金钥匙学校初三寒假班数学讲义(二)李老师主讲
08-09寒假初三数学讲义-------第二讲图形变换问题（二）学生用
1. （07烟台）将n个边长都为lcm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，……，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和
为（）
1ncm。 B．cm2 44n121n
Ｃ．cm D．()cm2
44
A．
2．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形
AEFG，边EF与CD交于点O．
（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且．．．互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由； ．．．．
（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD
2，求旋转的角度n． B
解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是______和______． 理由如下： （2）
3．如图，在等腰三角形ABC中，ABC120，点P是底 边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若 PMPN的最小值为2，则△ABC的周长是（ ） A．2
B
．2
C．4
D
．4A
N P
C
4．O是正方形ABCD的中心,O是CD上的一点.DPAQ.PD交 BC于P,连OP,OQ,PQ,确定POQ的形状,并证明你的结论.
Q
C
P
．
5．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC．若ABCBEF60，探究PG与PC的位置关系及
PG
的值． PC
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． C D
F P
F
A E
B
图1 图2 E
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
PG
的值； PC
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及
在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中ABCBEF2(090)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题
PG
的值（用含的式子表示）． PC
PG
解：（1）线段PG与PC的位置关系是 ；PC
中的其他条件不变，请你直接写出（2） ．
6．如图13，已知△ABC与△DCE是两个相似的等腰三角形，底边BC、CE在同一条直线上，且∠BAC=∠ABC，DC=BC，连结BD、AD,BD与AC相交于点F.
（1）试探究：线段AC和BD之间的大小关系.并证明你的结论；
（2）试指出两对以点B为旋转中心通过旋转变换可以互相得到的三角形，并说出旋转角；
12
（3）如果AB=2，试求DE的长.
7.已知，△ABC是等边三角形，将一块含30角的直角三角板DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线l上向右平移．当点E与点B重合时，点A恰好落在三角板的斜边DF上． 问：在三角板平移过程中，图中是否存在与线段EB始终相等的线段（假定AB、AC与三角板斜边的交点为G、H）？如果存在，请指出这条线段，并证明；如果不存在，请说明理由． （说明：结论中不得含有图中未标识的字母）
E
B
N
C
F
．
8．（08福州）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标；
点的三（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶．．．角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
（第22题）
9．(2007北京)如图，已知△ABC．
⑴请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图中只存在两对
．．．．．
面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB+AC>AD+AE．