浅谈构造全等三角形解题的方法

２０１０－６

课改探微

浅谈构造全等三角彤解题的方法

万红娆

在学完新课标八年级数学《全等三角：形》之后，很多同学都发现，利用三角形全：等可以解决很多线段或角度相等的问题，！同学们都很喜欢用这种方法。但有的题目：却不能直接应用，需要根据条件作辅助线：构造全等三角形，下面我结合例题来介绍！几种常用的构造全等三角形解题的方法。

一、平移法构造全等三角形

：

：

在△ＢＣＤ与△髓Ｄ中ＢＣ＝船（已证）

ＬＣＢＤ＝ＬＥＢＤ（已知）

长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可。本题可延长ＡＣ至Ｅ，使ＡＥ＝ＡＢ，构造全等三角形，然后证明ＣＥ＝ＣＤ就行了。

丑瞻肋（公共边）

．‘．△日ＣＤ鉴△引如ｌ（ＳＡＳ）

７．厶ＤＥＡ＝ＬＡＣ８：焉Ｉ妒

Ｃ１）＝ＤＥ

‘．‘△ＡＢＣ中，￡ＡＣＢ－－９０。，ＡＣ＝ＢＣ

．。．￡Ａ－－４５。

例１．如图，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分・ＬＤＡ嚣，若ＡＢ＞ＡＤ，ＤＣ＝ＢＣ，求证：￡８＋：

ＬＤ＝ＩＳ００。

．‘．￡ｊ叩Ｈ＝ＬＡ－－４５。？ＤＥ＝｜琶Ａ

’●

‘～

’－

，

’・Ｅ

：

．‘Ａ曰＝雎“ｍ＝ＢＣ＋ＣＤ

即ＡＢ＝ＢＣ＋ＣＤ

证明：延长ＡＣ至Ｅ，使ＡＥ＝ＡＢ，ＤＥ。

’．■Ｚｂ，ＩＥ，￡１＝／＿２，ＡＤ＝ＡＤ

三、旋转法构造全等三角形

例３．如图，已知点占、，分别在正方形

．。．△Ａ肋錾△Ａｌ渤．。．Ｌ船ＬＥ

’？厶ＡＣＤ＝厶Ｅ＋厶ｃＤＥ．’．￡ＡＣＤ＝２￡Ｅ７．／Ｅ＝／ＣＤＥ

厶ＡＣＤ：１２厶Ｂ

Ａ

ＡＢＣＤ的边ＢＣ、ＣＤ上，并且ＡＦ平分￡肌Ｄ，求证：Ｂ乳Ｄ尽ｄＥ。

分析：利用角平分线构造三角形，作辅助线ＣＥ交ＡＢ于点Ｅ，将ＬＤ转移到ＬＡＥＣ，而厶４ＥＣ与￡ＣＥＢ互补，￡ＣＥＢ＝／＿Ｂ，从而证得ＬＤ＋／＿＿Ｂ＝ＩＳＯｏ。

证明：在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＤ在ＡＡＤＣ和ＡＡＥＣ中

：

．’．ＣＤ＝ＣＥ．’■Ｂ＝ＡＣ＋ＣＤ

特别提示：本例中用到的方法叫“补短法”，即将较短的线段ＡＣ补长，构造三角形全等，达到求解目的。本题也可采用“截

分析：本题要证的ＢＥ和ＤＦ不在同一

长法”，即在ＡＢ上截取ＡＦ＝ＡＣ，连结ＤＦ，构造三角形全等，证得ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ，请读者自解。

五、截取法构造全等三角形

例５．如图，已知ＡＡＢＣ中，边ＢＣ上的高为ＡＤ，又ＬＢ＝２ＬＣ，求证：ＣＤ＝ＡＢ＋ＢＤ。

分析：欲证ＣＤ＝ＡＢ＋ＢＤ，可以在ＣＤ上截取一段等于ＢＤ，再证明另一段等于ＡＢ，如果截取ＤＥ＝ＢＤ（如图），则ＡＡＤＥ可视为ＡＡＤＢ沿ＡＤ翻折而来。

｛￡１＝￡２

【ＡＣ－－ＡＣ（公共边）．‘．ＡＡＤＣ望△ＡＥＣ（ＳＡＳ）

．‘．￡Ｚ）：ＬＡＥＣ．ＤＣ＝ＣＥ

ＩＡＤ＝ＡＥ

：条线上，因而需设法将它们“组合”到一起，：想办法“链接”起来。可将ＡＡＤＦ绕点Ａ旋：转９０。至ＡＡＢＧ，则ＡＡＤＦ＇－望ＡＡＢＧ，ＤＦ－－ＢＧ，：从而将ＢＥ＋ＢＧ转化成线段ＧＥ，再迸一步：证明ＧＥ＝ＡＥ即可。

：．证明：将ＡＡＤＦ绕点Ａ顺时针旋转

又’．国Ｃ＝曰Ｃ

？ＣＥ＝ＢＣ．‘．Ｌ３＝￡Ｂ

：９０。至ＡＡＢＧ，则△ＡＤ虺ＡＡＢＧ

：

・

又‘．‘￡３＋ＬＡＥＣ＝１８００

．‘．￡Ｂ＋￡Ｄ＝１８０。

．・．ＬＧ＝ＬＡＦＤ，ＬＧＡＢ＝ＬＦＡＤ，ＤＦ＝ＢＧ７．ＢＥ＋ＤＦ＝ＢＥ＋ＢＧ＝ＧＥ

特别提示：在此题证明中，采用的主题方法是“线、角进行转移”。

＝、翻折法构造全等三角形

●

又‘．＂ＡＦ平分ＬＥＡＤ

．。．￡ＦＡＤ＝－ＬＩｒＡ肚￡ＧＡ日

．’．ＬＧＡＢ＋ＬＢＡＥ＝ＬＦＡＥ＋ＬＢＡＥ

例２．如图，已知ＡＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，：／＿ＡＣＢ＝９０。，ＢＤ平分ＬＡＢＣ，求证：ＡＢ＝

ＢＣ＋ＣＤ。

即ＬＧＡＥ＝／＿ＢＡＦ

又。．＂ＡＢ／／ＣＤ

．。．ＬＢＡＦ＝ＬＡＦＤ＝ＬＧ

：

．・．在ＡＥＡＧ中，ＡＥ＝ＧＥ，那ＢＥ＋Ｄ丹＿ＡＥ特别提示：本题利用旋转巧妙地将两条：分离的线段“链接”在一起从而得证，利用：旋转构造三角形全等是经常用到的方法。

：

四、延长法构造全等三角形

例４．如图，ＡＡＢＣ中，￡Ｃ＝２￡Ｂ，￡ｌ＝

证明：‘．‘ＢＤ平分ＬＡＢＣ，将ＡＢＣＤ沿：￡２，试说明ＡＢ－－ＡＣ＋ＣＤ。

：分析：证明一条线段等于另两条线段之ＢＤ翻折１８０。，点Ｃ落在鼢上的Ｅ点。

则有ＢＥ＝ＢＣ

・和，常用的方法是延长一条短线段使其等于

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浅谈构造全等三角形解题的方法

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万红娆

江西省南昌县莲塘五中新课程（教育学术）XINKECHENG2010(6)

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