2014年全国高考辽宁省数学(理)试卷及答案[精校版]

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项

中，只有一项 是符合题目要求的.

1. 已知全集U =R , A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1}，则集合C U (A B ) =（ ） A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0

-13

，b =log 2

11

, c =log 1，则（ ） 323

A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 4. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m //α, n //α, 则m //n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α D ．若m //α，m ⊥n ，则n ⊥α

5. 设a , b , c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若a ∙b =0，b ∙c =0，则a ∙c =0；命题q ：

若a //b , b //c ，则a //c ，则下列命题中真命题是（ ）

A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(⌝p ) ∧(⌝q ) D ．p ∨(⌝q )

6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24

7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．8-2π B ．8-π C ．8-

ππ D ．8- 24

8. 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{21n }为递减数列，则（ ） A ．d 0 C ．a 1d 0 9. 将函数y =3sin(2x +A ．在区间[

a a

π

3

) 的图象向右平移

π

个单位长度，所得图象对应的函数（ ） 2

π7π

,

1212π7π

]上单调递增 B ．在区间[, 1212

C ．在区间[-D ．在区间[-

]上单调递减

ππ

, ]上单调递减 63

, ]上单调递增 63

ππ

10. 已知点A (-2,3) 在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．

1234 B ． C ． D ． 2343

3

2

11. 当x ∈[-2,1]时，不等式ax -x +4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-5, -3] B ．[-6, -] C ．[-6, -2] D ．[-4, -3]www.shulihua.net 12. 已知定义在[0,1]上的函数f (x ) 满足： ①f (0)=f (1)=0；

②对所有x , y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x ) -f (y ) |

9

8

1

|x -y |. 2

若对所有x , y ∈[0,1]，|f (x ) -f (y ) |

1111 B ． C ． D ． 242π8

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 执行右侧的程序框图，若输入x =9，则输出y =

14. 正方形的四个顶点A (-1, -1), B (1,-1), C (1,1),D (-1,1) 分别在抛物线y =-x 2和y =x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，www.shulihua.net 则质点落在阴影区域的概率是

.

x 2y 2

+=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别15. 已知椭圆C ：94

为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |+|BN |= . www.shulihua.net 16. 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a -2ab +4b -c =0，且使|2a +b |最大时，

2

2

345

-+的最小值为a b c

三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

17. （本小题满分12分）

1

在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a >c ，已知BA ∙BC =2，cos B =，

3

b =3，求：

（1）a 和c 的值； （2）cos(B -C ) 的值. 18. （本小题满分12分）

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望

E (X ) 及方差D (X ) .

19. （本小题满分12分）

如图，∆ABC 和∆BCD 所在平面互相垂直，且AB =BC =BD =2，

∠ABC =∠DBC =1200，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.

（1）求证：EF ⊥BC ；

（2）求二面角E -BF -C 的正弦值.

20. （本小题满分12分）

圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，

x 2y 2

切点为P （如图），双曲线C 1:2-2=1过点P

a b

（1）求C 1的方程；

（2）椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程

.

21. （本小题满分12分）

已知函数f (x ) =(cosx -x )(π+2x ) -(sinx +1) ，

83

g (x ) =3(x -π)cos x -4(1+sin x )ln(3-

证明：（1）存在唯一x 0∈(0,（2）存在唯一x 1∈(

2x

π

) .

π

2

) ，使f (x 0) =0；

π

2

, π) ，使g (x 1) =0，且对（1）中的x 0有x 0+x 1

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲www.shulihua.net

如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG =PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD，求证：

AB=ED.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；

（2）设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1, P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段PP 12的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

2

设函数f (x ) =2|x -1|+x -1，g (x ) =16x -8x +1，记f (x ) ≤1的解集为M ，g (x ) ≤4

的解集为N. （1）求M ；

（2）当x ∈M N 时，证明：x f (x ) +x [f (x )]≤

2

2

1. 4

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

理科数学答案

1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. C 9. B 10. D 11. C 12. B 13.

292

C 14. 15. 12 16. -2 93

1

17. （Ⅰ）由BA ⋅BC =2得，c ⋅a cos B =2，又cos B =，所以ac =6.

3

由余弦定理，得a

2

+c =b +2ac cos B .

22

又b =3，所以a

2

+c =9+2⨯2=13.

2

⎧⎪ac =6解⎨2，得a =2，c =3或a =3，c =2. 2⎪⎩a +c =13

因为a >c , ∴ a =3，c =2. （Ⅱ）在∆

ABC 中，sin B =

==

3

由正弦定理，得sin C

c 2，又因为a =b >c ，所以C 为锐角，

=sin B =⋅=

b 339

因此cos C ==7

=. 9

于是cos(B -C ) =cos B cos C +

sin B sin C =

1723

. ⋅+⋅=

393927

18. （Ⅰ）设A ，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 1表示事件“日销售量不低于100个”表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”. 因此

P (A 1) =(0.006+0.004+0.002) ⨯50=0.6 . P (A 2) =0.003⨯50=0.15.

P (B ) =0.6⨯0.6⨯0.15⨯2=0.108.

（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. 相应的概率为

P (X =0) =C 3⋅(1-0.6) 3=0.064, 1P (X =1) =C 3⋅0.6(1-0.6) 2=0.288, 2P (X =2) =C 3⋅0.62(1-0.6) =0.432, 3P (X =3) =C 3⋅0.63=0.216,

分布列为

因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 19. （Ⅰ）证明：

（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，

由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC =∠FOC =又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF ⊥BC .

（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系

.

π

，即FO ⊥BC ， 2

易得B （0,0,0），A (0，-1

D

，C (0,2,0),

因而E (0,,

11

F ,0) ,

所以2222

EF =-BC =(0,2,0)，因此EF ⋅BC =0, 从而EF ⊥BC ，所以EF ⊥BC .

22

（Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角； 在△EOC 中，EO =

11BO OG =⋅FC =EC =BC ·cos 30°

由△BGO ∽△BFC

知，,

22BC

因此tan ∠EGO =

EO =2, 从而sin ∠EGO

=，即二面角E -BF -C

的正弦值为. OG 55

（方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1=(0,0,1) ，设平面BEF 的法向量

⎧1 3⎪n 2⋅BF =0

得其中一

个, 0) B , E =, , 由) n 2=(x , y , z ) ，

又B F = ⎨

2222⎪⎩n 2⋅BE =0

n 2=(1, ，设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，

则

n ⋅n 2|=sin θ

，即二面角E -BF -C 的正弦

cos θ=|cos |=|15

|n 1|⋅|n 2|值为

. 5

x 0

，切线方程为y 0

20. （Ⅰ）设切点坐标为(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0) ，则切线斜率为-

y -y 0=-

x 0

(x -x 0) ，即x 0x +y 0y =4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角y 0

1448

. 由x 02+y 02=4≥

2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=时x 0y 0⋅⋅=

2x 0y 0x 0y 0

形面积为S =

有最大值，即S 有最小值，因此点P

得坐标为 ， 由题意知

⎧22

y 2⎪2-2=1222

=1. 解得a =1, b =2，故C 1方程为x -⎨a b

2⎪a 2+b 2=3a 2

⎩

x 2y 2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C

2的焦点坐标为(，由此C 2的方程为+=1，

3+b 12b 12

其中b 1>0.

由P 在C 2上，得

22

+=1， 22

3+b 1b 1

x 2y 2

+=1 解得b 1=3，因此C 2方程为63

2

显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my

A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)

⎧x =my +⎪由⎨x 2y 2

得(m 2+2) y 2+-3=0，又y 1, y 2是方程的根，因

此=1⎪+3⎩6

⎧y +y =⎪⎪12⎨⎪y y =-3

12⎪m 2+2⎩① ，

由x 1=y , 2得m +

23y ②

⎧x +x =m (y +y ) +=③⎪12⎪12

⎨2⎪x x =m 2y y (y +y ) +3=6-6m ④121212⎪m 2+2⎩

因AP =x 1y 1), BP =x 2y 2) 由题意知A P ⋅B =P 0，所

以

x 1x 2(x 1+x 2) +y 12(y +1

2y ) 2+4=0⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整

+1，因此直线l 的方程

-

1或m =-22理得2m -+11=0，

解得m =

为x -(-1) y =

0，或x +(-1) y =0. 22

21. （Ⅰ）当x ∈(0,2) 时，f '(x ) =-(1+sin x )(π+2x ) -2x -cos x

π8π16π20, f () =-π-所以存在唯一x 0∈(0,) ，32322π

使f (x 0) =0. （Ⅱ）考虑函数h (x ) =

令t =π-x ，则x ∈[

记u (t ) =h (π-t ) =3(x -π)cos x 2π-4ln(3-x ), x ∈[, π]， 1+sin x π2π, π]时，t ∈[0,]， 22π3t cos t 23f (t ) -4ln(1+t ) ，则u '(t ) = ， 1+sin t π(π+2t )(1+sin t )

由（Ⅰ）得，当t ∈(0,x 0) 时，u '(t ) >0，当t ∈(x 0, π

2) 时，u '(t )

在(0,x 0) 上u (t ) 是增函数，又u (0)=0，从而当t ∈(0,x 0]时，u (t ) >0，所以u (t ) 在(0,x 0]上无零点.

在(x 0, πππ) 上u (t ) 是减函数，由u (x 0) >0, u () =-4ln 2

2) 使u (t 1) =0. 因此存在唯一的x 1=π-t 1∈(

因为当x ∈(π2, π) ，使h (x 1) =h (π-t 1) =u (t 1) =0. π

2, π) 时，1+sin x >0，故g (x ) =(1+sin x ) h (x ) 与h (x ) 有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈(π

2, π) ，使g (x 1) =0.

因x 1=π-t 1, t 1>x 0，所以x 0+x 1

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （Ⅰ）因为PD =PG , 所以∠PDG =∠PGD .

由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA , 又由于∠PGD =∠EGA , 故∠DBA =∠EGA , 所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD , 从而∠BDA =∠PF A .

由于AF 垂直EP ，所以∠PF A =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径.

(Ⅱ) 连接BC ，DC

.

由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，

在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA , AC =BD ，

从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA .

又因为∠DCB =∠DAB , 所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB .

由于AB ⊥EP , 所以DC ⊥EP , ∠DCE 为直角

于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .

23. （Ⅰ）设(x 1, y 1) 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得⎨⎧x =x 1 由⎩y =2y 1

y 2y 2

2=1. ，故C 得参数方程x +y =1 得x +() =1，即曲线C 的方程为x +242

1212

为 ⎨⎧x ＝cos t （t 为参数）. ⎩y ＝2sin t

⎧2y 2

⎧x =1⎧x =0=1⎪x +(Ⅱ) 由⎨解得：，或. 4⎨⎨⎩y =0⎩y =2⎪2x +y -2=0⎩

不妨设P ,0), P 2(0,2), 则线段PP 12的中点坐标为(,1) , 所求直线的斜率为k =1(1

求直线方程为y -1=121，于是所211(x -) ， 22

3. 4sin θ-2cos θ化极坐标方程，并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3，即ρ=

24. （Ⅰ）f (x ) =⎨⎧3x -3, x ∈[1,+∞) 1-x , x ∈(-∞,1) ⎩

44，故1≤x ≤； 33当x ≥1时，由f (x ) =3x -3≤1得x ≤当x

2(Ⅱ) 由g (x ) =16x -8x +1≤4得16(x -) ≤4, 解得-4312

4

133N ={x |-≤x ≤，故M N ={x |0≤x ≤. 44413≤x ≤，因此44

当x ∈M N 时，f (x ) =1-x ，于是

x 2f (x ) +x ⋅[f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]

=x ⋅f (x ) =x (1-x ) =

111-(x -) 2≤. 424