函授高数专升本大纲及复习题
高等数学教学大纲
（函授专升本）
由于在专科阶段已经学习过高等数学，虽然各校、各专业的要求会有所差异，但是必定学习了一元函数微积分，故在本科阶段主要学习：微分方程；向量代数与空间解析几何；多元函数微积分及级数。具体要求如下：
一．一元函数微积分概要
掌握一元函数微积分中的极限、导数、积分等基本概念与基本运算。
二．微分方程
内容
微分方程及其阶、解、通解、特解与初始条件的概念 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 可降阶的高阶方程 线性微分方程解的结构 二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用
要求 ⑪ 理解微分方程及其阶、解、通解、特解、初始条件等概念。 ⑫ 掌握变量可分离与一阶线性方程的解法 ⑬ 会解齐次方程。 ⑭ 会解三类可降阶的高阶微分方程。 ⑮ 了解二阶线性微分方程解的结构。
⑯ 掌握二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程的解法。 ⑰ 会用微分方程解某些简单的应用问题。
三．向量代数与空间解析几何
内容
空间直角坐标系 空间点直角坐标 两点间距离公式 向量定义 模 单位向量 向量的坐标 方向角 方向余弦 向量的线性运算 向量的数量积 向量的向量积 平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程 直线的点向式方程、一般式方程、参数式方程 点到平面的距离 平面与平面的夹角 直线与直线的夹角 直线与平面的夹角 曲面方程的概念 旋转曲面 母线平行于坐标轴的柱面方程 空间曲线的一般式与参数式
方程 空间曲线在坐标面上的投影 常见的二次曲面
要求
⑪ 掌握空间直角坐标系；空间点的直角坐标及两点间距离公式。
⑫ 理解向量定义、模、单位向量、向量坐标、方向角及方向余弦的概念。 ⑬ 掌握向量的线性运算；向量的数量积、向量积。 ⑭ 会判定两向量的平行与垂直。 ⑮ 会求平面方程与直线方程。
⑯ 会求点到平面的距离；会求平面与平面、直线与直线、平面与直线间的夹角。 ⑰ 掌握求旋转曲面方程；认识母线平行于坐标轴的柱面方程的特征。 ⑱ 认识空间曲线的一般式与参数式方程。 ⑲ 会求空间曲线在坐标面上的投影。 ⑳ 掌握椭球面、椭圆锥面及椭圆抛物面。
四．多元函数微分学
内容
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 偏导数与全微分的概念 全微分存在的必要条件与充分条件 多元复合函数、隐函数的的求导法 二阶偏导数 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 极值与条件极值的概念 多元函数极值的必要条件 二元函数极值的充分条件 极值的求法 拉格朗日乘数法 最大值、最小值及其简单应用
要求
⑪ 理解二元函数、极限、连续的概念。
⑫ 理解偏导数概念；掌握复合函数与隐函数偏导数的求法。 ⑬ 理解全微分的概念；了解全微分存在的必要条件与充分条件；了解全微分形式的不变性；会求全微分。
⑭ 了解连续、可偏导、可全微分的关系。
⑮ 理解空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念，并会求它们的方程。 ⑯ 理解极值存在的必要条件；二元函数极值存在的充分条件，掌握求二元函数的极值。
⑰ 了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求简单的应用问题。
五．多元函数积分学
内容
二重积分的概念及性质 二重积分的计算及应用 三重积分的概念及性质 三重积分的计算及应用 两类曲线积分的概念、性质、关系及计算 格林公式 平面曲线积分与
路径无关的条件 已知全微分求原函数 对面积曲面积分的概念
要求
⑪ 理解二重积分的概念，性质及几何意义。 ⑫ 掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）。 ⑬ 了解三重积分的概念，性质。 ⑭ 会求三重积分（直角坐标，柱面坐标，球面坐标）。 ⑮ 理解两类曲线积分的概念、性质、物理意义及关系。 ⑯ 掌握计算两类曲线积分的方法。 ⑰ 掌握格林公式，并会用它求曲线积分。
⑱ 会判定平面曲线积分与路径无关，并会求全微分的原函数。 ⑲ 会用重积分、曲线积分求一些几何量（平面图形的面积、空间立体的体积、曲面的面积及曲线的弧长）与物理量（质量、重心及转动惯量）。
六．无穷级数
内容
常数项级数收敛与发散的概念 级数的基本性质 级数收敛的必要条件 几何级数与p —级数的收敛性 正项级数的比值、比较及根值审敛法 交错级数与莱布尼兹定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 幂级数及其收敛半径和收敛区间 幂级数的运算 幂级数的和函数 函数的幂级数展开式
要求
⑪ 理解常数项级数收敛、发散的概念；收敛级数的和的概念。 ⑫ 理解级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件。 ⑬ 掌握正项级数的比较、比值与根值判定法。 ⑭ 掌握交错级数的莱布尼兹判定法。
⑮ 理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级数的绝对收敛与条件收敛。 ⑯ 掌握几何级数、p —级数收敛与发散的条件。
⑰ 理解幂级数及其收敛半径的概念，掌握求幂级数收敛半径与收敛区间的方法。 ⑱ 了解泰勒级数的形式， 会用间接法将函数展开成幂级数。 ⑲ 会求简单的幂级数的和函数。
学时分配
高等数学的总学时为130，其中自学学时为80，面授学时为50，具体内容的学时数分配如下，供任课老师参考。
参考教材：
《高等数学》（专升本） 李永琪、许红娅、薛秀谦编著 浙江大学出版社
高等数学复习题
（函授专升本）
第一章 一元函数微积分概要
1、求下列各极限
⎛n +3⎫
① lim ⎪ ②
x lim n →∞→+∞n ⎝⎭
n
③ lim
e -e
x -x
x →0
sin x
④ lim x sin
x →0
⎝
⎛1x
2
+
1
⎫sin x ⎪ x ⎭
⑤ lim +x
x →0
x
⑥ lim
⎰
x 0
2
sin t dt x
6
x →0
2、试解下列各题
① 设 y =arctan (e x ), 求 y ', y '', dy . ② 设 y =f (x 2), 求 y ', y ''.
22⎧dy d y ⎪x =ln (1+x ), . ③ 设 ⎨，求 2
dx dx ⎪⎩y =t -arctan x
④ 设 y =1-xe , 求 ⑤ 设
y
d y d x
及在点 (0,1) 处的切线与法线方程。
⎰
x
f (t )dt =x cos x , 求f (x ).
3
2
⑥ 求函数 y =2x -6x -18x -7 的单调区间与极值。 3、求下列各积分 ①
x ⎫⎛3x
e -2sin ⎪dx ②
⎰
2⎝⎭
⎰
③
⎰ ④
⎰
10
x sin (πx )dx
⑤
⎰
10
2
⑥
⎰
e 1
1⎫⎛ln x - ⎪dx
x ⎭⎝
41
⑦
⎰
2π0
sin x ⑧
⎰
dx
⑨
⎛1⎫52
+x sin x ⎪dx ⎰-2 3+x ⎝⎭
220
-x
⎧⎪2xe
f (x )dx ，其中 f (x )=⎨
2
⎪⎩3x
2
⑩
⎰
x ≤1x >1
第二章 微分方程
1、求下列一阶微分方程的通解或特解
① y '=xy ； ② y '=e 2y -x ，y (0)=-③ y '+y =e -x ； ④ xy '+y -sin x =0, y ⑤ x y '=y ln
y x
12
； =1；
x =π
； ⑥
xy '+y =
2、求下列二阶微分方程的通解或特解
2x
① y ''=x +e ；
② (1+x 2)y ''=2x y '，y (0)=1，y '(0)=3； ③ y ''+25y =0，y (0)=2；y '(0)=5； ④ y ''+y '=x +2x ； ⑤ y ''-y =x e
2x 2
；
⑥ y ''+4y =2sin x ；
-x
⎧⎪y ''-y '-2y =3e
3、求初值问题 ⎨。
⎪⎩y (0)=0, y '(0)=1
4、设 f (x ) 为连续函数，且满足方程 2⎰f (t )dt =f (x )-x 2-1，求 f (x )。
x
5、设某曲线上各点的法线都通过点(a , b )，求此曲线方程。 6、设某曲线y =f (x )经过点(0,1)且在此点与直线y =
x 2
并满足方程y ''=x ，+1相切，
切此曲线的方程。
7、设质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降，假定液体的阻力与速度v 成正比，试求质点下降时的位移x 与时间t 的函数关系。
第三章 空间解析几何与向量代数
1、试解下列各题
① 设向量a =i -2j +2k ，b =3i -4k ，求 a ⋅b 、a ⨯b 、cos a , b 、及a 的方
()
向余弦；
② 已知三点A (1, 2, 3)，B (3, 4, 4)，C (1, 0, 4)，求同时垂直于AB , AC 的单位向量，及三角形∆A B C 的面积；
π
③ 已知向量a =1, b =2, a 与b 之间的夹角为，求以a ，b 为邻边的平行四边形
3
的对角线的长；
a =k ,1, 2, b ④ 已知向量()=(2, -2, 3)相互垂直，求k 的值。
2、试解下列各题
⎧2z =y 2
① 求yo z 面上曲线⎨绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程，并画出旋转曲面的
⎩x =0
图形。
② 画出由曲面z =6-x -
y ，z =面的交线在xo y 面上投影曲线的方程。
③ 求球心在点(1, 2, 3)，并与xo y 面相切的球面方程。 3、求下列各平面的方程
① 过点(1, 2, -3)，且与平面x +2y -3z =9平行；
2
2
所围成的立体的图形，并求这两张曲
② 过点(0, -2, 3)，且与直线③ 过x 轴和点(3, 2,1)； ④ 过点(2, -1, 3)和直线 4、求下列直线方程
x +12
x -32
=
y -1
=
z +15
垂直；
=
y -1-3
=
z +31
。
⎧x +2y -z =7
① 用点向式与参数式方程表示直线⎨；
-2x +y +z =7⎩
② 求过点(0, 2, 4)，且与两平面x +2z =1和y -3z =2均平行； ③ 求过点M 0(1, -1, 0)，且和直线l 0:
x -10
=y +21
=z 1
垂直相交。
5、求点(1, 2,1)到平面x +2y +2z -10=0的距离。 6、求点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上投影点的坐标。
第四章 多元函数微分学
1、已知f (u , v )=u -v ，求f (x +y , x -y )；
2
2
2、求函数z =ln (
y -x )+
3、求下列函数的一阶偏导数
① z =x y +cos (x +2y )； ② z =x ln (xy )；
3
③ u =(x -y )； ④
z =
z
x ；
⑤ z =f (x 2-y 2)； ⑥ z =f (x 2+y 2, e xy ) 4、求下列函数的全微分
① 设z =e
x y
y z
， 求 dz ； ② 设w =x ，求 dw
5、求下列函数的二阶偏导数
∂z ∂z ∂z
① 设z =arctan , 求 ； , 2, 2
x ∂x ∂y ∂x ∂y
y
222
∂z ∂z ∂z
② 设z =f (2y +1, xy ), 求 。 , 2, 2
∂x ∂y ∂x ∂y
222
6、求下列隐函数的偏导数或全微分
① 设由方程x +2y -3z =e z 确定z 是x , y 的函数，求
∂z ∂z , . ∂x ∂y
② 设由3xyz =z 3确定z (x , y )， 求 ③ 设 z =ϕ(x +y -z ), 求 d z .
∂z ∂z , . ∂x ∂y
7、设 z =y +ϕ(u ), 其中 ϕ(u ) 可微，u =x 2-y 2,
证明：y
∂z ∂x +x
∂z ∂y
=x 。
8、多元函数微分学的在几何上的应用
① 求曲面 e z -z +xy =3 在点(2,1, 0)处的切平面与法线方程。
② 求曲线 x =a cos θ, y =a sin θ, z =b θ 在点θ=0处的切线与法平面方程。
2
⎧⎪x =y
③ 求曲线 ⎨ 在点(1,1,1)处的切线与法平面方程。
2
⎪⎩z =x
④ 求曲面 z =xy 平行与平面 x +3y +z +9=0 的切平面方程。 9、求函数 z =x +y -3xy 的极值。
10、要造一个容积为 V 的长方形无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使表面积最
小。
11
、证明曲面数。
3
3
=
第五章 多元函数积分学
1、画出下列各积分区域，并改变积分次序
① ②
⎰⎰
10e 1
dy ⎰dx ⎰
y 0
f
(x , y )dx 。
f
ln x 0
(x , y )dy 。
③ ⎰dy ⎰
12y
f (x , y )dx +
⎰
3
1
dy ⎰
3-y
f (x , y )dx
2、求下列二重积分
① ②
⎰⎰(2x +y )d σ,
D
D ：x +y ≤1, x ≥0, y ≥0.
⎰⎰D
σ， 其中 D 是由两条抛物线
y =
22
y =x 所围成闭区域。
2
③
⎰⎰
D
x y
d σ, D ：由曲线 xy =1, y =x , x =2 围成。
④
⑤ ⑥
⎰
10
dx x
y y
2
dy 。
2
⎰⎰cos (x +y
D
)d σ
，D ：π2≤x 2+y 2≤4π2, y ≥0.
2
⎰⎰(x
D
2
+y
2
)d σ，D ：x
2
+y ≤2ax
2
2
3、求由旋转抛物面 z =6-x -y 与锥面
z =4、求下列各曲面的面积
所围成立体的体积。
① 球面 x +y +z =4 含在圆柱面 x +y =1 内的那部分曲面。 ② 锥面
z =
被柱面 z =2x 所割下部分的曲面。
22222
2
5、求下列各三重积分
① ② ③
⎰⎰⎰ydxdydz , Ω：由平面
Ω
x +y +z =1, x =0, y =0, z =0 所围成。
x +y =2z 与平面 z =2 围成。
2
2
2
2
⎰⎰⎰(x
Ω
2
+y
2
)dv ，Ω：由抛物面
⎰⎰⎰
Ω
， Ω：x +y +z ≤2z 。
2
6、将三重积分
⎰⎰⎰f (x
Ω
2
+y
2
)dv Ω：
≤z ≤
分别表示成柱面
坐标与球面坐标系下的三次积分。 7、求下列各曲线积分
①
⎰(x +y
2
L
2
)
n
ds ，L ：x +y =a 。
222
②
⎰L
, L ：从点(0, 0)到点(1,1)的直线段。
2
③ ④
⎰
L L
x ds , L ：由 y =x , y =x 所围成区域的整个边界。
2
⎰2ydx +x ⎰(x
L L
3
2
dy ,
L ：曲线 y =x 上从点(0, 0)到点(2, 4)的弧段。
2
8、用格林公式求下列曲线积分
① ②
-x y )dx +(xy -y
2
2
2
3
)dy ,
L ：x +y =4正向一周。
22
⎰(2xy -x )dx +(x +y )dy ，其中 L 是由抛物线 ⎰(e
L
x
x
y =x , y =x 所围成闭
22
区域的正向边界曲线。 ③
sin y -2y +x )dx +(e cos y +y )dy ， L ： 从点(a , 0)到点(-a , 0)的上
半圆周
y =(a >0)。
9、试确定 a , b 的值，使得 (axy 3-y 2cos x )dx +(y +by sin x +3x 2y 2)dy 为某函数的全微分，并求出一个这样的函数。 10、设曲线积分
⎰(x
A
B
2
+2ϕ(x ))y dx +x ϕ(x )dy 与路径无关，其中ϕ(x )可导，且
ϕ(1)=0, 求 ϕ(x ) 及当 A (1, 0), B (2, 2) 时的积分值。
第六章 无穷级数
1、判定下列级数的敛散性
∞
①
∑
n =1
∞
②
∑
n =1
2+(-1)3
n
n
；
∞
③
∑
n =1
ln
n n +1
∞
④
∑
n =1
n
π
n
∞
⑤
∑
n =1
n 2
2n
∞
⑥
∑
n =1
3⋅n n !
2、判定下列级数的绝对与条件收敛性
∞
① ③
∑(-1)
n =1
n
3
n n +1+
1
∞
②
1ln 5
+
∑
n =1
-1n
1ln 2
-
1ln 3
n
ln 4
-
3、求下列幂级数的收敛半径与收敛区间
∞
①
∑
n =1∞
(-1)
n
2
∞
n
x ②
∑
n =1∞
x -1n
n
③
∑
n =1∞
(2x +1)
n
2
n
④
∑
n =1∞
(x +2)
n !
4、求下列幂级数的和函数 ①
∑
n =1
x 2
n n
(-2
x
n =1
x
n n
n ⋅3
(-3
5、求下列函数的麦克劳林级数
① 3x ； ② ln (2+x )； ③ x ⋅arctan x ； ④ ⎰cos t 2dt ；
0x
6、将f (x )=
1x +3x +2
2
展开成x -1的幂级数。
π
4
7、将f (x )=sin x 展开成x +
的幂级数。
模拟试卷
一．填空题（共21分，每小题3分） 1．lim n [ln (n +1)-ln n ]=
n →∞
2．设
⎰
x
f (t )dt =x sin x ，则 f (x )= ；
2
3．设 z =f (x 2-y 2)，则 x
∂z ∂y
+y
∂z ∂x
=；
4．改变积分次序
⎰
2
dx x
2
3-x
f (x ，y )dy = ；
2
2
2
5．将三重积分
⎰⎰⎰f (x
Ω
+y +z
)dV ，
Ωx +y
22
≤z ≤a -x -y
222
表
示成球面坐标系下的三次积分 ； 6．设 L 是圆周 x 2+y 2=a 2，则 7．将
1x
(x
L
2
+y
2
)
n
ds = ；
展开成 x -2
二．选择题（共9分，每小题3分）
2
⎧⎪x =y
1．曲线 ⎨上点(1，1，1) 处的法平面方程为（ ）
2
⎪⎩z =x
(A ) (C )
2x -y -4z +3=0； (B ) 2x -y +4z -5=0； 2x +y +4z -7=0； (D ) 2x +y -4z +1=0。
2．下列级数中条件收敛的级数为（ ）
(A ) ∑(-1)
n =1
∞
n
1n
2
； (B )
n
∑(-1)n =1
∞
n n +1
，
(C ) ∑(-1)
n =1
∞
n
2n +3
； (D )
n n
()-1ln 2。 ∑n =1
∞
3．设f (x ，y )在点(x 0，y 0)的某个领域内有定义，且f x (x 0，y 0)=f y (x 0，y 0)=0，则（ ）
(A )(B )(C )(D )
轴。
f (x ，y )在(x 0，y 0)的连续；
z =f (x ，y )在(x 0，y 0)的全微分为0； f (x ，y )在(x 0，y 0)有极值；
⎧z =f (x ，y )曲线 ⎨ 在(x 0，y 0，f (x 0，y 0))点处有切线，且切线平行于x
y =y 0⎩
三．计算题（共40分，每小题8分） 1．求积分
⎰
10
x cos (πx )dx ；
2．设 e z -xyz =0，求 d z ； 3．求通解 x y '=3y +x 2；
4．求极值 f (x ，y )=x 3-y 2-3x ； 5．求曲线积分
⎰(2xy -x )dx +(x +y )dy ，
2
2
L
2
2
其中 L 是由抛物线 y =x , y =x 所围成闭区域的正向边界曲线。 四．（10分）求球面 x +y +z =5 被平面 z =1, z =2 所夹部分的曲面面积。
x 2
x
22
2
2
2
五．（10分）求幂级数 +
2⋅2
+
x
33
3⋅2
+ +
x
n n
n ⋅2
+ 的收敛区间及和函数。
⎧y ''-y '-2y =3e -x
六．（10分）求初值问题 ⎨。
⎩y (0)=0，y '(0)=1