同弧所对的圆周角均相等(几何证明)
07-28
同弧所对的圆周角均相等
证明:构造定点A 和定点O, 以O 为圆心, 以AO 为半径作圆:⊙O
上构造一动点P. 在⊙O上构造定点B, 在优弧BA
所对的圆周角. 连接AP,BP,OP,AO,BO,AB. 则∠APB 为AB
(1)当点O 在△ABP 之外时
1. 当点O 在△ABP 的PB 一侧时
∠APB=∠APO-∠BPO ∠APB=(π-∠PAO-∠AOP)-π−∠BOP
2 ∠APB=(π-∠PAO-∠AOP)-π−∠AOP −∠AOB
2 ∠APB=π∠PAO-1∠AOP+1
222AOB
过O 作DO ⊥AP,D 为AP 上的垂足.
∵点A, 点P 在⊙O上;
∴PO=AO;
∴∠AOD=1
2AOP; ∴∠APB=π-(∠PAO+∠AOD)+1∠1
22AOB=2AOB.
2. 同理可证点O 在△ABP 的PA 一侧时:
∠APB=1
2AOB
(2)当点O 在△ABP 之内时
∠APB=∠APO+∠BPO
∠APB=π−∠AOP
2+π−∠BOP
2∠APB=π-1
2(∠BOP+∠AOP)
∠
APB=π-1
2(2π-∠AOB)
∠APB=1
2AOB
(3)当点O 在AP 上时: ∠APB=
∠APB=π−∠BOP 22π−π+∠AOB 1
2∠APB=AOB 同理可证点O 在BP 上时:
∠APB=AOB 21
上任意一点都有:∠APB=1AOB 综上所述:点P 在优弧BA 2
∵A,B,O 为定点;
∴∠
AOB 的大小固定;
∴∠APB 的大小固定且为∠AOB 的一半. 即:同弧所对的圆周角均相等.