直线和平面所成的角与二面角
9.7 直线和平面所成的角与二面角
知识要点
1．直线与平面所成角的范围
若θ表示直线与平面所成的角，则0°≤θ≤90°。 2．公式cos θ=cosθ1·cos θ2。
斜线AB 与平面α所成的角为θ1，A 为斜足，AC 在α内，且与AB 的射影成θ2角，∠BAC=θ, 则有cos θ=cosθ1·cos θ2。
3．公式
。
如图所示，在二面角α-l-β中，A ∈平面β，B ∈平面α，AD ⊥l 于D ，BC ⊥l 于C ，AD=m,BC=n, CD=d, AB=l, 二面角α-l-β的平面角为φ，则有：
4．公式S'=Scosθ。
如果平面多边形所在平面与平面 所成角为
，这
。
个平面多边形及其在平面 内的射影的面积分别为S 、S' ，那么S'=Scosθ。
5. 向量知识 (1)
；
(2)
(3)a·b=|a|·|b|cosθ (其中θ是a 与b 的夹角)
(4)若a=(x1,y 1,z 1), b=(x2,y 2,z 2), 则：a ·b=x1x 2+y1y 2+z1z 2。 典型题目
例1．如图，在棱长为a 的正方体OABC-O'A'B'C' 中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF。 (1)求证：A'F ⊥C'E ；
(2)当三棱锥B'-BEF 的体积取得最大值时，求二面角B'-EF'B 的大小。（结果用反三角函数表示）。
(1)证明：如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系，设AE=BF=x, 则A'(a,0,a), F(a-x,a,0), C'(0,a,a,), E(a,x,0)。
∵
，∴ A'F⊥C'E 。
(2)解：记BF=x, BE=y, 则x+y=a, 三棱锥B'-BEF 的体积
大值。
过B 作BD ⊥EF 交EF 于D ，连B'D,B'D ⊥EF, ∴∠B'DB 是二面角B'-EF-B 的平面角。 在Rt ΔBEF 中，直角边
，
，当且仅当，
时，取得最
则斜边上高
故二面角B'-EF-B 的大小为
。
，
例2．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E 、F 分别是AC ，AD 的中点。 (1)求证：平面BEF ⊥平面ABC ；(2)求平面BEF 和平面BCD 所成的角。
分析：证明两个平面互相垂直，就是要证明一个平面过另一个平面的一条垂线，这样就需证明一直线与平面上两相交直线垂直，而证明两直线互相垂直，证明向量的数量积为0就可以了。 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，取A(0,0,a)。 由∠ADB=30°可得：
B(0,0,0), ∴
∵
∴ EF⊥AB, EF⊥BC 。
。
∴ EF⊥平面ABC ，又EF 平面BEF 。 ∴ 平面BEF ⊥平面ABC 。 (2)作EE' ⊥BC 于E' ，
，
。
，
，作FF' ⊥BD 于F' ，
显然
， ∴ BE⊥DF 。 ∴
，
∴
∴
。
，即平面BEF 和平面BCD 所成的角为
。
点评：利用判定定理结合向量运算证面面垂直是本例的特点之一。这种方法十分重要，应予掌握。
例3．在正四面体ABCD 中，AD=1，(1)求AD 与平面BCD 所成的角；(2)求相邻两个面所成的二面角。 解：(1)如图，因为四面体ABCD 是正四面体，所
以A 在底面BCD 的射影是底面三角形BCD 的中心O ，延长DO 交BC 于E ，E 是BC 的中点，∠ADE 就为AD 与平面BCD 所成的角θ。 ∴
又
，
，
∴
。∴
。
(2)在ΔAED 中，因为E 是BC 的中点，所以AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AED 就是二面角A-BCD 的平面角α。
又
∴
， ∴
。
。
∴AD 与平面BCD 所成的角是
角是
。
，相邻两个面所成的二面
点评：本例系常规题型，要掌握这类题目的解法。
例4．如图(1)，ABCD 是一直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA ⊥平面ABCD ，PD 与平面ABCD 成30°角。
(1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；(2)求异面直线AE 与CD 所成角的大小（用反三角函数表示）
(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AB ，∵AD ⊥AB ， ∴ AB⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，
又AE ⊥PD ， ∴ PD⊥平面ABE ， ∴ BE⊥PD 。
(2)解法1：设G 、H 分别为ED 、AD 的中点，连BH 、HG 、GB （图（1）易知
，∴ BH//CD。
∵G 、H 分别为ED 、AD 的中点， ∴ HG//AE。则∠BHG 或它的补角就是异面直线AE 、CD 所成的角，
而
，
， ，
在ΔBHG 中，由余弦定理，得
∴
角的大小为
。
，
。∴ 异面直线AE 、CD 所成
例5．在120°的二面角P-α-Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B 。已知点A 和点B 到棱的距离分别为2和4，且线段|AB|=10。 (1) 求直线AB 和棱a 所成的角 (2) 求直线AB 和平面Q 所成的角
解：如图，作AC ⊥a ，BD ⊥a ，垂足分别为C ，D 分别以
的单位向量为空间的基底{e1,e 2,e 3}
过C ，B 分别作BD ，a 的平行线，交于E 点，
∴CE ⊥a ，从而，得：∠ACE 就是二面角P-α-Q 的平面角， ∴=90°, =90°, =120°, 依题设：
设
(1) ∵
又∵
, ∴ (me2+4e3-2e 1) 2=100 展开：
,
m 2+16+4+8me2·e 3-4me 2·e 1-16e 3·e 1=100 ∵ e1·e 2=0, e2·e 3=0, 从而，得
。 ∴
, ∴ m2+20+8=100
。
∴ 异面直线
与α所成的角为
。
(2)作AF ⊥EC ，交EC 的延长线于F ， ∴ α⊥平面ACE ， α
平面Q ，
∴平面ACE ⊥平面Q ，从而，得：AF ⊥平面Q ，连结FB ，则∠
ABF
就是AB 与平面Q 所成的角， ∵
，
上的射影
，∴
，∴
在Rt ΔAFB 中，
的角为：
。
，∴ 直线AB 和平面Q 所成
例6：如图，已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD=60°。 (1)证明：C 1C ⊥BD ； (2)假定CD=2，
，记面C 1BD 为α，面
CBD 为β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值； (3)当
解：分别以
{e1,e 2,e 3}
依题设中的条件，可知：
=60°, =60°, =60°, (1) ∵
∴
,
，
的单位向量e 1,e 2,e 3为空间的基底
的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明。
∴ C1C ⊥BD 。
(2) 连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，∵
∴
，
=m2[(e1) 2-e 1·e 2+e1·e 2-(e2) 2]=0
∴ AC⊥BD 。 又由(1)知：CC 1⊥BD ， ∴ BD⊥平面AA 1C 1C ， ∴∠COC 1是二面角α-BD-β的平面角。 依题设，
从而，得：
，
，
∴
即：二面角α-BD-β的平面角的余弦值为
(3) 设
， 即：
。
由(2)可知：BD ⊥平面AA 1C 1C ，
∴ BD⊥A 1C ，由线面垂直的判定定理，知：如果A 1C ⊥DC 1，则A 1C ⊥平面C 1BD 成立，
∵
又∵
，∴
展开：
整理：
，∴ x=1。
时，CA 1⊥平面BC 1D 。
以上各步可逆，所以x=1时，即