤N S =⎨

⎩rjg +(N -j ) g -f -(m -k -N ) b m -k >N , (4.4-8)

而k 人未到的概率现在为m -j 个全费旅客中未到k 人的概率，例如 飞行期望利润为：

m -N -1

k k m -j -k

P k =C m -j P q

（4.4-9）

S =

∑P [(N -j (1-r ) g -f -(_m -k -N ) b ]+∑P [(m -k -j (1-r )) g -f ]

k

k

k =0

k =m -N

m

m -N -1

=

∑P (N -m -k ) g -(m -k -N ) b ]+[(m -j (1-r )) g -f ]∑P

k k =0

k =0

m

k

-g ∑kP k

k =0

m

m -N -1

=[m -j (1-r )]g -f -qmg -(b +g )

m -N -1

∑P (m -N -k )

k k =0

=pmg -(1-r ) jg -f -(b +g )

∑P (m -N -k )

k k =0

（4.4-10）

这个式子能编程计算而用来解决p , m , g , j , r , b , f 和N 变化的影响，象前边一样，如果我们对飞行耗费f 比全比率费用g 的关系做出一个近乎实际的假设，这里的计算困难也可能减小，假定奇点载重时以适当比例混合的全费与低费旅客占了座位60%，从而，当低费旅客比例增时，因偿付全费的旅客比例减少了，全费用基数应相应增加，相应奇异条件就是： 0. 6(jrg +(N -j ) g ) =f 即

g 1=

0. 6(N -(1-r ) j ) f

因此，由（4.4-10）与此方程结合有等价于（4.4-7）的式子：

S 1b m -N -1

=[pm -(1-r ) j -(1+) ∑P k (m -N -k ) ]-10. 6(N -(1-r ) j ) g k =0

f ， （4.4-11）

S

同样编程即可用来计算这种情况下的f 。现在，模型已被提炼成为这里的一个有充分多变

量及参量的式了，并且表达方式实用而清楚，就建模本身而言，教导学生做到这一点很有益，在工业及商业环境中的数学家所需要有的技能之一就是以清楚而且通俗的方式为非数学家提供并表述他们的发现。

本文建立了模型却没有给出任何确定的结论，这只因为对许多外部参量没有做进一步的研究而不能定出其确定值。然而，本文着重说明了成功提炼而建立模型的过程，以及用模型

来获取定量结果（如：趋势的与直觉的）并组织观察多变量函数参量变化的方法。

彩票中的概率问题

一、问题的提出

近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X 表示未选中的号码）。

表一

个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。

表二

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设臵方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：

[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例

（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设臵以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 表三

1、符号说明

r 0——总奖金比例（本题中r 0 50%）

t 0——单注金额（本题中t 0=2(元) ）

N ——彩票销售总量（张）

p ij v ij

——第i 种彩票的第j 等奖项的中奖概率 ——第i 种彩票的第j 等奖项的奖金额

M B ——保底金额（60万）

M F ——封顶金额（500万）

a i ——单项奖比例(i =1, 2, 3)

2、基本假设

（1）只考虑同一地区的彩票发行问题。

（2）在同一个地区里，在很长一段时期内，人的心性是不会改变的。 （3）只分析同一地区，不考虑经济差别的因素。 三、问题的分析

对于问题一，题目要求给出彩票合理性的评价准则，为此，我们必须明确以下三个问题：①什么叫做合理；②影响合理性的因素有哪些；③这些因素是如何影响合理性的。

对于①，我们有如下结论：

定理1 彩票发行的合理性与彩票对彩民的吸引力是等价的。

证明 就彩票公司而言，发行彩票的主要目的是追求利润，在

r 0与t 0一定的前

提下，其利润只与N 有关，显然N 越大，彩票公司可以获得的利润也越大，彩票发行也就越合理。而影响N 的因素就是该彩票对彩民的吸引力，吸引力越大，N 越大，该彩种也就越合理。

对于②，在定理一的基础上，显然可以得到下面的推论：影响合理性的因素等价于影响吸引力的因素。

就影响吸引力的因素而言，我们可以从分析彩民购买彩票的心理入手。对于彩民来说，影响他购买彩票的主要因素有：①一等奖的奖金；②中奖率；③低等奖的奖金额。由于中一等奖的概率非常低，因此一等奖的概率对彩民的影响是极其微小的，相对于上面的三个因素而言，可以忽略。

四、模型的建立与求解 ㈠ 彩民获各奖项的概率

用q 表示彩票，

G n (q ) 表示q 是获第n 等奖的彩票。

a . “传统型”彩票的概率计算。

对于“传统型”彩票，由于各个奖项之间的相互影响，如果采用排列组合的方法来求解的话，会使问题变得很复杂以至很难求解。因此，我们采用了计算机编程，编制了一个与

G n (q ) 作用相同的函数，运用枚举法，方便的解决了“传统型”彩票的概率计算

问题。运算结果如下表所示：

表一、“传统型”彩票奖项中奖的概率

b . “乐透型”彩票的概率计算。

对于“乐透型”彩票的概率的计算，我们可采用简单的排列组合来求解。其计算公式如下：

n /m 型：

m -11m -21m -1

C m C n -(m +1) C m C n -(m +1) C m 1

p 2=m p 3=p =p 1=m 4m m

C n ，C n C C n ，n ，，

p 5=

m -22

C m C n -(m +1)

C

m

n

p 6=

，

m -32C m C n -(m +1)

C

m

n

p 7=

，

m -33C m C n -(m +1)

m

C n

。

n +m 型：

p 1=

1

m +1C n

，

p 2=

1C n -(m +1) m +1C n

，

p 3=

m -11C m C n -(m +1)

m +1

C n

p 4=

，

m -12C m C n -(m +1)

m +1

C n

，

p 5=

m -22C m C n -(m +1)

C

m +1

n

p 6=

，

m -23C m C n -(m +1)

C

m +1

n

p 7=

，

m -33C m C n -(m +1)

m +1

C n

。

按照上面的概率计算方法，我们可以得到下面的一个概率表：表二

表二：概率表

㈡ 合理性的综合评价模型

根据问题分析可知，一等奖的奖金额效用、中奖率、低等奖的奖金额都是评价彩票吸引力的指标。记各个指标分别为

x j 1

（一等奖奖金额效用），

x j 2

（中奖率），

x j 3

（低等奖的

金额），各彩种的指标数据矩阵

其中，

⎡x 11x 12⎢x x 2221⎢X =

⎢ ⎢

x s , 21⎣x s ，

x ij ≥0(i =1, 2, , s , j =1, 2, 3)

x 13⎤

x 23⎥⎥ ⎥⎥x s , 3⎦

表示序号为i 的彩票的第j 项指标数据。记决策向量为

d i =(x i 1, x i 2, x i 3) 。

1、

x ij

的确定

v ⑴j =1时，一等奖的奖金i 1（单注期望值）

根据题中给出的计算高等奖的奖金总额公式，

[(当期奖金总额⨯总奖金比例) -低项奖总额]⨯单项奖比例

我们可以得到

v ij

的计算公式

v ij =

显然，

(t 0Nr 0-N ∑p il v il ) ⋅a 1

l

Np il

=

(t 0r 0-∑p il v il ) ⋅a 1

l

p il

v i 1从100变到200比从400变到500对彩民的吸引力要大得多。一等奖奖金额效用

这一指标是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和决策分析理论的知识，我们需求出它的效用函数。对于一等奖的而言，彩民能够拿到封顶金额M F =500万时，彩民的满意度（效用）为100%即1，当彩民只能拿到保底金额M B =60万时，效用为0。我们可以通过一种效用函数曲线的经验求法，求出本题的效用函数。记U (x ) 为效用函数，满足条件（1）、（2）：

dU a

= 0, dx x +b

d 2U

0dx （1）

（2）

U (5⨯106) =1, U (3⨯106) =0. 5U (0. 6⨯106) =0

则由方程组（1）及条件（2）利用Mathematic 可解得效用函数：

U (x ) =7. 315-2. 742ln x -15

效用函数曲线图如下：

效用函数曲线图

根据这一效用函数以及

v i 1的计算，我们可以得到x i 1=U (v i 1) (i =1, 2, , s ) .

⑵ j =2 指标x 2是指所有奖项的中奖概率之和。即

x i 2=∑p ij

j =1

k

（k 为奖项等级）

⑶ j =3 对于低等奖的奖金额这一指标，在同等程度提高末等奖与四等奖的奖金额情况下，后者对彩民的吸引力更大。因此，低等奖的奖金总额指标可以简化为四等奖的资金额与获四等奖的概率的乘积。即

至此我们将三种指标

x i 3=p i 4v i 4。

转化为一等奖的奖金效用

x j 1, x j 2, x j 3

U (v i 1) ，获奖概率和

∑p

j =1

k

ij

，四等奖的奖金额与四等奖的概率之积

v i 4p i 4(i =1, 2, , s ) 。并得到了各彩种的指

。

标数据矩阵

X =(x ij ) s ⨯3(i =1, 2, , s ; j =1, 2, 3)

2、三种指标的权值的确定

显然，每一种指标对彩民的吸引力的影响度是不同的，对于各个指标的权值具体确定，我们可以利用层次分析法的内容来给出，这在以后再进行讨论。在这里，由假设一与假设二

∑w >w >w w 123i 的前提，可以认为是一个定值且不妨设，s =1

w 1=0. 6，w 2=0. 3，w 3=0. 1。

3、综合评价 ⑴指标的无量纲化

3

w s =1

。在本题中我们给定

首先将指标数据无量纲化。这里，我们采用极差正规法消去数据的量纲。令

y ij =

x ij -min {x ij }

1≤i ≤s

max{x ij }-min {x ij }

1≤i ≤s

(i =1, 2, , s ; j =1, 2, 3)

经无量纲化后，指标数据矩阵X 化成了决策矩阵⑵给指标赋权

Y =(y ij ) s ⨯3, y ij ∈[0, 1]

。

用前面求出的指标的权重对决策矩阵Y 进行加权处理。令策矩阵

z ij =w j y ij

，得到赋权后的决

Z =(z ij )s ⨯3, (i =1, 2, , s ；j =1, 2, 3)

。决策向量设为

d i =(z i 1, z i 2, z i 3), i =1, 2, , s

⑶求出期望决策和决策投影，进行综合评价

d j =max {u ij }, j =1, 2, 3. d *=(d , d , d ), 1231≤i ≤s 构造理想决策向量其中将d *单位化得：

d 0*=

1

d *=d *

1d 1+d 2+d 3

2

2

2

d *.

再求出各决策向量在理想决策向量方向上的投影：

D i =d i ⋅d 0*=

1d 1+d 2+d 3

2

2

2

∑d

j =1

3

j

u ij , i =1, 2, . s .

以各决策向量的投影值

D i 作为各种彩票方案综合评价值，按越大越好的原则，可得到给出

的24种彩票的最终的评价结果。 表五：吸引力综合指标表及其排序表 表五：

㈢ “更好”的彩票发行方式的制定模型

对某一具体彩种（m 选n ）发行方案的好与坏的分析，我们依然从一等奖的奖金效用、中奖率、四等奖的中奖概率与奖金额之积这三个指标加以分析。显然这三个指标的值越大，此种发行方案就是一种“更好”的方案。

记f 1=U (v 1)，

f 2=∑p i

i =1

k

，

f 3=p 4v 4，则目标为：

⎧f 1=max ⎪

⎨f 2=max ⎪f =max ⎩3

这是一个多目标规划问题。我们采用常规的对

f i 加权处理的方法，将多目标规划转化

。

∑f w i i 为单目标规划，其中的权就是，即i

下面我们分析这一目标的约束条件：

①对于总奖金比例

w i f i =max

r 0，单张彩票的价格r 0一定的彩种来说，其单张彩票的期望值

∑p v

i =1

k

i i

=t 0⨯r 0=2⨯50%=1

。

②就低等奖而言，考察i 与i +1这两个相邻的等级，虽然i +1等奖的奖金额

比i 等奖要小，但是由于中奖人数比i 等奖的中奖人数要大得多。因此，i +1等奖的奖金总额比i 等奖的要多，即

p i v i ≤p i +1v i +1, (i =4, 5, , k -1) 。

③对于某一确定的彩种（m 选n ），它的奖项等级的设臵k 最多不应超过n ，即k ≤n 。比如，35选7，那么最多就只有7等奖。这与原题中给出的数据也是相当吻合的。

④对于最低的一等奖即k 等奖，其奖金额得到

v k ，我们可以根据在模型2中得到的效用函数

v k =5元，这与现实中的彩票发行情况也是相当吻合的。

v i >v i +1。

⑤显然奖项等级越高，奖金额越大，即

根据上面的分析，我们可以将这一问题转化为如下的一个单目标规划模型：

max =w 1u (v 1) +w 2∑p i +w 3p 4v 4

i =1

k

s . t .

模型的求解

k

⎧

p i v i =2⨯50%=1∑⎪

i =1

⎪

(i =4, 5, , k -1) ⎪p i v i ≤p i +1v i +1

⎪v i +1

v k =5⎪

⎪w 1

对于上面目标规划问题，我们可以借助于经典的求解单目标规划的方法进行求解。对于每一个具体的彩种，我们可以利用上面的模型得到一个“更好”的方案。有了这些方案，我们可以制定一个如下的表格：

表六：较优方案表

五、参考文献

1. 《数学建模》，张兴永，朱开永，煤炭工业出版社，2006；

2．《统计预测和决策》，徐国祥，上海：上海财经大学出版社，2002.7； 3．《模糊数学原理与方法》，宋晓秋，徐州：中国矿业大学出版社，1999； 4．席西民，《决策指标的估价方法及权的探索》，系统工程理论与实践，1986.3