空间中两条线段之间的最短距离

空间中两条线段之间的最短距离

设空间中有两条线段 AB 和 CD ，设 A 点的坐标为 (x1,y1,z1) ，B 点的坐标为 (x2,y2,z2) ，C 点的坐标为 (x3,y3,z3) ，D 点的坐标为 (x4,y4,z4) 。 设 P 是直线 AB 上的一点，P 点的坐标 (X,Y,Z) 可以表示为

⎧X=x1+s(x2-x1)⎪⎨Y=y1+s(y2-y1) 。

⎪Z=z+s(z-z)121⎩

当参数 0≤s≤1 时，P 是线段 AB 上的点；当参数 s1 时，P 是 AB 延长线上的点。

设 Q 是直线 CD 上的一点，Q 点的坐标 (U,V,W) 可以表示为

⎧U=x3+t(x4-x3)⎪⎨V=y3+t(y4-y3) 。

⎪W=z+t(z-z)343⎩

当参数 0≤t≤1 时，Q 是线段 CD 上的点；当参数 t1 时，Q 是 CD 延长线上的点。

P,Q 两点之间的距离为

PQ=(X-U)2+(Y-V)2+(Z-W)2 。

距离的平方为

f(s,t)=PQ2=(X-U)2+(Y-V)2+(Z-W)2

=[(x1-x3)+s(x2-x1)-t(x4-x3)]2+[(y1-y3)+s(y2-y1)-t(y4-y3)]2

+[(z1-z3)+s(z2-z1)-t(z4-z3)]2 。

要求直线 AB ，CD 之间的最短距离，也就是要求 f(s,t) 的最小值。 对 f(s,t) 分别求关于 s ，t 的偏导数，并令偏导数为0 ：

⎧∂f(s,t)⎪∂s=0

⎨∂f(s,t)⎪=0∂t⎩

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展开并整理后，得到下列方程组：

⎧[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]s⎪⎪-[(x2-x1)(x4-x3)+(y2-y1)(y4-y3)+(z2-z1)(z4-z3)]t

⎪⎪=(x1-x2)(x1-x3)+(y1-y2)(y1-y3)+(z1-z2)(z1-z3) ⎨⎪-[(x2-x1)(x4-x3)+(y2-y1)(y4-y3)+(z2-z1)(z4-z3)]s

⎪+[(x4-x3)2+(y4-y3)2+(z4-z3)2]t⎪⎪⎩=(x1-x3)(x4-x3)+(y1-y3)(y4-y3)+(z1-z3)(z4-z3)

如果从这个方程组求出的参数 s ，t 的值满足 0≤s≤1，0≤t≤1 ，说明 P 点落在线段 AB 上，Q 点落在线段 CD 上，这时 PQ 的长度

PQ=(X-U)2+(Y-V)2+(Z-W)2

就是线段 AB 与 CD 的最短距离。

如果从方程组求出的参数 s ，t 的值不满足 0≤s≤1，0≤t≤1 ，说明不可能在线段 AB 内部找到一点 P ，在线段 CD 内部找到一点 Q ，使得 PQ 的长度就是线段 AB 与 CD 的最短距离。

这时，可以分别求 A 点到线段 CD 的最短距离、B 点到线段 CD 的最短距离 、C 点到线段 AB 的最短距离、D 点到线段 AB 的最短距离。

（求法参看《数学中国》论坛上的帖子：“空间中一个点到空间中一条线段的最短距离”。） 然后，比较这4个距离的大小，其中最小的一个，就是线段 AB 到 CD 的最短距离。

下面看一个例子。

设 A 点的坐标为 (x1,y1,z1)=(4,0,0)，B 点的坐标为 (x2,y2,z2)=(0,3,0) ，C 点的坐标为 (x3,y3,z3)=(4,3,1)，D 点的坐标为 (x4,y4,z4)=(4,3,-4) 。

方程组

⎧[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]s⎪⎪-[(x2-x1)(x4-x3)+(y2-y1)(y4-y3)+(z2-z1)(z4-z3)]t

⎪⎪=(x1-x2)(x1-x3)+(y1-y2)(y1-y3)+(z1-z2)(z1-z3) ⎨-[(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)+(z-z)(z-z)]s[1**********]3⎪⎪+[(x4-x3)2+(y4-y3)2+(z4-z3)2]t⎪⎪⎩=(x1-x3)(x4-x3)+(y1-y3)(y4-y3)+(z1-z3)(z4-z3)

即

⎧[(-4)2+32+02]s-[(-4)⨯0+3⨯0+0⨯(-2)]t=4⨯0+(-3)⨯(-3)+0⨯(-1) ⎨222-[(-4)⨯0+3⨯0+0⨯(-2)]s+[0+0+(-5)]t=0⨯0+(-3)⨯0+(-1)⨯(-5)⎩

即 ⎨

⎧25s=9⎧s=25 ，解得 ⎨ 。 ⎩25t=5⎩t=2

因为 0

线段 CD 上，这时 PQ 的长度就是线段 AB 与 CD 之间的最短距离。

P 点的坐标 (X,Y,Z) 为

964⎧X=x+s(x-x)=4+(0-4)=121⎪2525⎪927⎪Y=y+s(y-y)=0+(3-0)= 。 ⎨1212525⎪⎪Z=z+s(z-z)=0+9(0-0)=0121⎪25⎩

Q 点的坐标 (U,V,W) 为

1⎧U=x+t(x-x)=4+(4-4)=4343⎪5⎪1⎪V=y+t(y-y)=3+(3-3)=3 。 ⎨3435⎪⎪W=z+t(z-z)=1+1(-4-1)=0343⎪5⎩

线段 AB 与 CD 之间的最短距离，即 PQ 的长度为

PQ=(X-U)2+(Y-V)2+(Z-W)2

6427362+4826012222 。 =(-4)+(-3)+(0-0)===252525255

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