初等函数的基本不等式
初等函数的基本不等式
一. 初等函数的基本不等式
1. 三角、反三角型不等式 (1) x -
13115x ≤sin x ≤min {x -x 3+x , x },x ≥0; 66120
(2) sin x ≥
≥
2
π
x (0≤x ≤
π
2
);
x ≤
s i n
x ≤≤x (≤0x ≤π ) ; 121+x 6 (3) 1-
(4) 1-
12114
x ≤cos x ≤1-x 2+x ; 2224
12πx ≤cos x ≤≤x ≤; 22≤arctan x ≤≤x , x ≥0;
(5)
3x
≤3+x 2
a r c t a x n ≤
x
, 0≤x ≤1;
42
1+(-1) x
π
x n ≤ a r c t a
+
x
4
, x ≥0. x 2
π2
(5)的证明: arctan x ≤
x
+x
2
, x ≥0.
设f (x ) =arctan x -
x
+x 2
2
, x ≥0, m =+x 2>0.
2
-2x 2
+x -(1+x 2) 3
1124则 f ' (x ) =-=-(m -1) (m +2) /m ≤0, 2221+x 3(1+x )
f (x ) ≤f (0) =0, 不等式得证!(其余部分证明类似, 此略)
2. 对数型不等式
(1) x -
12x x 11x ≤≤ln (1+x ) ≤≤≤(1+x -) ≤x , x ≥0; 3
1221+x 51+x (1+x ) 526
(2)
11x x 1
(1+x -) ≤≤ln (1+x ) ≤≤x -x 2≤x , x
121+x 2+x 1+x 2
1
x +y 1x -y 1 (3)
对数平均不等式() 3(xy ) 3
2ln x -ln y 6 3. 指数数型不等式
x 2x m
+... +(m ≥1, x ≥0; 或x
x
x 2x m
+... +(x ≤0, m 为偶数). (2) e ≤1+x +2! m !
x
(3) e x ≥ex +(x -1) 2, x ≥0(x =0,1 取等号). (3)可推广为e x ≥e t -1[e (x -t +1) +(x -t ) 2],x ≥t -1. 4. 幂不等式
贝努利不等式
(1) (1+x ) ≥1+αx , x >-1, α≥1或α≤0;
(2) (1+x ) ≤1+αx , x >-1, 0
(4) x y
αα
1-α
α
α
≤αx +(1-α) y , x , y >0, 0≤α≤1; ≤αx +(1-α) y , x , y >0, α1.
1-α
1-α
事实上x y
α
x x
≤(≥) αx +(1-α) y , 也就是() α≤(≥) 1+α(-1),
y y
可见贝努利不等式与赫尔德不等式是等价的.
二.应用举例
例1 (1) arctan (sinx ) ≥
x π
(0≤x ≤); 21+x 22
(2) arctan sin x ≤
x +x
2
(x ≥0).
x π
≤arctan sin x (0≤x ≤); 21+x 22
x π
设f (x ) =arctan sin x -, 0≤x ≤. 则求导得到 21+x 2211-x 2
12cos x cos x ≥max {0, 1-x },0≤sin x ≤x , 得到 利用f ' (x ) =-, 2
121+sin x (1+x 2) 221
1+sin 2x ≤1+x 2≤(1+x 2) 2, f ' (x ) ≥0. 于是f (x ) ≥f (0) =0,
2
x π
不等式≤arctan sin x (0≤x ≤) 得证;
121+x 22
证明:(1)先证
(2) 再来证明右边:arctan sin x ≤
x +x
2
(x ≥0).
x +x
2
事实上只需考虑0≤x
π
2
时成立arctan sin x ≤
即可.
设g (x ) =arctan sin x -
x +x
2
,0≤x
π
2
, 则g ' (x ) =
cos x
-1+sin 2x
1(1+x )
322
,
1+tan 2x 1cos 2x 1
g (x ) ≤0即也就是≤. ≤,
(1+2tan 2x ) 2(1+x 2) 3(1+sin 2x ) 2(1+x 2) 3
'
令t =tan x ≥0, s =+t 2≥1.
22
t (1+2t )
arctan t ≤, 要证明(arctan t ) ≤利用1(5)中的反正切不等式-1, 221+t +t
2
[1**********]
这样只需证明t ≤3(1+2t ) (1+t ) -3(1+t ) , s -1≤3s (2s -1) -s ,
移项, 立方整理为(s -1) (3s +6s +6s +s -3s -3s -1) ≥0, 因s ≥1, 此不等式成立. 于是g (x ) ≤0,g(x ) ≤g(0)=0, 不等式arctan sin x ≤
'
365432
x +x
2
(x ≥0) 成立!
特别地,在此不等式中令x =tan θ, 0≤θ
π
2
得到:sin (tan θ) ≤tan (sin θ).
例2 arcsin (tan x ) ≥x +x , 0≤x ≤
2
π
4
.
2
证明:构造函数f (x ) =arcsin tan x -x +x , 0≤x
'
π
4
,
sec 2x -tan x
2
-
1+2x 2+x
2
≥0, 设t =tan x ∈[0, 1),
就是
1+t 2-t
2
≥
1+2(arctan t ) 2+(arctan t )
≤1+2t 2+t
2
2
, 利用1(5) 中的不等式arctan t ≤t ,
1+2t 2+t
2
知
1+2(arctan t ) 2+(arctan t )
2
( g (t ) =, t ≥0单调增),
于是只需
1+t 2-t 2
≥
1+2t 2+t 2
, 平方整理为5t 6+3t 4≥0,
2
'
于是f (x ) ≥0, f (x ) ≥f (0)=0, 不等式x +x ≤arcsin tan x , 0≤x ≤
π
4
成立.
例3.
sin x 22π
-≥(1-) cos x , 0≤x ≤. x ππ2
x 2t 1-t 2
, cos x =, 证明 设t =tan ∈[0, 1],则利用万能代换sin x =
1+t 21+t 22
2t 221-t 2
不等式转化为-≥(1-) ⋅, 整理为 22
(1+t ) ⋅2arctan t ππ1+t
arctan t ≤
1+(-1) t 2
t , 这正是不等式1(5).
π
例4 证明斯特林不等式n ! >() n . 证明:不等式即f (n ) =
n e
∑ln i -n ln n +n >0,
i =1
n
利用不等式2(1) :ln (1+x ) ≤x , 取x =
1
得到 n
1111
)-f (n ) =1-n ln (1+) >0, ln(1+)
n n n n
于是f (n ) >f (n -1) >... >f (1) =1>0.
x 2+y 2
例5. 已知x , y >0, 求证≥x x +y y x +y ≥
x +y
(这是二元反调和平均不等式)
x y
x 2+y 2
. 2
证明:先证明右边. 考虑到不等式的齐次对称性不妨设x ≥1=y ,
x x +1
不等式转化为x ≥
x 2+1x 1x 2+1
, 即f (x ) =ln x -ln () ≥0, x ≥1. 2x +122
ln x 1x x 2-1
而f (x ) =+-≥0⇔ln x ≥2, x ≥1.
(x +1) 2x +1x 2+1x +1
'
由不等式2(1)有ln (1+x ) ≥
x 1+2
=
2x
, x ≥0, 2+x
112(x 2-1) x 2-12
于是ln x =ln x ≥⋅=2, x ≥1. 这样f ' (x ) ≥0, f (x ) ≥f (1) =0. 2
222+(x -1) x +1
x
x 2+1x 2+y 2x +y x +y x +1
≥x , x ≥1成立即可. 再证右边:≥x y , 只需
x +1x +y
x y
x x 2+1ln x x 2+1
即证明g (x ) =ln x -ln =--ln ≤0, x ≥1.
x +1x +1x +1x (x +1)
利用2中不等式有
ln (1+t ) ≥
t 1+2
=
2t , t ≥0; ln (1+t ) ≥t ≤0. 于是得到
2+t x 2+1
-12(x -1) 2(x -1) x 2+1ln x ≥=, x ≥1; ln ≥
2+(x -1) x +1x (x +1)
=
这样g (x ) ≤-
12(x -1) ⋅只需
x +1x +1-
12(x -1) ⋅≤0, 即2x (x +1)(x 2+1) ≥(x +1) 2, x +1x +12
3
2
也就是4x (x +1) ≥(x +1) ,(3x +1)(x -1) ≥0, 显然成立.
x
x +y
y x +y
右边的另一证明:由赫尔德不等式知x y
x y x 2+y 2≤⋅x +⋅y =. x +y x +y x +y
1
1
(甚至成立不等式x , y >0, 0≤t
x
x +y
y
y x +y
x +y 1-t x 1+t +y 1+t 1+t ≥(t ) ≥() ) t
x +y 2
2
3
例6. 已知对任意x ≥1, 成立不等式e ≥a +bx +cx +dx , 其中a , b , c , d >0.
x
试求abcd 的可能取到的最大值(由江苏高考题改编而成).
解: 考虑到e x ≥a +bx +cx 2+dx 3, x ≥1.
由均值不等式e x ≥a +bx +cx 2+dx 3≥于是得到
e 4x
4abcd ≤6=f (x ), x ≥1. 利用不等式3(1)得到e x ≥1+x , 有
x
4
2e 6(1+x -1) 6
e ⋅(e ) 263) . 取等(也可求导得到此结果f (x ) =≥=(e) , x =66
x x 32
31e 61e 23
这样abcd ≤() 6, 取等条件是a =bx =cx =dx , x =, abcd =() .
24343
6
2
x -1
63
求得a =
e 2a 4a 8a , b =, c =, d =. 43927
32
对于上面给出的a , b , c , d 的值, 下面证明不等式e x ≥a +bx +cx 2+dx 3, x ≥1. 成立,
即e ≥
x
e 222
[1+(x ) +(x ) 2+(x ) 3]. 4333
32
3(t -1) 222
≥1+t +t 2+t 3=(1+t)(1+t 2), t ≥. 设t =x , 不等式化为4e
33
利用不等式3(1)得到:e ≥1+x +
1
(t -1) 2
x
1213
x +x , x ∈R . 这样有 26
e
11111
≥1+(t -1) +⋅[(t -1)]2+[(t -1)]3,
22262
1
(t -1) 111t +1(t -1) 21222
≥1+(t -1) +(t -1) -(t -1) ≥+, 这样而t -1≥-, 可见e
2848⋅32933
(t -1) 2
4e
t +1(t -1) 23t +13t +12(t -1) 2(t +1) 31≥4[+]≥4[() +3⋅() ⋅]=+(t +1) 2(t -1) 2,
2922923
(t +1) 3(t +1) 2(t -1) 2
+≥(t +1)(t 2+1), 即(t +1)(2t -1)(t -1) 2≥0, 此乃显然. 这样只需证明
23
因此题中所求的(abcd ) max =
1e 6
() . 43
ααα-1
例7. 已知x ≥y >0, 1≤α≤2, 求证x -y ≥(x -y )(x +y ) .
证明: 记t =
y
≥1, 则要证f (t ) =(t -1)(t +1) α-1-t α+1≤0. x
11α-1
f (t ) =(t -1) t α-1(1+) α-1-t α+1,由贝努利不等式知(1+) α-1≤1+,
t t t
α-1α1α-1
) -t +1=1-[(2-α) t α-1+(α-1)() 2-α], 于是f (t ) ≤(t -1) t (1+t t
12-αα-1(α-1)(2-α) 1(2-α)(α-1)
() =1, 于是得到 由赫尔德不等式(2-α) t +(α-1)() ≥t
t t f (t ) ≤0, 不等式得证!
完全类似地,可以证明x α-y α≤(x -y )(x +y ) α-1(x ≥y >0, α≥2); 甚至更一般的结果x α-y α≤(x β-y β)(x +y ) α-β(x ≥y >0, β≥1, α-β≥1).
巩固题: 已知a , b , c ≥0, 且对任意x ≥0, 成立e ≥a +bx +cx . 试求a +b +c 的最大值, 及此时的a , b , c 的所有可能值.
x
2