第一章随机过程的一般理论

第一章 随机过程的一般理论

§1.1 随机过程的基本概念

定义1.1 设(Ω, F , P ) 是概率空间，(E , E ) 是可测空间，T 是指标集. 若对任何t ∈T ，有X t :Ω→E ，且X t ∈F ，则称{X t (ω), t ∈T }是(Ω, F , P ) 上的取值于(E , E ) 中的随机过程，在无混淆的情况下简称{X t (ω), t ∈T }为随机过程，称(E , E ) 为状态空间或相空间，称E 中的元素为状态，称T 为时间域. 对每个固定的ω∈Ω，称X t (ω) 为{X t (ω), t ∈T }对应于ω的轨道或现实，对每个固定的t ∈T ，称X t (ω) 为E 值随机元. 有时X t (ω) 也记为

X t (ω) =X t =X (t ) =X (t , ω) .

设T ⊂R ，{F t , t ∈T }是F 中的一族单调增的子σ代数（σ代数流），即

t ∈T s

若X t ∈F t (∀t ∈T ) ，则称{X t , t ∈T }是{F t }适应的随机过程，或适应于{F t }的随机过程. 特别地，若令

F t σ(X s , s ≤t , s ∈T ) σ(∪X (E )) −1

s

s ≤t s ∈T

是由{X s , , s ≤t s ∈T }所生成的σ代数，则{X t , t ∈T }是{F t }适应的随机过程.

当(E , E ) =(R , B 1) 时，称{X t , t ∈T }为实值随机过程；

E ) =(C , B C ) 时，称{X t , t ∈T }为复值随机过程； 当(E ,

E ) =(R , B n ) 时，称{X t , t ∈T }为n 维随机过程； 当(E , n

当E 是可列集（有限集）时，称{X t , t ∈T }为可列（有限）随机过程；

当T =R , R 或[a , b ]时，称{X t , t ∈T }为连续参数的随机过程； +

当T =Z 或Z 时，称{X t , t ∈T }为离散参数的随机过程（随机序列）； +

当T =R , (R ) , Z 或(Z ) (n ≥2) 时，称{X t , t ∈T }为随机场. n +n n +n

随机过程的四种类型:

（1）指标集T 离散，状态空间E 离散的随机过程；

（2）指标集T 离散，状态空间E 连续的随机过程；

（3）指标集T 连续，状态空间E 离散的随机过程；

（4）指标集T 连续，状态空间E 连续的随机过程.

然而，以上分类是表面的，更深刻的是按随机过程的概率结构而分类. 例如：马尔可夫（Markov ）过程、平稳过程、独立增量过程、二阶矩过程、

正态过程、泊松（Poisson ）过程、生灭过程、分枝过程、更新过程、鞅等.

对于随机过程{X t , t ∈T }而言，可以这样设想，有一个作随机游动的质点M ，以X t 表示在时刻t 质点M 的位置，于是{X t , t ∈T }描绘了质点M 所作的随机运动的变化过程，一般把“X t =x ”形象地说成“在时刻t 质点M 处于状态x ”.

定义1.2 设{X t , t ∈T }是概率空间(Ω, F , P ) 上的、以(E , E ) 为状态空间的随机过程，T =R （或R 或直线上的任一区间）. 如果∀A ∈E ，有

X (t , ω) ∈A }∈B (T ) ×F {(t , ω) :(t , ω) ∈T ×Ω, +，

则称{X t , t ∈T }是可测的.

A ∈E 有 设{F t , t ∈T }是F 中的一族单调增的子σ代数. 如果∀t ∈T , ,

t ]×ΩX (t , ω) ∈A }∈B ([0, t ])×F ， {(u , ω) :(u , ω) ∈[0, , t

则称{X t , t ∈T }关于{F t , t ∈T }循序可测.

命题1.1 设X t :Ω→E ，X t ∈F t (∀t ∈T ) ，{F t , t ∈T }是F 中的一族单调增的子σ代数. 如果{X t , t ∈T }关于{F t , t ∈T }循序可测，则{X t , t ∈T }是可测的.

定义1.3 设{X t , t ∈T }是随机过程，称

F t (x ) P {ω:X t (ω) ≤x }=P {X t ≤x }, x ∈R , ∀t ∈T

为随机过程{X t , t ∈T }的一维分布函数；称

F t 1, t 2(x 1, x 2) P X t 1≤x 1, X t 2≤x 2, x 1, x 2∈R , ∀t 1, t 2∈T {}

为随机过程{X t , t ∈T }的二维分布函数；一般地，称

F t 1, t 2, , t n (x 1, x 2, , x n ) P X t 1≤x 1, X t 2≤x 2, , X t n ≤x n , {}

x 1, x 2, , x n ∈R , ∀t 1, t 2, , t n ∈T

为随机过程{X t , t ∈T }的n 维分布函数；而称

F F t 1, t 2, , t n (x 1, x 2, , x n ) :t 1, t 2, , t n ∈T , n ≥1 {}

为随机过程{X t , t ∈T }的有限维分布函数族.

随机过程{X t , t ∈T }的有限维分布函数族F 具有下列性质：

1. 对∀n ≥1，∀t 1, t 2, , t n ∈T ，及t 1, t 2, , t n 的任意排列t i 1, t i 2, , t i n ，有

F t i , t i 1, , t i n 2(x i 1, x i 2, , x i n ) =F t 1, t 2, , t n (x 1, x 2, , x n ) ； （对称性）

2. 对∀1≤m ≤n ，有

F t 1, t 2, , t m (x 1, x 2, , x m ) =F t 1, t 2, , t m , t m +1, , t n (x 1, x 2, , x m , +∞, , +∞) . （相容性）

注：若知道了随机过程{X t , t ∈T }的有限维分布函数族F , 便知道了这一随机过程中任意有限个随机变量的联合分布，也就可以完全确定它们之间的相互关系。可见，随机过程的有限维分布函数族能够完整地描述随机过程的统计特征。但是在实际问题中，要知道随机过程的有限维分布函数族是不可能的，因此，人们想到了用随机过程的某些数字特征来刻画随机过程。

定义1.4 设{X t , t ∈T }是随机过程，称

m (t ) EX t =∫+∞

−∞x d F t (x ) =∫X t (ω) P (dω), t ∈T Ω

为{X t , t ∈T }的均值函数；称

2 D (t ) DX t =E (X t −m (t )) , t ∈T

为{X t , t ∈T }的方差函数；称

C (s , t ) Cov(X s , X t ) =E (X s −m (s ))(X t −m (t )), s , t ∈T

为{X t , t ∈T }的协方差函数；称

R (s , t ) =E (X s X t ), s , t ∈T

为{X t , t ∈T }的相关函数.

注：若{X t , t ∈T }是复值随机过程，则方差函数的定义为

D (t ) =E X t −m (t ) , t ∈T ； 2协方差函数的定义为

C (s , t ) =E (X s −m (s ))(X t −m (t )), s , t ∈T ；

相关函数的定义为

R (s , t ) =E (X s X t ), s , t ∈T .

性质（1）C (t , t ) =D (t ), t ∈T ；

（2）C (s , t ) =R (s , t ) −m (s ) m (t ), s , t ∈T ；

（3）若m (t ) ≡0，则 C (s , t ) =R (s , t ), s , t ∈T .