数学方法论结课论文
概率在生活中的应用
摘要:本文介绍了概率的某些知识在实际问题中的应用,主要围绕古典概率、全概率公式、数学期望等有
关知识,探讨概率知识在实际生活中的广泛应用,进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系。
在自然界和现实生活中,很多事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中,根据它们是否有必然的因果联系,可以分成两大类:一类是确定性的现象,指在一定条件下,必定会导致某种确定的结果。如在标准大气压下,水加热到100摄氏度,就必然会沸腾。又如,明天太阳从西边升起,这是不可能会发生的。另一类是不确定性的现象,这类事情在一定条件下我们无法肯定它会不会发生,它的结果是不确定的。例如,掷一枚硬币,有国徽的一面朝上。又如掷一枚均匀的骰子,当骰子停止后朝上的点数为6。走到某十字路口时,可能正好是红灯,也可能正好是绿灯。为什么在相同的情况下,会出现这种不确定的结果呢?因为会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象,我们无法用必然性的因果关系,对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的,这种现象叫做偶然现象,或者叫做随机现象。
概率,简单地说,就是一件事发生的可能性的大小。比如:太阳每天都会东升西落,这件事发生的概率就是100%或者说是1,因为它肯定会发生;而太阳西升东落的概率为0,因为它不可能会发生;而掷一枚均匀的骰子,当骰子停止后,朝上的点数是6的概率为(这里是它的理论概率)„„事件发生的可能性有大有小,确定事件发生的概率是1或0,不确定事件的发生概率为0到1之间的数。对稍复杂的随机事件,我们一般通过实验,获得事件发生的频率,用大量重复实验时频率作为事件发生概率的估计值。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说:概率论是“生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,我们就寸步难行,无所作为”。
概率论渗透到生活的方方面面,从而为我们的日常生活带来方便,下面从三个方面来讨论概率在实际生活中的具体应用。
1. 古典概率的应用
古典概率是概率里最早的一种最简单的概率模型,也是应用最广泛的概率。许多实际问题都可以将其转化为古典概率加以解决。 16
例1:在我们的内地,现在悄然进行的一种非法玩法“六合彩”(49选1),据说是香港六合彩的特别号,玩法的规则是:在1-49的数字中,选出1个或几个数字进行押注,押不中则通吃,押中则返押中的注金的40倍。由于玩法简单,类似于民间的“大花会”,故有很多老百姓参与,而大多数人深受其害。暂不说这个玩法在国内不合法,我们今天用概率来分析这个玩法,这实际上是一道极简单的概率问题,一共有49种可能结果,而开奖号是其中一个,对单个玩法而言,中奖的概率仅为
份,每玩一次,玩家实际上要亏140,也就是,你押一份的钱,实际中奖金额为49499。就是这么一种简简单单的算法,很多人费尽脑子,搞40
得精神恍惚,有的甚至家破人亡。
例2:在斯诺克台球比赛中,运动员甲与运动员乙相遇,根据实际排名和以往的战绩统计,每赛一局甲胜的概率为0.45,乙胜的概率为0.55。若比赛既可采用三局两胜制,也可以采用五局三胜制,问采用哪种赛制对甲更有利?
具体分析如下:
(1)采用三局两胜制:设A 表示甲胜前两局,A 表示前两局中二人各胜一局,第三局甲胜,A 表示甲胜,则A=A ∪A ,而P (A )=0.45 =0.2025,P (A )=(0.45 ×0.55)×2=0.22275。
由于A 与A 互斥,由加法公式得
P (A )=P(A ∪A )=P(A )+P(A )=0.2025+0.22275=0.42525
(2)采用五局三胜制:设B 表示甲胜,B 表示前三局甲胜,B 表示前三局中甲胜两局,乙胜一局,第四局甲胜,B 表示前四局两人各胜两局,第五局甲胜,则B=B ∪B ∪B ,而P
(B )=0.45 =0.091125,
P (B )=C0.45 ×0.55×0.45=0.150356,
P (B )=C0.45 ×0.55 ×0.45=0.165392,
所以P (B )=P(B ∪B ∪B )=P(B )+P(B )+P(B )
=0.091125+0.150356+0.165392=0.4069
由于P (B )<P (A ),故采用三局两胜制对甲有利,但从公平性而言,因甲胜的概率为0.45,乙胜的概率为0.55,所以“五局三胜制”更公平、更合理。在实际比赛中,采用的是十九局十局胜制,更为公平、合理,结果是甲输了,如果采用三局两胜制,甲就有可能战胜乙。
类似的利用古典概率求解的案例有许多,比如博彩、产品抽样检查等。利用古典概率求
解实际问题时并不都是这么容易的,而许多古典概率的计算相当困难而富有技巧,计算的要点是给定样本点,并计算它的总数,再计算有利场合的数目。
2. 全概率公式在实际问题中的应用
全概率公式是概率论中一个重要的公式,在实际中同样有广泛的应用。先引进定义:设
B ,B ,„B 为样本空间Ω的一个划分,即B ,B ,„B 互不相容,且 B =Ω,P (B )>0,i=1,2,„n ,则对任一事件A 有P (A )= P(B )P (A/B )。
例2:假设100张奖券中有3张是中奖券,现有10人依次抽取,每人抽一张,那么第一位抽奖者是否比第二位抽奖者中奖的几率更大一些呢?
分析:设A 表示第一位抽奖者是中奖者,B 表示第二位抽奖者中奖,依全概率公式得P
(A )=C/C=3/100,
P (B )=P(A )P (B/A)+P()P (B/ )= × + × = ,
因此第一位抽奖者与第二位抽奖者中奖的几率一样大。事实上,所有抽奖的人中奖的几率都相等,这说明能否中奖与抽奖次序无关,因此抽奖是公平的。
类似的利用全概率公式求解的案例有许多,比如工厂有多条流水线,求故障发生概率就是利用全概率公式求解,或者已知故障发生概率,追究不同流水线应承担的责任,利用的是全概率公式的反向——贝叶斯公式。在利用全概率公式求解实际问题中,关键是对问题的合理划分,考虑所有可能导致问题发生的情况。
3. 数学期望在求解最大利润问题中的应用
如何获取最大利润不但成为商界追求的目标,同时还为越来越多的人所关注。许多数学模型也从概率角度利用期望求解最大利润问题,为问题的解决提供新的思路。下面就是一道应用期望探讨利润的问题:
设某产品每周需求量Q 取1,2,3,4,5为值,是等可能的。生产每件产品的成本为C =3元,每件产品的售价为C =9元;设售出的产品以每件C =1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品能使所期望的利润最大?
此问题的解决先是建立利润与销售量的函数,然后求利润的期望,即求关于销量P 的函数的期望得到关于生产量H 的函数,再求函数的导数,根据原函数和导函数的关系,以及极值与导数的性质得出结果。此外,期望的思想用于某项活动中,可以减少工作量,保险、股票等风险投资都带有一定的随机性,运用数学期望这一随机变量的总体特征来预计收益或决策投资比较客观。
在我们的现实生活中,还有大量的概率问题值得我们去研究解决,如天气、彩票问题等。所以学好概率,将有助于我们对现实生活有更加深刻的了解,对社会多一份关心,生活中多一份细心。
参考文献
[1]刘书田. 概率统计学习辅导[M].北京:北京大学出版社,2001.193-196.
[2]龙永红. 概率论与数理统计中的典型例题分析与习题[M].北京:高等教育出版社,2004.218-221.
[3]尹庸斌. 概率趣谈[M].成都:四川科学技术出版社,1985.69-78.
[4]吴传志. 应用概率统计[M].重庆:重庆大学出版社,2004.74-78.